Otros dos ejercicios del Cobach

1. Se va a construir una caja rectangular abierta con base cuadrada y un volumen de 32000 \(cm^3\). Encuentra las dimensiones que requieran la menor cantidad de material.

Conocemos el dato del volumen y las dimensiones que lo componen, es decir \(V=x^2y=32000\). También sabemos cómo calcular la superficie de la caja que se compone de una base cuadrada de área \(x^2\) y cuatro caras rectangulares de área \(xy\) dando una superficie total de \(x^2+4xy\). Esta es una función porque su valor cambia cuando cambiamos las medidas de las variables, es decir, el ancho y el alto de la caja.

De la fórmula del volumen se puede despejar la \(y\) y sustituirla en la función para que dependa solo de una variable: \(y=\frac{32000}{x^2}\).

$$ s(x)=x^2+\frac{128000}{x} $$ ahora se puede derivar, igualar a cero y calcular las soluciones

$$ s'(x)=2x-\frac{128000}{x^2}=0 $$ $$ 2x=\frac{128000}{x^2} \Rightarrow x^3=64000 $$ Por lo tanto \( x=40\) y \( y=20\). Puede verificarse que cuando se toma un valor un poco más grande o un poco más chico para \( x\) la superficie de la caja mide más. Pero eso les toca a ustedes.

2. Un ranchero tiene 3000 pies de cerca. Determina las dimensiones de un corral rectangular que abarque la mayor área.

En este ejercicio tenemos el dato del perímetro que se quiere, \( P=2x+2y=3000\); el área será \( A=xy\) pero se despeja una variable del perímetro y se sustituye en la función del área. \( y=1500-x\)...(*) por lo que $$ A=1500x-x^2 $$ ahora se deriva, se iguala a cero y se buscan soluciones $$ A'(x)=1500-2x=0 \Rightarrow 1500=2x $$ por lo que \( x=750\) y despejando de (*) se tiene que \( y=750\). Como en el ejemplo anterior puede verificarse que el área sea la mayor modificando el valor de \( x\) para calcularla.

Y para terminar les dejo un texto con algunos problemas resueltos a partir de la página 166 como los que les puso el maestro de tarea. Encontré el del cilindro, el del rancho, el de la cajita y el de la ventana. Solo tendrán que cambiar las medidas pero todo lo demás es igual. Agradezco a Luis Castro Pérez de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo por el documento. Suerte.

gracias a quien me mandó la foto del encabezado.

Máximos y mínimos. 28 de enero 2017.

Encuentra y clasifica los puntos críticos de las siguientes funciones:

1. $$ f(x)=x^3-3x^2-24x+2 $$
Para encontrar los puntos críticos se procede como sigue:

• calculamos la primer derivada,
• igualamos la primer derivada a cero y buscamos la solución, es decir, para qué valores de \( x \) la primer derivada vale cero. Esos son los puntos críticos.
• calculamos la segunda derivada y evaluamos los puntos críticos en ella. Si resulta un número positivo es un mínimo y si resulta un número negativo es un máximo.
• evaluamos los puntos críticos en la función original para encontrar el otro valor del par ordenado.

Entonces la primer derivada de \( f(x) \) es \( f'(x)=3x^2-6x-24 \) y al simplificar e igualar a cero
$$ x^2-2x-8=0 $$ ahora debemos encontrar la solución, es decir los números que hacen que lo anterior se cumpla y para ello se puede descomponer en el producto de dos binomios si encontramos dos números que sumados den -2 y multiplicados den -8 y tendremos \((x+2)(x-4)=0 \) por lo que una solución es \( x=-2 \) y \( x=4 \). Ahora sabemos que tenemos dos puntos críticos pero no sabemos sin son mínimos o máximos por lo que nos vamos a la segunda derivada.
$$ f''(x)=6x-6 $$ y se procede a evaluar los puntos críticos en esta segunda derivada.

$$f''(-2)=-12-6=-18 $$ $$f''(4)=24-6=18 $$ por lo que el primero es un máximo y el segundo un mínimo.

Finalmente evaluamos los puntos críticos en \( f(x) \) para completar el par ordenado.
$$ f(-2)=(-2)^3-3(-2)^-24(-2)+2=30 $$ $$ f(4)=(4)^3-3(4)^-24(4)+2=-78 $$ con lo que tenemos los pares ordenados o puntos \((-2,30)\) y \((4,-78) \).

2. $$ h(x)=2x^3-15x^2-36x $$
la primer derivada
$$ h'(x)=6x^2-30x-36 $$ se puede simplificar dividiendo entre 6 y se iguala a cero.
$$ x^2-5x-6=0 $$ ahora se buscan las soluciones \((x-6)(x+1)=0\) entonces \(x=6\) y \(x=-1\)
y se calcula la segunda derivada
$$ h''(x)=12x-30 $$ y se calcula
$$ h''(6)=12(6)-30=42 $$ $$ h''(-1)=12(-1)-30=-42 $$ por lo que se ve que el primero es un mínimo y el segundo un máximo.
Y para conocer el otro valor de cada punto se calcula \(h(6)\) y \(h(-1)\).



3. $$m(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-15x^2-5 $$
primer derivada
$$m'(x)=x^3+x^2-30x $$
que se puede descomponer en:
$$x(x^2+x-30) $$
que tendrá que igualarse a 0 para encontrar los puntos críticos. Para que la ecuación de arriba sea igual a 0 es necesario que \(x=0\) o que \(x^2+x-30=0\). Y entonces tendremos 3 valores críticos:
\(x=0\), \(x=-6\), \(x=5\), y cómo supe lo anterior? con la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado: $$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
Ahora que tengo los valores críticos calculo la segunda derivada

$$m''(x)=3x^2+2x-30 $$
$$m''(0)=3*0^2+2*0-30=-30 $$ entonces es un máximo
$$m''(-6)=3*(-6)^2+2*(-6)-30=66 $$ entonces es un mínimo
$$m''(5)=3*5^2+2*5-30 =55 $$ entonces es un mínimo.

Ahora queremos conocer el valor de \(y \) para cada uno de los anteriores valores de \( x \) y con eso tendremos la ubicación de los puntos críticos.
$$m(0)=-5 $$
$$m(-6)=-293 $$
$$m(5)=182 $$
Lo anterior nos dice que en el punto \((0,-5)\) hay un máximo; en el punto \((-6,-293)\) hay un mínimo y en el punto \((5,-182)\) hay un mínimo.

4. Para resolver el ejercicio 4 empezamos igual que siempre, calculando la primer derivada.
$$ H(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+5x+1 $$
$$ H'(x)=x^3-5x^2-x+5 $$
Luego como no podemos usar el mismo recurso que en el caso anterior, la grafico en el FooPlot para ver por dónde andan los puntos críticos.

El mismo programa nos indica que los puntos críticos están en \( x=1 \), \( x=-1 \) y \( x=5 \), lo que se comprueba fácilmente cuando calculamos:
\(H'(1)=0\), \( H'(-1)=0 \) y \( H'(5)=0 \).
Ahora se calcula la segunda derivada y se evalúan los puntos críticos en ella:

$$ H''(x)=3x^2-10x-1 $$
$$ H''(1)=-8 $$
es un máximo
$$ H''(-1)=12 $$
es un mínimo
$$ H''(5)=24 $$
es un mínimo

Y para conocer la ubicación exacta del punto es necesario calcular el valor de \( y \).

$$ H(1)=4.083 $$ $$ H(-1)=-2.58 $$ $$ H(5)=-38.58 $$

Para el ejercicio 4 era necesario saber resolver ecuaciones de tercer grado. Para resolverlas existen algunos métodos que pueden aprenderse con instrucciones que están en la red. Pero no sé cuál hubiera sido el preferido del maestro.

5. Esta está un poco larga.

$$ g(x)=(x-1)^2\sqrt[3]{x+2} $$
Recordemos que la derivada de un producto es el primer factor por la derivada del segundo mas el segundo factor por la derivada del primero. Podemos acomodar ambos en forma de exponentes para que se vea más claro.
$$ g(x)=(x-1)^2 (x+2)^{\frac{1}{3}} $$
y la derivada
$$ g'(x)=\frac{(x-1)^2}{3(x+2)^{\frac{2}{3}}}+2(x+2)^{\frac{1}{3}}(x-1)=$$
y sacamos la suma
$$ \frac{(x-1)^2+6(x+2)^{\frac{2}{3}}(x+2)^{\frac{1}{3}}(x-1)}{3(x+2)^{\frac{2}{3}}}= $$
primero te fijas que si multiplicamos \((x+2)^{\frac{2}{3}} \) por \((x+2)^{\frac{1}{3}} \) el resultado es \( (x+2) \). Y en segundo lugar sacamos \( (x-1) \) como factor común
$$ \frac{(x-1)[x-1+6(x+2)]}{3(x+2)^{\frac{2}{3}}}= $$
resolvemos lo que está dentro del corchete
$$ \frac{(x-1)[7x+11]}{3(x+2)^{\frac{2}{3}}} $$
aquí puede verse claramente que la derivada será 0 cuando \( x=1 \) o cuando \( x=\frac{-11}{7}=-1.57 \). Lo que sigue es calcular la segunda derivada y evaluar esos dos puntos para saber si son mínimos o máximos pero podemos conocer el resultado cuando los graficamos.

Aquí ya sabemos que para conocer el valor de \( y \) se debe calcular el valor en la función: \( g(1) \) y \( g(-1.57) \).



6. Considera la función \( L(x)=x+\frac{1}{x} \) y demuestra que el mínimo local es mayor que el máximo local.

Calculamos la primer derivada, igualamos a cero y encontramos las soluciones.

$$L'(x)=1-\frac{1}{x^2} =0 $$ $$ 1=\frac{1}{x^2} $$ $$ x^2=1 $$ entonces \(x=\pm 1\).
Evaluamos en la segunda derivada los puntos encontrados
$$ L''(x)=\frac{2}{x^3} $$ $$ L''(1)=2 $$ $$ L''(-1)=-2 $$ y ahora se sabe que en \(x=1\) hay un mínimo y en \(x=-1\) hay un máximo. Enseguida se busca la ubicación: \(L(1)=2\) y \(L(-1)=-2\).

Y vemos la gráfica.

7. Encuentra dos números no negativos cuyo producto sea 50 y cuya suma sea mínima. Tenemos un requisito que deben cumplir los números que llamaremos \(x\) y \(y\), ya que nos dicen que \(x*y=50\) y tenemos una función \(S(x,y)=x+y\) que depende de dos variables pero podemos convertir en una función de una sola variable si hacemos que \(y\) dependa de \(x\), despejando del dato que conocemos: \(x*y=50 \Rightarrow y=\frac{50}{x}\) y se sustituye en \(S\) para obtener
$$ S(x)=x+\frac{50}{x} $$ Ahora tenemos una función de una variable que podemos derivar, igualar a 0 y graficar.
$$ S'(x)=1-\frac{50}{x^2}=0\Rightarrow 1=\frac{50}{x^2} \Rightarrow x^2=50 \Rightarrow x=\sqrt{50}=\pm 7.07 $$ pero solo tomamos el valor que no es negativo porque lo pide el problema. Entonces para \(x=7.07\) se tiene que \(y=\frac{50}{7.07}=7.07\) y vemos que al graficar se cumple que sea un mínimo

8. $$G(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-8x+1 $$ $$ G'(x)=x^2-2x-8=0 $$ $$(x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x=4, \hspace{5mm} x=-2 $$

$$ G''(x)=2x-2 $$ $$ G''(4)=2(4)-2=6 \hspace{5mm} mínimo$$ $$ G''(-2)=2(-2)-2=-6 \hspace{5mm} máximo$$

Solo falta calcular \(G(4)\) y \(G(-2)\)



9.Determina un número que exceda a su cuadrado en la mayor cantidad.

Entonces se tiene la diferencia \(x-x^2\) y se quiere que sea máxima. Con ese dato se puede componer la función \(r(x)=x-x^2\) que se usará para derivar, igualar a cero y encontrar el valor indicado. $$ r'(x)=1-2x=0 \Rightarrow 1=2x \Rightarrow x=\frac{1}{2} \Rightarrow r(1/2)=1/4 $$ como se ve en la gráfica de abajo.

La foto del encabezado la publicó alguno de mis contactos del watsap. Gracias.

Ejercicios del Cobach Norte 3 de diciembre 2016.

I.Clasificar y graficar los siguientes sistemas.
1.
$$ x+y=1 $$ $$ 2x-y=4 $$

• Primero se ve que es evidente que la segunda no se puede obtener de la primera, es decir, no es un sistema incompatible.
• Entonces se procede a graficar. Para ello primero despejamos \(y\) de la primera ecuación y le llamaremos \(y_1\), enseguida despejamos \(y\) de la segunda ecuación y le llamaremos \(y_2\) y
• Finalmente hacemos una tabla en la que le damos valores a \(x\) y calculamos el valor de \(y_1\) y \(y_2\) para graficar cada línea.

$$y_1=1-x $$
$$ y_2=2x-4 $$ y los valores que tomará \(x\)
$$ x=\{-1,0,1\} $$

\(x\)	\(y_1\)
-1	2
0	1
1	0

\(x\)	\(y_2\)
-1	-6
0	-4
1	-2

y graficamos cuidando que quede muy bonito

2.

$$ 3x-2y=6 $$ $$ 6x-4y=12 $$ como vimos en el ejercicio de la semana pasada, y repetimos en la clase de hoy, una manera de saber si las líneas son paralelas es calcular su pendiente o inclinación
$$ m_1=\frac{y_1}{x_1}=\frac{-2}{3}$$ $$ m_2=\frac{y_2}{x_2}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} $$ y como tienen la misma inclinación resultan paralelas razón por la cual no tienen un punto en común y el sistema es incompatible.

Despejamos \(y\) de la primera ecuación y le llamaremos \(y_1\), enseguida despejamos \(y\) de la segunda ecuación y le llamaremos \(y_2\) y finalmente hacemos una tabla en la que le damos valores a \(x\) y calculamos el valor de \(y_1\) y \(y_2\) para graficar cada línea.

$$ y_1=\frac{6-3x}{-2} $$ $$ y_2=\frac{-12-6x}{-4} $$

y los valores que tomará \(x\)
$$ x=\{-1,0,1\} $$

\(x\)	\(y_1\)
-1	-9/2
0	-3
1	-3/2

\(x\)	\(y_2\)
-1	3/2
0	3
1	9/2

y graficamos

3. $$ 2x+4y=-8 $$ $$ x+y=-4 $$ inmediatamente vemos que el sistema es compatible y por tanto las rectas comparten un punto. Despejamos \(y\) de la primera ecuación y le llamaremos \(y_1\); despejamos \(y\) de la segunda ecuación y le llamaremos \(y_2\); y hacemos la tabla en la que le damos valores a \(x\) y calculamos el valor de \(y_1\) y \(y_2\) para graficar. Si se divide la primera ecuación entre 2 queda más simple \(x+2y=-4\)

$$y_1=\frac{-4-x}{2} $$
$$ y_2=-4-x $$ y los valores que tomará \(x\)
$$ x=\{-1,0,1\} $$

\(x\)	\(y_1\)
-1	-3/2
0	-2
1	-5/2

\(x\)	\(y_2\)
-1	-3
0	-4
1	-5

II. Resuelve los siguientes sistemas por el método de suma o resta y determinantes.

4. $$ x+y=7 $$ $$ -2x-4y=-22 $$ para resolverlos por suma (o eliminación) multiplico la primer ecuación por 2 para luego sumar.
$$ 2x+2y=14 $$ $$ -2x-4y=-22 $$ $$ \overline{\hspace{10mm}-2y=-8} $$ $$ y=4 $$ ahora tomamos la primera ecuación para sustituir el valor de \(y\) y encontrar \(x\). $$ x+(4)=7 \Rightarrow x=3 $$ lo que nos da el punto \((3,4)\) como solución.

Luego por determinantes:

Como vimos en clase, necesitamos 3 determinantes: el de \(x\), el de \(y\) y el del sistema que llamaremos repectivamente \(Det_x\), \(Det_y\) y \(Det_s\). Para calcular el determinante del sistema \(Det_s\) se agrupan los coeficientes en dos renglones y dos columnas y se calcula como sigue
\[
Det_s =
\left[ {\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array} } \right]
\]
$$=a_{11}\times a_{22}-(a_{12}\times a_{21})$$

donde \(a_{11}\) es el coeficiente de \(x\) en la primer ecuación, \(a_{12}\) es el coeficiente de \(y\) en la primer ecuación, \(a_{21}\) es el coeficiente de \(x\) en la segunda ecuación y \(a_{22}\) es el coeficiente de \(y\) en la primer ecuación.

La variable \(x\) se calcula $$ \frac{Det_x}{Det_s} $$ y la \(y\) se calcula $$ \frac{Det_y}{Det_s} $$
Para calcular \(Det_x\) se sustituyen los valores de \(x\) en \(Det_s\) por los valores de los términos independientes y para calcular \(Det_y\) se sustituyen los valores de \(y\) en \(Det_s\) por los valores de los términos independientes.

Ahora que quedó todo tan claro vamos a resolver el ejercicio 4 —que acabamos de resolver arriba— por el método de determinantes.

$$x=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
7 & 1 \\
-22 & -4
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-2 & -4
\end{array} } \right]
}$$

$$ =\frac{-6}{-2}=3 $$ ahora vamos por \(y\)

$$y=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
1 & 7 \\
-2 & -22
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-2 & -4
\end{array} } \right]
}$$
$$ =\frac{-8}{-2}=4 $$ con lo que tenemos el punto \((3,4)\) como solución.

5. $$ 4x-3y=-2 $$ $$ -5x+2y=-1 $$ si multiplico la primer ecuación por 2 y la segunda por 3 puedo sumar y eliminar.
$$ 8x-6y=-4 $$ $$ -15x+6y=-3 $$ $$ \overline{-7x\hspace{10mm}=-7} $$ $$ x=1 $$ ahora tomamos la primera ecuación para sustituir el valor de \(x\) y encontrar \(y\). $$ 4(1)-3y=-2 \rightarrow y=2 $$ lo que nos da el punto \((1,2)\) como solución.

Luego por determinantes:

$$x=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
-2 & -3 \\
-1 & 2
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
4 & -3 \\
-5 & 2
\end{array} } \right]
}$$

$$ =\frac{-7}{-7}=1 $$ ahora vamos por \(y\)

$$y=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
4 & -2 \\
-5 & -1
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
4 & -3 \\
-5 & 2
\end{array} } \right]
}$$
$$ =\frac{-14}{-7}=2 $$ con lo que tenemos el punto \((1,2)\) nuevamente como solución.

6. $$ 8x+5y=39 $$ $$6x-5y=3 $$ en este caso puedo sumar y eliminar de inmediato.
$$ 8x+5y=39 $$ $$ 6x-5y=3 $$ $$ \overline{14x\hspace{10mm}=42} $$ $$ x=3 $$ ahora tomamos la segunda ecuación para sustituir el valor de \(x\) y encontrar \(y\). $$ 6(3)-5y=3 \rightarrow y=3 $$ lo que nos da el punto \((3,3)\) como solución.

Luego por determinantes:

$$x=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
39 & 5 \\
3 & -5
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
8 & 5 \\
6 & -5
\end{array} } \right]
}$$

$$ =\frac{-210}{-70}=3 $$ ahora vamos por \(y\)

$$y=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
8 & 39 \\
6 & 3
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
8 & 5 \\
6 & -5
\end{array} } \right]
}$$
$$ =\frac{-210}{-70}=3 $$ con lo que tenemos el punto \((3,3)\) nuevamente como solución.

7. $$ 6x-9y=48 $$ $$ -7x+4y=-43 $$ primero voy a dividir la primera ecuación entre 3 para que me queden números más chicos.
$$ * 2x-3y=16 $$ $$ -7x+4y=-43 $$
Voy a multiplicar la primera por 4 y la segunda por 3. Luego voy a sumar las ecuaciones para eliminar un término.
$$ 8x-12y=64 $$ $$ -21x+12y=-129 $$ $$ \overline{-13x\hspace{10mm}=-65} $$ $$ x=5 $$ ahora tomamos la ecuación \(*\) para sustituir el valor de \(x\) y encontrar \(y\). $$ 2(5)-3y=16 \rightarrow y=-2 $$ lo que nos da el punto \((5,-2)\) como solución.

Luego por determinantes:

$$x=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
16 & -3 \\
-43 & 4
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
2 & -3 \\
-7 & 4
\end{array} } \right]
}$$

$$ =\frac{-65}{-13}=5 $$ ahora vamos por \(y\)

$$y=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
2 & 16 \\
-7 & -43
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
2 & -3 \\
-7 & 4
\end{array} } \right]
}$$
$$ =\frac{26}{-13}=-2 $$ con lo que tenemos el punto \((5,-2)\) nuevamente como solución.

8. $$ \frac{2}{3}x+\frac{1}{4}y=3 $$ $$ -\frac{4}{3}x-\frac{5}{4}y=-9 $$ si multiplico la primera ecuación por 5 ya puedo sumar y eliminar.
$$ \frac{10}{3}x+\frac{5}{4}y=15 $$ $$ -\frac{4}{3}x-\frac{5}{4}y=-9 $$ $$ \overline{\frac{6}{3}x\hspace{10mm}=6} $$ $$2x=6 \Rightarrow x=3 $$ ahora tomamos la primera ecuación para sustituir el valor de \(x\) y encontrar \(y\). $$ \frac{2}{3}(3)+\frac{1}{4}y=3 \Rightarrow \frac{1}{4}y=1 \Rightarrow y=4 $$ lo que nos da el punto \((3,4)\) como solución.

Ahora resuélvanlo ustedes por determinantes:

III Plantea y resuelve los siguientes problemas

9.Si se resta 4 al numerador y se suma 3 al denominador de una fracción, su valor resulta \(\frac{1}{2}\). Si se suma 2 tanto al numerador como al denominador, el valor es \(\frac{2}{3}\). Hallar la fracción.

Escribo una fracción y al denominador le llamo \(x\) y al denominador le llamo \(y\) y sigo las instucciones de sumar y restar lo que el problema indica.

$$ \frac{x-4}{y+3}=\frac{1}{2} $$ $$\frac{x+2}{y+2}=\frac{2}{3} $$ y ahora tengo un sistema de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas pero vamos a acomodarlas de una manera que nos sea más familiar. Para eso voy a pasar los términos del denominador al otro lado del signo de igualdad, en ambos lados de la igualdad y en ambas ecuaciones.
$$ 2(x-4)=y+3 $$ $$ 3(x+2)=2(y+2) $$ ahora necesito quitar los paréntesis $$ 2x-8=y+3 $$ $$ 3x+6=2y+4 $$ acomodar las variables a un lado y las constantes al otro lado del signo de igualdad
$$ 2x-y=11 $$ $$ 3x-2y=-2 $$ y para resolver multiplico la primera por -2 y sumo $$ -4x+2y=-22 $$ $$ 3x-2y=-2 $$ $$ \overline{-x \hspace{8mm}=-24} $$ $$ x=24 $$ puede usarse la primer ecuación para sustituir el valor de \(x\) y encontrar el valor de \(y\). $$ 2(24)-y=11 \Rightarrow y=37 $$

10.El triple de un número supera en 1 a otro, mientras que el quíntuplo del primero es 4 unidades menor que el doble del segundo. Encontrar los números.

Vamos a ponerle nombre para que sea más fácil.

El triple de \(x\) supera en 1 a \(y\), mientras que el quíntuplo de \(x\) es 4 unidades menor que el doble de \(y\).

Ahora, si el triple de \(x\) supera en 1 a \(y\), entonces si le resto 1 al triple de \(x\) ahora es igual a \(y\). Y tenemos la primera ecuación $$ 3x-1=y $$ además si el quíntuplo de \(x\) es 4 unidades menor que el doble de \(y\) entonces le sumo 4 al quíntuplo de \(x\) y será igual al doble de \(y\); y tenemos la segunda ecuación $$ 5x+4=2y $$
Igual que en el ejercicio 9, acomodo las dos ecuaciones de la forma que ya conocemos para formar un sistema y resolver
$$ 3x-y=1 $$ $$ 5x-2y=-4 $$ multiplico la primer ecuación por -2, sumo, elimino y despejo $$ -6x+2y=-2 $$ $$ 5x-2y=-4 $$ $$ \overline{-x\hspace{8mm}=-6}$$ $$x=6 $$ sustituyo el valor de \(x\) en la primer ecuación para calcular el valor de \(y\). \(3(6)-y=1 \Rightarrow y=17 \).

11.La suma de dos números es 50 y su diferecia es 6. Hallar los números.

Si los números son \(x\) y \(y\) entonces \(x+y=50\) y \(x-y=6\) y ya tenemos el sistema de ecuaciones simultáneas.
$$ x+y=50 $$ $$ x-y=6 $$ $$\overline{2x\hspace{5mm}=56}$$ $$ x=28 $$ $$ 28+y=50 \Rightarrow y=22 $$

12.Hace 5 años la edad de un muchacho era un quinto de la que tenía su padre, y dentro de 10 años el hijo tendrá la mitad de la edad de su padre. Determine las edades actuales.

La primera ecuación será la que representa la edad del muchacho en relación con la del padre, de hace 5 años.$$ m=\frac{p}{5} \Rightarrow 5m=p $$ donde \(m\) representa la edad del muchacho y \(p\) la edad del padre.

La segunda ecuación tiene que representar la edad del muchacho con respecto a la del padre dentro de 10 años, es decir que sumando los 5 años que ya pasaron ambos tendrán 15 años más. $$ m+15=\frac{p+15}{2} \Rightarrow 2m+30=p+15 $$ y se tienen dos ecuaciones que pueden acomodarse de la manera usual con las variables a un lado y las constantes al otro lado del signo de igualdad, y una encima de la otra para resolver el sistema. $$ 5m-p=0 $$ $$ -2m+p=15 $$ $$ \overline{3m \hspace{5mm}=15} $$ $$ m=5 $$ se sustituye el valor de \(m\) en la primer ecuación \(5m=p \Rightarrow p=25 \).

Ahora se sabe que la edad del muchacho hace 5 años era 5 y la del padre en la misma fecha era 25. Pero como la pregunta es la edad actual, le sumamos 5 a cada uno y las edades serán 10 y 30 para el muchacho y el papá respectivamente.

13.La edad de Juan es 23 años menos que la edad de su papá. Si entre las dos edades suman 47, ¿qué edad tiene cada uno? Otra vez se establece una ecuación que represente la primer parte del problema donde la edad de Juan \(j\) es 23 años menos que edad de su papá \(p\). $$ j=p-23 $$ y un ecuación que represente la segunda parte del problema donde la suma de las edades es 47. $$ j+p=47 $$ y se resuelve
$$ j-p=-23 $$ $$ j+p=47 $$ $$ \overline{2j \hspace{5mm}=24} $$ \(j=12 \Rightarrow p=35 \).

Vamos con un poco de geometría analítica.

Un problema que puso el maestro en el exámen de geometría analítica es:
Relaciona la forma ordinaria de la parábola con el tipo que le corresponde.

1.\((x-4)^2=-16(y-2)\) \(\hspace{30mm}\) A. Vertical con apertura hacia arriba
2.\((y-2)^2=8(x+2)\) \(\hspace{35mm}\) B. Horizontal con apertura hacia la izquierda
3.\((y+4)^2=-12(x-5)\) \(\hspace{30mm}\) C. Vertical con apertura hacia abajo
4.\((x-4)^2=6(y+2)\) \(\hspace{35mm}\) D. Horizontal con apertura hacia la derecha

Aquí se pueden simplificar mucho las cosas si tomamos en cuenta solo los términos que importan para la pregunta. Según la teoría que se vió en clase las parábolas pueden ser verticales y horizontales. Son verticales si el término cuadrático es \(x\) y son horizontales si el término cuadrático es \(y\). Por otro lado, son hacia arriba o hacia la derecha si el término cuadrático tiene el mismo signo que el término lineal. Y son hacia abajo o hacia la izquierda si el término cuadrático y el lineal tienen signos contrarios.

En la lista vemos que en el número 1 y el número 4 el término cuadrático es \(x\) porque forma parte del binomio que está elevado al cuadrado. Entonces son parábolas verticales. En el número 2 y el número 3 el término cuadrático es \(y\) porque forma parte del binomio que está elevado al cuadrado. Entonces son parábolas horizontales.

Ahora nos fijamos en el otro lado de la igualdad. En el binomio lineal (que no está elevado al cuadrado) el número 1 y el numero 3 están multiplicados por un número negativo, entonces se abre hacia abajo o hacia la izquierda. El número 2 y el número 4 están multiplicados por un número positivo, entonces se abren hacia arriba o hacia la derecha.

Juntando la información de las dos caracterísiticas tenemos que :
La parábola del número 1 tiene como término cuadrático la \(x\) entonces es vertical; y el signo de la variable cuadrada \(x^2\) es contrario al signo de la variable lineal \(-16y\) entonces abre hacia abajo. Luego la respuesta correcta es C.

La parábola del número 2 tiene \(y^2\) y \(8x\), entonces es horizontal hacia la derecha: respuesta D.

La parábola del número 3 tiene \(y^2\) y \(-12x\), entonces es horizontal hacia la izquierda: respuesta B.

La parábola del número 4 tiene \(x^2\) y \(6y\), entonces es vertical hacia arriba: respuesta A.

Otro problema que puso el maestro en el exámen de geometría analítica es:

La ecuación de la parábola que tiene como vértice \(V(2,-2)\) y como foco \(F(-1,-2)\) es:

• a.\(\hspace{5mm}y^2-12x-4y-44=0\)
• b.\(\hspace{5mm}y^2+12x+4y-20=0\)
• c.\(\hspace{5mm}y^2+16x+2y-41=0\)
• d.\(\hspace{5mm}y^2-16x+2y-8=0\)

Lo primero que podemos hacer es graficar el vértice y el foco. Así sabremos de inmediato qué tipo de parábola es: horizontal o vertical y hacia dónde está abierta. Como el vértice está a la derecha del foco, sabemos que es una parábola horizontal que abre hacia la izquierda. Y si nos fijamos en el ejercicio anterior, en la forma ordinaria los signos de la variable cuadrática y lineal deben ser contrarios, pero cuando pasamos la variable lineal al otro lado del signo de igualdad, en esta otra forma —que no es la ordinaria—, los signos de la variable cuadrática y lineal son iguales. Ahora sabemos que las opciones a y d no son correctas porque son ecuaciones de parábolas que abren hacia la derecha.

También sabemos que \(p\) es la distancia del vértice al foco, que en este caso es 3. Además conocemos la fórmula para una parábola con vértice en \(V(h,k)\) y foco en \(F(h-p,k)\), que es este caso. $$ (y-k)^2=-4p(x-h) $$ solo queda sustituir \(V(2,-2)\) en \(V(h,k)\) y desarrollar $$ (y+2)^2=-4(3)(x-2)= $$ $$ y^2+4y+4= -12x+24 $$ y acomodamos igualando la ecuación a cero. $$ y^2+12x+4y-20=0 $$ que es el inciso b.

Foto del Malecón de La Paz, B.C.S.

Ejercicios Cobach Norte 26 de noviembre 2016.

Solución de un sistema de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas

Dos ecuaciones son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas. Así, las ecuaciones $$ x+y=5 $$ $$ x-y=1 $$
son simultáneas porque el punto donde \(x=3\) y \(y=2\) satisface ambas ecuaciones.

Dos ecuaciones son equivalentes cuando una se obtiene de la otra. Así, las ecuaciones $$ x+y=4 $$ $$ 2x+2y=8 $$ son equivalentes porque multiplicando por 2 la primera se obtiene la segunda.

Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Las ecuaciones independientes no se obtienen una de la otra y cuando tienen una solución común son simultáneas. Las ecuaciones \(x+y=5\) y \(x-y=1\) son independientes porque no se obtiene una de la otra y son simultáneas porque tienen un único par de valores que satisface ambas ecuaciones.

La solución de un sistema de ecuaciones es el conjunto de valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema. Un sistema es compatible cuando tiene una solución y es incompatible cuando tiene infinitas soluciones.
Para resolver un sistema de ecuaciones existen varios métodos. Aquí vamos a ver: eliminación, sustitución y método gráfico.

Ahora vamos a tomar los 4 sistemas de ecuaciones que vimos en el salón de clase y vamos a resolver por los 3 métodos y veremos un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones simultáneas con tres incógnitas.

a. $$ x+2y=2 $$ $$ 2x+4y=4 $$

En este caso es muy claro que si multiplicamos la primera ecuación por 2 se obtiene la segunda ecuación. Esto quiere decir que son equivalentes y por lo tanto el sistema es incompatible.

b. $$ 2x+y=4 $$ $$ x+2y=5 $$

* ELIMINACIÓN.

Queremos eliminar una de las dos incógnitas para lo que empezamos por encontrar un número por el que se multiplicará una de las dos ecuaciones para que al sumarlas podamos eliminar una incógnita y poder encontrar el valor de la otra. En este caso multiplicamos la primera ecuación por -2 y las sumamos.

$$ -4x-2y=-8 $$ $$ x+2y=5 $$ $$ \overline{-3x+0=-3} $$ $$ x=\frac{-3}{-3}=1 $$ Ahora tenemos el primer valor \(x=1\) que podemos sustituir en cualquiera de las ecuaciones del sistema para obtener el valor de la otra incógnita, entonces en lugar de \(x\) pongo 1 que es su valor
$$ [1]+2y=5 $$ luego paso el 1 restando al otro lado del signo de igualdad $$ 2y=4 $$ y finalmente despejo la \(y\) $$ y=\frac{4}{2}=2 $$ quedando la solución en el punto (1,2).

*SUSTITUCIÓN.

Despejamos una incógnita de la primera ecuación y la sustituímos en a segunda ... o despejamos una incógnita de la segunda ecuación y la sustituímos en la primera. Aquí parece más fácil despejar la \(x\) de la segunda ecuación
$$ x=5-2y \hspace{15mm}...(1) $$ y este valor de \(x\) lo sustituímos en la primera ecuación
$$ 2[5-2y] +y=4 $$ resolviendo y despejando $$ [10-4y]+y=4 $$ $$ -3y=-6 $$ $$ y=\frac{-6}{-3}=2 $$ y se obtiene el primer valor \(y=2\) que se sustituye en (1) para obtener \(x\). $$ x=5-2[2]=1 $$ por lo que nuevamente tenemos el punto (1,2) de solución.

*MÉTODO GRAFICO.

$$(a) .... 2x+y=4 $$
$$(b) .... x+2y=5 $$
para resolver por el método gráfico pues graficamos. En el plano cartesiano graficamos 2 puntos (o mas) de cada ecuación y vemos dónde se encuentra el punto que tienen en común, es decir, en dónde se cruzan. Para graficar, como vimos en clase, le damos valores a la \(x\) y encontramos los valores de \(y\) mediante la ecuación. Acuérdense que la ecuación es como una maquinita donde yo meto una \(x\) y me va a resultar en un valor de \(y\). Y si meto otra \(x\) me va a resultar en otro valor de \(y\). Entonces, para \(x=1\) en la ecuación (a) tendré \(2(1)+y=4\), y si paso el 2 restando al otro lado del = resulta que \(y=2\) por lo que tengo el punto (1,2). Para \(x=2\) en la ecuación (a) tendré \(2(2)+y=4\); paso el 4 restando al otro lado del = resulta que \(y=0\) por lo que tengo el punto (2,0), y para \(x=0\) hago la misma operación y resulta \(y=4\). Ahora tengo 3 puntos de la ecuación (a).
Luego, para \(x=1\) en la ecuación (b) tendré \((1)+2y=5\), y despejando resulta que \(y=2\) por lo que tengo el punto (1,2). Para \(x=2\) en la ecuaión (b) tendré \((2)+2y=5\), y despejando resulta que \(y=3/2\) por lo que tengo el punto (2,3/2), y para \(x=0\) hago la misma operación y resulta \( y=5/2\). Ahora tengo 3 puntos de la ecuación (b).

Hacemos una tablita con los valores para cada ecuación:

x	y
1	2
2	0
0	4

x	y
1	2
2	3/2
0	5/2

Acto seguido me traslado de inmediato al plano cartesiano y grafico los tres puntos de la ecuación (a) y los tres puntos de la ecuación (b) para obtener...

donde aparece señalado el punto común o punto solución.

c. $$ x+y=2 \hspace{6mm}...(c) $$ $$ 2x+2y=3 \hspace{6mm}...(d) $$ Si nos fijamos un poco en este ejercicio vemos que aunque la primera ecuación no puede obtenerse de la segunda, sí sucede que para usar el método de eliminación podemos multiplicar la primera por -2 y quedaría un resultado absurdo... vamos a ver

$$-2x-2y=-4 $$ $$ 2x+2y=3 $$ $$ \overline{\hspace{6mm}0=-1} $$ entonces podemos sospechar que aunque no sean ecuaciones equivalentes, pueden ser paralelas, que nunca se cruzarán por lo que no tendrán un punto común. ¿y cómo podemos saber que son paralelas? porque tienen la misma inclinación ¿y cómo sabemos que tienen la misma inclinación? calculando la pendiente, que es la tangente del ángulo de inclinación ¿y cómo se calcula la pendiente? muy fácil: \(pendiente=\frac{coeficiente-y}{coeficiente -x}\)

El coeficiente es el número (o constante) que acompaña a la letra (o variable), y se tiene \(pendiente(c)=\frac{1}{1}=1\) y \(pendiente(d)=\frac{2}{2}=1\) mostrando que ambas ecuaciones tienen la misma pendiente o inclinación. ¿lo dudan? pues a graficar...

d. $$ 2x-4y=6 $$ $$ x-2y=3 $$

En este caso también se ve que si multiplicamos la segunda ecuación por 2 se obtiene la primera ecuación. Esto quiere decir que son equivalentes y por lo tanto el sistema es incompatible.

e.

Ahora vamos a ver el ejemplo que nos muestra el Sr. Baldor en la página 341 de su tan famoso libro.
Resolver el sistema $$ x+4y-z=6 \hspace{10mm}(1) $$ $$ 2x+5y-7z=-9 \hspace{6mm}(2) $$ $$ 3x-2y+z=2 \hspace{10mm}(3) $$
Combinamos las ecuaciones (1) y (2) y vamos a eliminar la \(x\). Multiplicando la ecuación (1) por -2 se tiene
$$ -2x-8y+2z=-12 $$ $$ 2x+5y-7z=-9 $$ $$\overline{\hspace{6mm}-3y-5z=-21} \hspace{6mm} (4) $$
Combinamos la ecuación (3) con cualquiera de las otras dos ecuaciones. Vamos a combinarla con (1) para eliminar la \(x\). Multiplicando (1) por -3 tenemos:
$$ -3x-12y+3z=-18 $$ $$ 3x-2y+z=2 $$ $$\overline{\hspace{6mm}-14y+4z=-16} \hspace{6mm} $$ y puede simplificarse dividiendola entre 2 $$ -7y+2z=-8 \hspace{6mm} (5) $$
Ahora tomamos (4) y (5) para formar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que ya sabemos cómo resolver
$$ -3y-5z=-21 \hspace{6mm} (4) $$ $$ -7y+2z=-8 \hspace{6mm} (5) $$
Vamos a eliminar \(z\) multiplicando (4) por 2 y (5) por 5:
$$ -6y-10z=-42 $$ $$ -35y+10z=-40 $$ $$ \overline{-41y\hspace{4mm}=-82} $$ $$ y=2 $$ Sustituyendo \(y=2\) en (5) se tiene:
$$ -7[2]+2z=-8 $$ $$ 2z= -8+14=6 $$ $$ z=3 $$
Sustituyendo \(y=2\) y \(z=3\) en cualquiera de las tres ecuaciones del sistema, por ejemplo en (1), se tiene:
$$ x+4[2]-3=6 $$ $$x=6+3-8=1 $$
Solución: \(x=1\), \(y=2\), \(z=3\).

f. Ahora vamos con derivadas:

$$g(x)=\frac{(1-2x)^6}{(x-4)^4} $$
Si queremos analizar la función veremos en primer lugar que es un cociente; en segundo lugar que los términos del cociente están elevados a potencias y en tercer lugar que los términos del cociente que están elevados a potencias son funciones. Y así es como se aplica a regla de la cadena.

$$ g'(x)=\frac{(x-4)^4\left[(1-2x)^6\right]'-(1-2x)^6\left[(x-4)^4\right]'}{\left[(x-4)^4\right]^2} \hspace{10mm} (1) $$

pero si llamamos \(h(x)=(1-2x)^6\) y \(j(x)=(x-4)^4\) podemos resolver las derivadas \(h'(x)\) y \(j'(x)\) y las sustituimos en (1).
$$ h'(x)=6(1-2x)^5(-2) $$ noten que el -2 es la derivada de la función \(1-2x\)
$$ j'(x)=4(x-4)^3 $$ se sustituye y se simplifica, poniendo las constantes juntas y eliminando los factores comunes.
$$ g'(x)=\frac{(x-4)^46(1-2x)^5(-2)-(1-2x)^64(x-4)^3}{(x-4)^8}= $$
$$ \frac{-12(x-4)^4(1-2x)^5-4(1-2x)^6(x-4)^3}{(x-4)^8} $$ y podemos tomar \((x-4)^3\) como factor común y eliminarlo en cada término del numerados y también en el denominador.
$$ \frac{-12(x-4)(1-2x)^5-4(1-2x)^6}{(x-4)^5} $$ ya si quieren verse muy listos pueden tomar \((1-2x)^5\) como factor común
$$ \frac{(1-2x)^5\left(-12x+48-4(1-2x)\right)}{(x-4)^5}= $$
$$ \frac{(1-2x)^5[-12x+48-4+8x]}{(x-4)^5}= $$
$$ \frac{(1-2x)^5[44-4x]}{(x-4)^5} $$

g.
$$ l(x)=\frac{(4x^2+12x+9)^3}{(4x^2-9)^3} $$ Si vemos detenidamente se nota primero que tanto el numerador como el denominador están elevados a la misma potencia, entonces podemos meterlos en un gran paréntesis y sacar la potencia. En segundo lugar notamos que el término del numerador es un trinomio cuadrado perfecto y el del denominador es una diferencia de cuadrados. Entonces podemos ponerlos en una forma más simple.
$$ l(x)=\left[\frac{(4x^2+12x+9)}{(4x^2-9)}\right]^3= $$
$$\left[\frac{(2x+3)^2}{(2x+3)(2x-3)}\right]^3= $$ y hasta podemos eliminar un factor
$$\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]^3 $$ parece más fácil, ¿no?

Ahora podemos empezar a derivar
$$ l'(x)=3\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]^2\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]' $$ ahora vamos a calcular $$ \left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]'=\frac{2(2x-3)-2(2x+3)}{(2x-3)^2} $$ ahora simplificamos el numerador y quitamos los signos $$2(2x-3)-2(2x+3)=2[(2x-3)-(2x+3)]=2[2x-3-2x-3]=2[-6]=-12 $$ por lo que tenemos
$$ l'(x)=3\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]^2\left(\frac{-12}{(2x-3)^2}\right) $$ y podemos simplicar $$ \frac{-36(2x+3)^2}{(2x-3)^4} $$ y si no estamos seguros de que es correcto buscamos la respuesta en el Wolfram Alpha.

h. $$ y=\frac{(x^6-8x^3+16)^3}{(x^3-4)^2} $$ a estas alturas ya somos muy observadores y notamos que nuevamente el numerador es un trinomio cuadrado perfecto y se procede a expresarlo
$$ y=\frac{((x^3-4)^2)^3}{(x^3-4)^2} $$ a partir de aquí todo va muy fácil porque solo solucionamos los asuntos de los exponentes y finalmente derivamos$$ y=\frac{(x^3-4)^6}{(x^3-4)^2}= (x^3-4)^4 $$
$$y'=4(x^3-4)^3(3x^2)=12x^2(x^3-4)^3 $$

i. $$g(x)=\frac{1}{\sqrt{2-x}} $$ si le damos tratamiento como cualquier función elevada a cualquier potencia se puede acomodar de otra forma
$$g(x)=(2-x)^{-1/2} $$ y se procede a derivar
$$g'(x)=(-\frac{1}{2})(2-x)^{-3/2}(-1) $$ es decir, bajamos el exponente como coeficiente, le restamos uno al exponente y lo multiplicamos por la derivada de la función de adentro. Finalmente $$ g'(x)= \frac{1}{2(2-x)^{3/2}} $$

j. $$t(x)=\frac{\sqrt{x-9}}{\sqrt{x^2-81}} $$ como ya somos expertos en productos notables pues notamos que en el denominador hay una diferencia de cuadrados y procedemos a mostrarla, además sabemos que podemos cambiar la fracción de radicales en el radical de una fracción y finalmente simplificar... después de todo eso la derivada casi se resuelve sola.
$$ t(x)=\left[\frac{x-9}{(x-9)(x+9)}\right]^{1/2}=\frac{1}{(x+9)^{1/2}} =(x+9)^{-1/2} $$ resolviendo la deriada de acuerdo a su exponente
$$ t'(x)=-\frac{1}{2}(x+9)^{-3/2}=\frac{-1}{2(x+9)^{3/2}} $$

k.$$ g(x)=\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]^7 $$ en este ejercicio no parece que podamos simplificar de modo que vale más empezar porque parece largo
$$g'(x)=7\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]^6\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]' $$ y podemos resolver por separado y después sustituír
$$ \left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]'=\frac{(x^3+5)(6x^5)-(x^6-2)3x^2}{(x^3+5)^2}= $$ $$ \frac{6x^8+30x^5-3x^8+6x^2}{(x^3+5)^2}= \frac{3x^8+30x^5+6x^2}{(x^3+5)^2}= $$ $$ \frac{3x^2(x^6+10x^3+2)}{(x^3+5)^2} $$ ahora vamos a poner este resultado en la \(g'(x)\)
$$ g'(x)=7\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]^6 \frac{3x^2(x^6+10x^3+2)}{(x^3+5)^2} = \frac{21x^2(x^6+10x^3+2)(x^6-2)^6}{(x^3+5)^8} $$

l.$$ m(x)=-\frac{5}{(x^2-4)^7} $$ solo hay que cuidar los signos
$$ m(x)=-5(x^2-4)^{-7} $$ y derivar $$ m'(x)=35(x^2-4)^{-8}(2x)=\frac{70x}{(x^2-4)^8} $$

Referencia

• Álgebra de Baldor

Foto de la Escuela de Agricultura de la Unison.

Ejercicios Cobach Norte 12 de noviembre de 2016.

Factoriza

1. $$9x^2y^2-27x^3y^4z+3xyz+18x^5y^2z=$$

Explica el Sr. Baldor, en su libro de Álgebra, pag.144, el caso I de descomposición de un polinomio en dos o más factores: cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Del polinomio de arriba tomamos el factor común \(3xy\) que es el mayor factor común a cada término del polinomio. Luego dividimos cada término del polinomio entre el factor común y escribimos el resultado entre paréntesis al lado del factor común.

$$3xy(3xy-9x^2y^3z+z+6x^4yz)$$

2. $$\frac{28}{25}m^4n+\frac{14}{15}mn^4p-\frac{7}{30}m^5n^5p^5-\frac{21}{5}m^6p^6 $$
El mayor factor común de los numeradores es el 7 y de los denominadores es el 5, de las letras \(m\), entonces tenemos \(\frac{7}{5}m\) como el factor entre el que vamos a dividir cada término del polinomio.
$$ \frac{7}{5}m\left(\frac{4}{5}m^3n+\frac{2}{3}n^4p-\frac{1}{6}m^4n^5p^5-3m^5p^6 \right) $$

3. $$22cosx+44cos^2x-cos^3x+11cos^5x=$$
Como vimos en clase podemos resolverlo de dos formas: tomando el \(11 cosx \) como factor o solo \( cosx \) . En el primer caso tendremos
$$ 11cosx(2+4cosx-\frac{1}{11}cos^2x+cos^4x) $$
en el segundo caso tendremos
$$ cosx(22+44cosx-cos^2x+11cos^4x)$$

4. $$ 5xy(x+y)-2y(x+y)-(x+y)-15x(x+y)= $$
En este caso se ve claramente que el factor que es común es \((x+y)\) y se procede
$$(x+y)(5xy-2y-1-15x) $$

5. $$ x^4-36 $$ Como les dije éste es de los más fáciles que tendrán que resolver en su ... larga vida como estudiantes porque es una diferencia de cuadrados y se factoriza con la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).
$$ x^4-36=(x^2+6)(x^2-6) $$
6. $$ m^2-121=(m+11)(m-11) $$
7. $$ \frac{25}{49}x^6-1=(\frac{5}{7}x^3+1)(\frac{5}{7}x^3-1) $$
8. $$ x^2-x+90 $$ En este caso estuvimos buscando, para factorizar como nos enseñaron, dos números que multiplicados dieran 90 y sumandos dieran -1, pero no los encontramos. Entonces nos acordamos de la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado... aquella que dice:
$$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
si \(b^2< 4ac\) el resultado no será un número real porque se tendrá la raíz cuadrada de un número negativo, que es imaginario. En este ejercicio \(\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{1-360}=\sqrt{-359}\) por eso no pudimos resolverlo como queríamos.

9. $$ m^2-7m+12 $$ Aquí sí podemos usar la fórmula que nos enseñaron: buscar dos números que multiplicados den 12 y sumados den -7. Y esos números son -4 y -3 y resolvemos.
$$ m^2-7m+12=(m-4)(m-3) $$

10. $$x^2-9xy+20y^2 $$ dos números que multiplicados den 20 y sumados den -9 y que son -4 y -5. Pero en este ejercicio también se tiene una \(y^2\) que se incluye al final.
$$x^2-9xy+20y^2=(x-4y)(x-5y) $$

11. $$ 9x^2-30xy^2+25y^4 $$ En la página 163 el Sr. Baldor nos enseña cómo descomponer en factores un trinomio de la forma \(ax^2+bx+c\)

• primero multiplicamos y dividimos por el coeficiente de \(x^2\) y dejamos indicado el producto del segundo término
• ahora como en el caso anterior se ponen las raíces del primer término del trinomio en cada paréntesis; se buscan dos números que multiplicados den el último término del nuevo trinomio y que sumados den el segundo término (que se dejó sin multiplicar).
• finalmente se busca de qué manera dividir cada factor para no tener fracciones.

¿claro como el agua? Vamos a resolver
$$ 9x^2-30xy^2+25y^4 =\frac{9(9x^2-30xy^2+25y^4)}{9}=\frac{81x^2-30xy(9)+225}{9} $$
$$ (9x+[] )(9x+[] ) $$ se buscan dos números que multiplicados den 225 y sumados den -30 y son -15 y -15, entonces se descompone sin olvidar que al final queda una \(y^4\)
$$ 9x^2-30xy^2+25y^4 =\frac{(9x-15 y^2)(9x-15y^2 ) }{9}= \frac{(9x-15 y^2)(9x-15y^2 ) }{3\times 3} =$$ $$ (3x-5 y^2)(3x-5y^2 ) =(3x-5y^2)^2 $$

12. $$ 10x^2-13x-3=\frac{10(10x^2-13x-3)}{10}=\frac{100x^2-13x(10)-30)}{10} = $$ dos números que multiplicados den -30 y sumados den -13, y son -15 y 2
$$ \frac{(10x-15)(10x+2) }{10} = \frac{(10x-15)(10x+2) }{5\times 2}=(2x-3)(5x+1)$$

13. $$ 6y^2-17y+5= \frac{6(6y^2-17y+5)}{6}=\frac{36y^2-17y(6)+30}{6}$$
dos números que multiplicados den 30 y sumados den -17 y son -15 y -2
$$ \frac{(6y-15)(6y-2)}{3\times 2}=(2y-5)(3y-1) $$

14. $$ 4x^2-4xy-3y^2 =\frac{4(4x^2-4xy-3y^2)}{4}=\frac{16x^2-4xy(4)-12y^2}{4} $$
dos números que multiplicados den -12 y sumados den -4 y son -6 y 2.
$$ \frac{(4x-6y)(4x+2y)}{2\times 2}=(2x-3y)(2x+y) $$
15. $$ 2m^2-mn-n^2 =\frac{2(2m^2-mn-n^2 )}{2}=\frac{4m^2-mn(2)-2n^2}{2}= $$
dos números que multiplicados den -2 y sumados den -1 y son -2 y 1.
$$ \frac{(2m-2n)(2m+n)}{2}=(m-n)(2m+n) $$

16.$$ 7x^2-6x-1=\frac{7(7x^2-6x-1)}{7}=\frac{49x^2-6x(7)-7}{7} $$ dos números que multiplicados den -7 y sumados den -6 y son -7 y 1.
$$\frac {(7x-7)(7x+1)}{7} =(x-1)(7x+1) $$

17.$$ 8x^2-6xy+y^2=\frac{8(8x^2-6xy+y^2)}{8}=\frac{64x^2-6xy(8)+8y^2}{8} $$
dos números que multiplicados den 8 y sumados den -6 y son -4 y -2.
$$\frac {(8x-4y)(8x-2y)}{4\times 2} =(2x-y)(4x-y) $$

18.$$ 16x^2+40x+25 $$
En la página 149 de su libro, el Sr. Baldor nos dice la regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto: i. Cuando el primer y tercer término tienen raíz cuadrada exacta y son positivos, ii. El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos. Así que en este ejercicio se cumple el inciso i porque \(\sqrt{16x^2}=4x\) y \(\sqrt{25}=5\); y se cumple el inciso ii porque \(2(4\times 5)=40\). Luego para factorizar se extraen las raíces cuadradas del primero y tercer término y se separan por el signo del segundo término.
$$ 16x^2+40x+25 =(4x+5)(4x+5)=(4x+5)^2 $$

Referencia

• Álgebra, Baldor

Foto de Matei

Ejercicios Cobach Norte 5 noviembre 2016.

I. Simplificar la siguientes expresiones:

1. $$(-4a^3b^5)(7ab^5c^{-4})(2b^{-8}c^{-1})(a^{-5}b^4c^{-2})$$
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa del producto, podemos intercambiar y agrupar los factores para que sea más fácil simplificar :
$$ (-4)(7)(2)(a^3aa^{-5})(b^5b^5b^{-8}b^4)(c^{-4}c^{-1}c^{-2})= $$
multiplicamos los coeficientes, cuidando los signos y se suman los exponentes
$$ -56a^{-1}b^6c^{-7} $$
y finalmente convertimos los exponentes negativos en positivos, tomando su recíproco, es decir \(x^{-n}=\frac{1}{x^n}\).
$$ \frac{-56b^6}{ac^7} $$

2. $$ \frac{21m^9n^8p^6}{28m^5n^2p^3} $$
Si dividimos entre 7 el numerador y el denominador, la expresión no se altera y además se simplifica
$$ \frac{(21/7)m^9n^8p^6}{(28/7)m^5n^2p^3}= \frac{3m^9n^8p^6}{4m^5n^2p^3} $$
y se resuelve
$$\frac{3}{4}m^4n^6p^3$$

3. $$ \frac{36d^4e^6f^8}{24d^{-4}e^6f^{-12}} $$
puede ser más fácil si primero convierto los exponentes negativos a positivos
$$ \frac{36d^4d^4e^6f^8f^{12}}{24e^6} $$
entonces resolvemos: divido entre 12 el numerador y el denominador, sumo los exponentes y simplifico porque \(\frac{e^6}{e^6}=1\)
$$ \frac{(36/12)d^4d^4e^6f^8f^{12}}{(24/12)e^6}=(3/2)d^8f^{20} $$

4. $$\left( \frac{2}{7}p^3qr^{-5} \right) \left( \frac{21}{8}p^2q^4r^0 \right) \left( -\frac{16}{3}p^{-7}q^{-3}r^5 \right)= $$

aquí podemos intentar simplificar todo lo que se pueda las fracciones. Primero divido entre 8 el 16 del numerador del y el 8 del denominador para que las fracciones queden:
$$\left( \frac{2}{7}p^3qr^{-5} \right) \left( \frac{21}{1}p^2q^4r^0 \right) \left( -\frac{2}{3}p^{-7}q^{-3}r^5 \right)= $$
luego divido entre 7 el 7 del denominador y el 21 del numerador para que queden:
$$\left( \frac{2}{1}p^3qr^{-5} \right) \left( \frac{3}{1}p^2q^4r^0 \right) \left( -\frac{2}{3}p^{-7}q^{-3}r^5 \right)= $$
luego divido entre 3 el 3 del numerador y el 3 del denominador para que quede:
$$\left( \frac{2}{1}p^3qr^{-5} \right) \left( \frac{1}{1}p^2q^4r^0 \right) \left( -\frac{2}{1}p^{-7}q^{-3}r^5 \right)= $$
y finalmente multiplicamos las fracciones para que quede una sola, y resolvemos los exponentes.

$$-4p^{-2}q^2=\frac{-4q^2}{p^2} $$

5. $$ \left[ \frac{(5m^{-3})^4(-8x^4)^2}{20m^5x^8} \right] ^0 =$$

todos querían resolver este problema cuando se dieron cuenta que no tenían que hacer ninguna operación porque “cualquier número elevado a la cero potencia es igual a uno”. Entonces
$$ \left[ \frac{(5m^{-3})^4(-8x^4)^2}{20m^5x^8} \right] ^0 =1 $$

6. $$ (3x^{n+4})(-2x^{2n-1})(x^n) $$

aquí, como en los anteriores solo debemos multiplicar los coeficientes y sumar los exponentes
$$ -6x^{n+4+2n-1+n}=-6x^{4n+3} $$

7. \( (-2^3)(-2^4)(-2^{-5})(2^3)\) esta expresión que parece muy fácil tiene el detalle de que no podemos solo sumar los exponentes de los cuatro factores porque el último factor es 2 y no -2. Entonces resolvemos por separado \( (-2^{3+4-5})(2^3)=(-2^2)(8)=32 \).

8. $$ (-3m^4n^{-1})^{-4} = $$ puede resolverse de dos maneras. Primero multiplicamos los exponentes y luego resolvemos que no queden negativos o viceversa. Yo escojo la segunda manera
$$ (-3m^4n^{-1})^{-4} = \frac{1}{(-3m^4n^{-1})^4 }=\frac{1}{-3^4m^{16}n^{-4}}=\frac{n^4}{81m^{16}}$$

9.

$$ \sqrt{25p^6q^{16}r^8} $$ aquí debemos tomar en cuenta que sacar raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado, es decir que \( \sqrt{x^2}=x\). Entonces se quiere poner cada elemento en términos de potencia cuadrada para sacarlo del radical. Así, \(\sqrt{25}= \sqrt{5^2}=5\).
$$ \sqrt{5^2(p^3)^2(q^8)^2(r^4)^2}= 5p^3q^8r^4 $$ se elimina el exponente cuadrado al sacarlo de la raíz.

10.

$$ \sqrt[3]{64a^9b^{15}c^{18}} $$ siquiendo el procedimiento anterior tomamos en cuenta que la raíz cúbica es la inversa de elevar al cubo y se quiere poner cada elemento en términos de potencia cúbica para sacarlo del radical.
$$ \sqrt[3]{64a^9b^{15}c^{18}} =\sqrt[3]{4^3(a^3)^3(b^5)^3(c^6)^3}= 4a^3b^5c^6 $$

11.

$$ \frac{(-3xyz^5)(-4x^5y^2z^{-5})(5xy^{-4}z)}{(10x^{-2}yz^{-1})(-2x^3y^{-7}z^2)} $$
uff!! ¿por dónde empezar? Creo que si multiplicamos el (-4) por 5 del numerador y luego el 10 por (-2) del denominador tendremos (-20/-20)=1 y todo se simplifica un poco
$$ \frac{(-3xyz^5)(x^5y^2z^{-5})(xy^{-4}z)}{(x^{-2}yz^{-1})(x^3y^{-7}z^2)} $$
ahora pueden resolverse los exponentes del numerador y por separado los del denominador para simplificar un poco más
$$ \frac{(-3x^7y^{-1}z)}{(xy^{-6}z)} $$ luego como ya sabemos, a los exponentes del numerador se restan los del denominador y se cambian a positivos los que no lo sean

$$ -3x^6y^5$$

II. Realiza los siguientes productos

12.

$$ 5x^3y^2z(4x^{-1}yz^2+5xy^{-2}z^3-2z^{-4})= $$
como bien lo dijeron en el salón de clase, este es un producto de un monomio por un trinomio y se soluciona multiplicando el monomio por cada elemento del trinomio.
$$ 5x^3y^2z(4x^{-1}yz^2+5xy^{-2}z^3-2z^{-4})=20x^2y^3z^3+25x^4z^4-10x^3y^2\frac{1}{z^3} $$

13.

$$(2a-3b)(6c+3d)$$ este es el producto de dos binomios y se resuelve así (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
$$(2a-3b)(6c+3d)=12ac+6ad-18bc-9bd $$

14.

$$ (2x^3y-2x^2z)(3yz+4x) $$ éste también es un producto de dos binomios, pero ahora de grado mayor.
$$ (2x^3y-2x^2z)(3yz+4x)=6x^3y^2z+8x^4y-6x^2yz^2-8x^3z $$

15.

$$ (5x-8)(4x+2) =40x^2+10x-32x-16=40x^2-22x-16 $$

16.

$$ (5m+3n)(5m+3n) $$ éste es un binomio al cuadrado y se resuelve igual que los anteriores, pero aquí podemos usar la fórmula: el cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. Aprenderse esta fórmula de memoria les facilitará mucho su vida de estudiantes.
$$ (5m+3n)(5m+3n) =(5m+3n)^2=25m^2+30mn+9n^2 $$

17.

$$ (4x-7y)(4x+7y) $$
éste es el producto de la suma por la diferencia de dos términos y es tan famoso como el cuadrado del binomio, porque es muy fácil de resolver. El resultado es la diferencia de los cuadrados de cada término. También deberán aprenderla de memoria
$$ (4x-7y)(4x+7y) =16x^2-49y^2 $$
ahora podemos ver si es cierto si lo resolvemos como cualquier producto de binomios
$$ (4x-7y)(4x+7y) = 16x^2+28xy-28xy-49y^2 $$ y como puede verse los dos términos de enmedio se eliminan.

18.

$$ (-3m+5n)(3m+5n) $$
este ejercicio es igual que el anterior si acomodamos los términos de otra manera
$$ (-3m+5n)(3m+5n) = (5n+3m)(5n-3m)=25n^2-9m^2$$

19.

$$ (7x-2)^2 $$ con la fórmula
$$ (7x-2)^2 =49x^2-28x+4 $$

20.

$$ (5a+\frac{1}{2}b)^2=25a^2+5ab+\frac{1}{4}b^2 $$

21.

$$ (x-8)^3 $$ cuando elevamos un binomio al cubo puede hacerse de dos formas. Primero lo elevamos al cuadrado y luego lo multiplicamos otra vez por él mismo \( (a+b)^3=(a+b)^2(a+b)\) o también puede usarse la fórmula \( (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\). Este ejercicio lo resolvemos usando la primer forma y el siguiente la segunda.
$$ (x-8)^3=(x-8)^2(x-8)=(x^2-16x+64)(x-8)= $$
$$x^3-8x^2-16x^2+128x+64x-512=x^3-24x^2+192x-512 $$

22.

$$(2x+2y)^3=8x^3+24x^2y+24xy^2+8y^3 $$

23.

$$ (2x^3+3x+5)^2 $$ cuando elevamos al cuadrado un trinomio puede hacerse de dos formas. Podemos asociar dos sumandos para convertir el trinomio en binomio y resolver con la fórmula que vimos antes, o podemos multiplicar cada uno de los términos del primer trinomio por cada uno de los del segundo:
\( (a+b+c)^2=(a+b+c)(a+b+c)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \). Este ejercicio lo resolvemos usando la primer forma y el siguiente la segunda.
$$ (2x^3+3x+5)^2= (2x^3+[3x+5])^2=4x^6+2(2x^3)(3x+5)+(3x+5)^2= $$
$$ 4x^6+2(6x^4+10x^3)+9x^2+30x+25=4x^6+12x^4+20x^3+9x^2+30x+25 $$

24.

$$ (3x^2y^3-2xy-1)^2=9x^4y^6+4x^2y^2+1-12x^3y^4-6x^2y^3+4xy $$

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Ejercicios Cobach Norte 8 de octubre de 2016.

Ahora tocó un tema de derivadas.

La derivada de una función mide la rapidez con la que cambia la función \(f(x)\) en la medida que cambia la variable independiente \(x\).

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

El ejercicio pide encontrar la ecuación de la línea tangente a la curva en un punto:

1. \(f(x)=x^2+1\) y el punto es \(x=3\).
   Primero me gustaría saber cómo es la función, y dónde queda la tangente que me piden:
   
   
   

   En esta gráfica sacada del fooplot aparece la función cuadrática que tiene forma de parábola, y el punto rojo donde se conectan la parábola y la recta tangente.

   Vamos a llamar \(m\) a la pendiente de la recta tangente, y además sabemos que el punto rojo, cuya primer coordenada es 3, pertenece a la parábola y también a la recta.

   Como se definió antes la derivada es la pendiente de la tangente a la curva en el punto pedido, entonces vamos a calcular la derivada mediante el límite.

   $$m=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= $$ entonces ponemos la función \(f\) como se definió antes
   $$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{((x+h)^2+1-(x^2+1)}{h}= $$ y desarrollamos
   $$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2+2xh+h^2+1-x^2-1}{h}= $$ simplificamos eliminando la \(x^2\) y el 1
   $$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh+h^2}{h}= $$ y seguimos simplificando eliminando algunas \(h\)s
   $$ \lim_{h\rightarrow 0}2x+h= 2x $$
   cuando se evalúa en \(x=3\) el resultado es 6. Entonces la pendiente de la tangente en \(x=3\) es 6. Y en \(x=3\) se tiene \(f(3)=3^2+1=10\). Si a este punto le llamamos \(p_0=(3,10)\) ahora tenemos un punto y la pendiente con lo que podemos calcular la ecuación de la recta tangente que nos pidieron. Para ello usaremos la fórmula
   $$ (y-y_0)=m(x-x_0) $$ y sabemos que \(y_0=10\) y \(x_0=3\) porque son las coordenadas del punto \(p_0\). Entonces
   $$ (y-10)=6(x-3) $$ y se quiere despejar la \( y\)
   $$ y=6x-18+10= 6x-8 $$ y tenemos que la ecuación de la recta tangente a la curva \(f(x)\) es \(y=6x-8\).

2. 
   

   \(g(x)=3x^2-6x\) en el punto \(x=\frac{1}{2}\). Empezamos por calcular la derivada, es decir, la pendiente de la recta tangente a la curva
   $$m=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= $$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x+h)^2-6(x+h)-(3x^2-6x)}{h}= $$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x^2+2xh+h^2)-6x-6h-3x^2+6x)}{h}= $$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^2+6xh+3h^2-6x-6h-3x^2+6x}{h}= $$ pueden eliminarse las \(3x^2\), \(6x\) y algunas \(h\)
   $$\lim_{h\rightarrow 0}6x+3h-6=6x-6 $$ que al evaluar en \(x=\frac{1}{2}\) resulta \(m=6(\frac{1}{2})-6=3-6=-3\).

   Ya tenemos la pendiente y ahora calculamos el punto que es común a la curva y a la recta, según vemos en la gráfica
   

   
   $$ 3\left(\frac{1}{2}\right)^2-6\left(\frac{1}{2}\right)= \frac{3}{4}-\frac{6}{2}=-\frac{9}{4} $$ luego el punto \(p_0=(\frac{1}{2},-\frac{9}{4})\) y la pendiente \(m=-3\) son los datos que se usarán para calcular la ecuación de la recta tangente $$ y+\frac{9}{4}=-3(x-\frac{1}{2}) $$ entonces \(y= -3x-\frac{3}{4}\)

3. 
   \(f(x)=\sqrt{x-1}\) y el punto es \(x=5\)
   $$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+h-1}-\sqrt{x-1}}{h} $$ aquí vamos a hacer un movimiento mágico con el álgebra para desaparecer los radicales, para lo que usaremos la propiedad del producto de binomios conjugados según la cual \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
   
   $$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+h-1}-\sqrt{x-1}}{h} \left[\frac{\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1}}\right] = $$
   $$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x+h-1-x+1}{h\left(\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1}\right)} $$
   el número que está entre corchetes es 1 porque es un número entre él mismo. Eso quiere decir que no alteramos la función límite porque la estamos multiplicando por 1. Luego, al multiplicar la diferencia de raíces por la suma de las mismas raíces se cumple que es un producto de binomios conjugados por lo que el resultado es una diferencia de cuadrados. Al elevar al cuadrado cada raíz, se elimina. Y ya se pueden eliminar algunos términos como x, 1 y h
   $$ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1}} $$
   $$ \frac{1}{2\sqrt{x-1}} $$
   entonces se tiene que \(m=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\) y al evaluar en \(x=5\) resulta \(m=\frac{1}{2\sqrt{5-1}}=\frac{1}{4}\) y se buscará el punto \(p_0=(x_0,y_0)\) que es común a la curva y a la recta tangente cuya gráfica aparece enseguida y que se toma del Wolfram
   
   
   
   
   $$f(5)=\sqrt{5-1}=2 $$ entonces \(p_0=(5,2)\)
   luego usando la fórmula para calcular la ecuación de la recta
   $$ y-2 =\frac{1}{4}(x-5)=\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}+2 $$
   y la ecuación de la recta tangente es \(y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\)
   
   
4. 
   \( f(x)=x^2-4x+3\) en el punto \(x=3\).
   $$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
   $$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2-4(x+h)+3-(x^2-4x+3)}{h} $$
   $$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2+2xh+h^2-4x-4h+3-x^2+4x-3}{h} $$ eliminamos algunos elementos como se hizo antes
   $$ \lim_{h\rightarrow 0}2x+h-4=2x-4 $$ evaluando en \(x=3\) se tiene \(m=2(3)-2x=2 \) ahora vamos a buscar el valor de \(f(3)=(3)^2-4(3)+3=0 \) y el punto común es \(p_0=(3,0)\)
   $$ (y-0)=2(x-3) $$ entonces \(y=2x-6 \)
   
   
   
   

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Ejercicios Cobach Norte 1 de octubre de 2016.

El primer ejercicio era sobre polinomios y preferí empezar con algo de teoría:

Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan variables de un solo término. Si hubiera una suma o una resta sería un binomio. Y asi la suma de 3 monomios es un trinomio y de 4 monomios es un cuatrinomio.

Un polinomio (del griego polys “muchos” y nomos “regla”) es una expresión matemática compuesta de variables y constantes, utilizando únicamente las operaciones de suma, resta, multiplicación y exponentes enteros positivos. Es una sucesión de sumas y restas de monomios de potencias enteras de una o varias variables.

El grado de un monomio es el exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

Referencia

• Khan Academy

I. Simplifica las siguientes expresiones:

1. $$ 2x+3y-5z-z+y-x+4x-5y-y+9z= $$
Como hicimos la semana pasada, podemos usar la propiedad conmutativa y la asociativa de la suma. Primero acomodamos los términos y después los agrupamos entre paréntesis para poder sumarlos más fácilmente. $$ (2x-x+4x)+(3y+y-5y-y)+(-5z-z+9z)= $$ luego hacemos las operaciones dentro de los paréntesis $$ (5x)+(-2y)+(3z) = $$ finalmente se pueden quitar los paréntesis siempre que se tenga cuidado con los signos y en este caso para quitar el paréntesis de enmedio primero multiplicamos (mas por menos = menos) $$5x-2y+3z $$
2. $$ \frac{1}{2}-\frac{3}{4}xy+\frac{5}{2}-xy^2+x^2y-\frac{7}{2}+\frac{1}{3}x^2y-\frac{1}{6}xy^2 =$$
Otra vez se pueden acomodar y luego agrupar los términos $$\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-\frac{7}{2}\right)+\left(-\frac{3}{4}xy\right)+\left(-xy^2-\frac{1}{6}xy^2\right)+\left(x^2y+\frac{1}{3}x^2y\right)$$ en los dos primeros paréntesis no tenemos duda porque el primero es una suma de quebrados y el segundo es un término único que vamos a dejar igual. Pero en los dos últimos paréntesis que parecen complicados se puede hacer uso de la propiedad distributiva que dice: \(x(a+b)=xa+xb\) y aplicado a los últimos dos paréntesis nos permite sacar las variables como factores comunes $$\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-\frac{7}{2}\right)+\left(-\frac{3}{4}xy\right)+\left(\left[-1-\frac{1}{6}\right]xy^2\right)+\left(\left[1+\frac{1}{3}\right]x^2y\right)$$ ahora se resuelven las operaciones dentro de cada paréntesis y corchete. $$\left(\frac{-1}{2}\right)+\left(-\frac{3}{4}xy\right)+\left(\left[\frac{-7}{6}\right]xy^2\right)+\left(\left[\frac{4}{3}\right]x^2y\right)$$ y se quitan los paréntesis y corchetes sin olvidar que sumar un número negativo es lo mismo que restar ese mismo número pero positivo: c+(-d)=c-d $$ \frac{-1}{2}-\frac{3}{4}xy-\frac{7}{6}xy^2+\frac{4}{3}x^2y $$
3. $$ 5\sqrt{2}-2\sqrt{5}-7\sqrt{5}+9\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{2} =$$
se acomodan y agrupan los términos $$ (5\sqrt{2}+9\sqrt{2}-\sqrt{2})+(-2\sqrt{5}-7\sqrt{5}+\sqrt{5}) =$$ aquí también puede aplicarse la propiedad distributiva sacando el factor común en los dos paréntesis: $$ (\left[ 5+9-1\right]\sqrt{2})+(\left[-2-7+1\right]\sqrt{5}) =$$ se resuelven las operaciones dentro de los corchetes y se eliminan los corchetes $$(13\sqrt{2}) +(-8\sqrt{5}) $$ y se quitan los paréntesis $$ 13\sqrt{2}-8\sqrt{5} $$
4. $$2(x-1)^3-3 (x-1)^3+\frac{2}{3}(x-1)^3+\frac{5}{2}(x-1)^3-(x-1)^3=$$
aquí no necesitamos acomodar ni agrupar porque todos los términos son de la misma clase, es decir, que tienen el factor común \((x-1)^3\). Esto quiere decir que podemos hacer el siguiente arreglo: $$ \left[ 2-3+\frac{2}{3}+\frac{5}{2}-1 \right](x-1)^3 =$$ se resuelve lo que está dentro de los corchetes para lo que primero sumamos los enteros (2-3-1=-2), luego resolvemos el quebrado (\(\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{4+15}{6}=\frac{19}{6}\) ) y finalmente convertimos los enteros a fracciones (\(-2=\frac{-12}{6} \) ) para poder sumarlos con la fracción que queda: $$ \left[ -2+\frac{2}{3}+\frac{5}{2} \right](x-1)^3 = $$ $$ \left[ -2+\frac{19}{6}\right](x-1)^3 = $$ $$ \left[ \frac{-12}{6}+\frac{19}{6}\right](x-1)^3 =\left[ \frac{7}{6}\right](x-1)^3= $$ y ya podemos eliminar los corchetes $$ \frac{7}{6}(x-1)^3 $$
5. $$cos (x)- sen (y) +cos (y)- sen (x)+\frac{1}{5} cos(x) -\frac{5}{4}sen(x) +\frac{7}{3}sen (y) -\frac{5}{6}cos (y)= $$ lo mismo que en los anteriores, acomodamos los elementos de manera que puedan sumarse los que son de la misma clase, se saca el denominador común, se resuelven las operaciones dentro de los paréntesis y finalmente pueden eliminarse los paréntesis, siempre cuidando no cometer errores con los signos $$\left(cos(x)+\frac{1}{5} cos(x)\right)+\left(- sen(y)+\frac{7}{3}sen(y)\right)+\left(cos(y)-\frac{5}{6}cos(y)\right)+\left(- sen(x)-\frac{5}{4}sen(x) \right)= $$ $$\left(\left[1+\frac{1}{5}\right] cos(x)\right)+\left(\left[-1 +\frac{7}{3}\right]sen(y)\right)+\left(\left[1 -\frac{5}{6}\right]cos(y)\right)+\left(\left[-1 -\frac{5}{4}\right]sen(x)\right)= $$ $$\left(\frac{6}{5} cos (x)\right)+\left(\frac{4}{3}sen(y) \right)+\left(\frac{1}{6}cos (y)\right)+\left(-\frac{9}{4}sen (x)\right)= $$ $$\frac{6}{5} cos (x)+\frac{4}{3}sen (y) +\frac{1}{6}cos (y)-\frac{9}{4}sen (x) $$

II. Escribe en lenguaje algebraico

1. La suma de los cubos de dos números.
Aquí nos piden una suma \(()+()\) de los cubos de dos números.... aquí tenemos el cubo de un número: \(a^3\) ... luego tenemos el cubo de otro número \(b^3\) ... y los ponemos en la suma.... $$ a^3+b^3 $$ En el salón nos confundimos y algunos contestamos así: \((a+b)^3\) .... que es el cubo de la suma de dos números. ¿Se ve la diferencia?
2. El cuadrado de la diferencia de dos números
El cuadrado .... \(()^2\) ¿de qué? .... de la diferencia de dos números .... \((a-b)\) .... que luego acomodamos ... $$(a-b)^2 $$ También aquí nos confundimos un poco y algunos escribimos.... \(a^2-b^2\) ... que es la diferencia del cuadrado de dos números.... ¿Se ve la diferencia?
3. El cociente de un número aumentado en cinco y el mismo número disminuído en dos.
Primero tenemos un cociente ... \(\frac{()}{()}\) ... luego tenemos un número aumentado en cinco (y+5) y el otro término del cociente es el mismo número disminuído en dos (y-2) , que se acomodan en el cociente. $$\frac{y+5}{y-2}$$
4. El producto de tres números enteros consecutivos
Primero el producto de tres números ... \( ()()()\)... luego que sean consecutivos....x, x+1, x+2 .... que acomodamos en el producto... $$ (x)(x+1)(x+2)$$

También aquí tuvimos una respuesta equivocada \( (x)+(x+1)+(x+2)\) que es la suma de tres números consecutivos. ¿cuál es la diferencia? Los términos están separados por signos de +.

5. La raíz cuadrada de la diferencia de los cuadrados de dos números.

Primero una raíz cuadrada ... \( \sqrt{()} \) .... luego una diferencia ... ()-().... y luego los cuadrados de dos números .... \( c^2,d^2\) .... y ahora que tenemos las cosas claras los acomodamos....

$$ \sqrt{c^2-d^2 }$$ Esta es una diferencia de cuadrados: \( c^2-d^2\) y este es el cuadrado de una diferencia: \( (c-d)^2\). ¿Se nota que no es lo mismo?

III. Escribe en lenguaje común.

1. $$(x)+(x+1)+(x+2) $$ Esto en primer lugar es una suma, y en segundo lugar los números son consecutivos, por lo tanto es la suma de tres números consecutivos.
2. $$a^2+b^2+c^2 $$ Esto en primer lugar es una suma y en segundo lugar los números (o las variables) están elevados al cuadrado, por lo tanto es la suma de los cuadrados de 3 números.
3. $$ 2x-3y $$ Aquí tenemos una diferencia, y los números son el doble de uno y el triple de otro. Entonces es una diferencia del doble de un número y el triple de otro número.
4. $$ (x)(x-5) $$ Primero es un producto, y el primer factor es un número x y el segundo factor es el mismo número x pero disminuído en 5. Entonces es el producto de un número por ese mismo número disminuído en cinco.
5. $$ 4x+7 $$ Aquí se puede decir que se tiene el cuádruple de un número y aumentado en siete. O cuatro veces el número x y a esto le sumamos 7 unidades más. Pero cuidado con decir que tenemos el cuádruple de x mas siete porque puede interpretarse como 4(x+7) que no es lo mismo.

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Ejercicios Cobach Norte 24 septiembre 2016.

Ejercicios de repaso.

1. Resolver $$ \lbrace 31-\left[ 17 \times (23-20)-150\div 6 \right]+9 \times2\rbrace \div 23 \cdots (1)$$ para resolver este ejercicio empezamos haciendo un plan para que el ejercicio se vaya simplificando. Entonces podemos empezar por resolver el paréntesis que está en el centro: \(\left(23-20\right)=3\) con lo que la operaci[on (1) se reescribe como $$ \lbrace 31-\left[ 17 \times (3)-150\div 6 \right]+9 \times2\rbrace \div 23 $$ luego podemos resolver el corchete $$ \left[ 17 \times (3)-150\div 6 \right] $$ para lo cual empezamos por resolver las multiplicaciones y divisiones dentro del corchete y finalmente las sumas y restas dentro del corchete. Vamos a poner entre paréntesis las operaciones a realizar, luego vamos a resolver los paréntesis, y finalmente la resta de los paréntesis. $$ \left[ ( 17 \times 3)- (150\div 6) \right]=\left[ ( 51)- (25) \right]=\left[ 26 \right] $$ Ahora nos regresamos a la operación (1) y en lugar del corchete ponemos nuestro resultado $$ \lbrace 31-\left[ 26 \right]+9 \times2\rbrace \div 23 $$ ahora vamos a resolver lo que está dentro de la llave y vemos que queda una suma, una resta y una multiplicación. Resolvemos, como se dijo antes, primero la multiplicación. Podemos ponerla entre paréntesis. Después de resolver la multiplicación solo quedará una suma que se resuelve como ya sabemos $$ \lbrace 31-\left[ 26 \right]+(9 \times2)\rbrace =\lbrace 31-\left[ 26 \right]+(18)\rbrace = \lbrace 31- 26+18\rbrace =\lbrace 23 \rbrace$$ nos regresamos nuevamente a la operación (1) y en lugar de la llave ponemos el resultado y hacemos la operación $$ \lbrace 23 \rbrace \div 23 = 23 \div 23= 1 $$
2. Hallar la respuesta de la siguiente suma de fracciones $$\frac{-19}{5}+\frac{19}{9}-\frac{17}{3}+\frac{23}{15}-\frac{2}{45} \hspace{3cm}\cdots (2) $$ recordemos que para sumar o restar fracciones primero debemos hacer que las fracciones tengan el mismo denominador (común denominador). La palabra denominador viene de "dar nombre". Vamos a sumar — o restar — cosas que tienen el mismo nombre: medios, cuartos quinceavos, octavos, etc. Como nos decía la maestra en la primaria, "no podemos sumar peras con manzanas". Esta es la razón por la que queremos un común denominador que nos permita sumar cosas que se llamen igual. Para encontrar un común denominador necesitamos encontrar un número que se pueda dividir entre todos los denominadores que tenemos, es decir, que sea un múltiplo común de nuestros denominadores. Pero también queremos que sea el más chico de los múltiplos comunes, es decir que sea el mínimo común múltiplo.

   Si analizamos los denominadores que tenemos en esta operación, \(5,9,3,15,45 \) y escogemos el mayor para ver si puede dividirse exactamente entre el resto vemos que sí. Eso hace que podamos elegir el 45 como el mínimo común múltiplo que necesitamos.

   Lo anterior quiere decir que decidimos hacer una suma de 45avos para lo que necesitamos convertir cada una de nuestras fracciones a 45avos. ¿y cómo se hace eso?

   Recordemos que una propiedad de los enteros es que cualquier número \( a \) multiplicado por 1 es igual al mismo número \( a \), es decir \(1 \times a = a \). Pero también tienen la propiedad de que \( a \div a =1 \).

   Ahora ya sabemos qué se puede hacer para convertir cada una de las fracciones. Tomo la primera fracción \(\frac{-19}{5}\) y para convertir los quintos en 45avos debería multiplicar \(5 \times 9\), pero también necesito que la fracción siga siendo la misma y no otra. Entonces solo puedo multiplicarla por \(1=\frac{9}{9}\) para lo que hago lo siguiente: $$ \frac{-19}{5}\times \frac{9}{9}=\frac{-171}{45}$$ y así tenemos la primer fracción convertida en 45avos.

   Si seguimos haciendo la misma operación con las otras cuatro fracciones tendremos el siguiente resultado: $$ \frac{19}{9}\times \frac{5}{5}=\frac{95}{45}$$ $$ \frac{-17}{3}\times \frac{15}{15}=\frac{-255}{45}$$ $$ \frac{23}{15}\times \frac{3}{3}=\frac{69}{45}$$ y la última fracción la dejamos igual porque ya está convertida a 45avos.

   Si nos regresamos a la operación (2) y en lugar de las fracciones iniciales ponemos sus equivalentes convertidos a 45avos tendremos: $$ \frac{-171}{45}+\frac{95}{45}-\frac{255}{45}+\frac{69}{45}-\frac{2}{45} $$ ahora que todas las fracciones tienen el mismo denominador, es decir, que se llaman igual, podemos sumarlas; y como tienen el mismo denominador podemos escribirlas así $$ \frac{-171+95-255+69-2}{45}=\frac{-264}{45} $$

3. La familia Restrepo consumió el domingo \(\frac{1}{2}\) de una pizza y el lunes consumió \(\frac{2}{7}\) del resto de la pizza. ¿cuánta cantidad de pizza les falta por consumir?

   Aquí el secreto está en poner atención a la información que nos dan: el lunes consumió \(\frac{2}{7}\) del resto de la pizza. Porque el resto de la pizza era \(\frac{1}{2}\) que había quedado después de que el domingo se comieron \(\frac{1}{2}\). Por lo tanto tenemos que calcular \(\frac{2}{7}\) de \(\frac{1}{2}\) $$ \frac{2}{7}\times \frac{1}{2}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7} $$ entonces el lunes consumieron \(\frac{1}{7}\) y el domingo consumieron \(\frac{1}{2}\). Si sumamos los dos consumos tenemos $$\frac{1}{7}+\frac{1}{2}=\frac{2+7}{14}=\frac{9}{14}$$ y como la pizza entera tiene \(\frac{14}{14}\) concluímos que les quedan \(\frac{5}{14}\) por consumir.

4. Realiza las siguientes operaciones, simplifica el resultado.
   • a) $$4+8+3+12+2+3= $$ este ejercicio podemos resolverlo de la manera usual, o podemos usar las propiedades de la suma, por ejemplo, primero cambiando los sumandos de lugar, luego agrupando con paréntesis y finalmente resolviendo $$(4+3+3)+(8+2)+12=(10)+(10)+12=32 $$
   • b) $$-6+2+23-18-42+7= $$ $$(-6-18-42)+(2+23+7)=(-66)+(32)=-34 $$
   • c) $$-\frac{3}{4}+\frac{5}{2}-\frac{1}{6}= $$

     como explicamos antes, necesitamos encontrar un denominador común que sea el mínimo común múltiplo. Si multiplicamos \(6 \times 4=24\) tenemos un común múltiplo, pero no es el mínimo. En cambio si multiplicamos \(6 \times 2=12\) ahora sí tenemos el mínimo común múltiplo, porque no podremos encontrar otro menor que éste.

     Luego resolvemos como se hizo anteriormente y tendremos $$ \frac{-9+30-2}{12}=\frac{19}{12} $$

   • d) $$ -\frac{5}{6}+\frac{3}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{8}= $$ aquí nuevamente buscamos el mínimo común múltiplo que será el 24 y resolvemos $$\frac{-20+36-16+3}{24}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}$$

5. En una paletería se utilizan 6 litros de nieve para hacer 100 conos. ¿cuántos litros de nieve se requieren para hacer 325 conos?

   La primera opción que se nos ocurre usar es la regla de 3. $$ \frac{6 litros}{ 100 conos }\propto \frac{ X litros }{ 325 conos} $$ y se resuelve multiplicando los extremos diagonales conocidos y dividiendo entre el término de la diagonal donde tenemos la incógnita. En este caso sería \(\frac{6 \times 325}{100}=19.5 \).

   También, como alguien sugirió en clase, podemos tomar dos razones quivalentes con una incógnita $$ \frac{6}{100}=\frac{X}{325} $$ despejamos la incógnita $$ X=\frac{6\times 325}{100}=19.5 $$

   O, según otra sugerencia, podemos hacer una tabla: si con 6 litros hacemos 100 conos, entonces necesitamos 18 litros para hacer 300 conos, y la cuarta parte de 100 conos, es decir 25 conos podremos hacerlos con la cuarta parte de 6 litros, es decir \(\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\) que es un litro y medio que sumados a los 18 nos dan 19.5 litros con los que hacemos 325 conos.

6. Un automóvil tiene un rendimiento de 19 km por litro de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina necesita para recorrer 220 km?

   Igual que en el anterior problema podemos usar la regla de 3. $$ \frac{19 km}{ 1 L }\propto \frac{ 220 km}{ X L} $$ que se resuelve $$ \frac{220 \times 1}{19}=11.57 $$

7. Realiza las siguientes operaciones eliminando los símbolos de agrupación

   • $$ (-7)- \lbrace 9-\left[ (-7)+(-13)-(-5) \right]+\left[23-(18)+(-6) \right]\rbrace=\cdots (a) $$ si resolvemos el primer corchete $$ \left[(-7)+(-13)-(-5)\right] = \left[-7-13+5\right]=\left[-15\right]$$ en el paso anterior primero eliminamos los paréntesis poniendo atención a los signos, y luego resolvemos. Regresando a la operación (a) se puede resolver el segundo corchete $$ \left[23-(18)+(-6) \right]=\left[23-18-6 \right] =-1 $$ y ya se pueden sustituir, en la operación (a), los corchetes por los resultados que se obtuvieron $$ (-7)- \lbrace 9-\left[ -15\right]+\left[ -1 \right]\rbrace= $$ ahora puede resolverse la suma que está dentro de las llaves y después de eso lo que queda fuera de las llaves $$ (-7)- \lbrace 9+15 -1 \rbrace= -7-\lbrace 23 \rbrace =-7-23=-30 $$
   • $$ \left[2+(-3)\right]+(-5)=$$ primero quitamos el paréntesis que está dentro del corchete; segundo resolvemos el corchete; tercero quitamos el paréntesis que está fuera del corchete y finalmente resolvemos la operación. $$ \left[2-3\right]+(-5)=\left[ -1\right]+(-5)=\left[ -1\right]-5=-6 $$ siempre poniendo atención a los signos.

Foto de MarcusL

Ejercicios Cobach Norte 10 de septiembre 2016.

1.
Ejercicios de Repaso

• Enteros. El conjunto de los enteros es denotado por \(Z\). Un entero puede ser negativo (n en \(Z^-\)), no negativo (n en \(Z^*\)), cero (n=0), o positivo (n en \(Z^+=N\)). Los números enteros son un conjunto bastante amplio. Incluyen a los números naturales que sirven para contar; también incluyen al cero, que expresa la ausencia de cantidad; y dentro de los números enteros también se pueden encontrar a los números opuestos de los números naturales. Es decir que, los números enteros sirven para expresar una cantidad contable, la ausencia de cantidad y una cantidad negativa. Además, los números enteros no incluyen a los números racionales.

  El conjunto de números enteros, por lo tanto, se usa para contar o representar elementos que no pueden ser divididos. Entonces al momento de operar con números enteros, se puede sumar, restar, multiplicar y usar potencias entre estos números, pero si se quiere dividir, solo se lo puede hacer cuando el cociente también es un número entero.

• Naturales. El término "número natural" se refiere a un miembro del conjunto de los enteros positivos 1, 2, 3, ... o al conjunto de los enteros no negativos 0, 1, 2, 3, ... Lamentablemente no hay un acuerdo general acerca de si incluir al cero en el conjunto de números naturales. El conjunto de los números naturales se denota por \(N \).
• Racionales. Un número racional es un número que puede ser expresado como el cociente de dos enteros \(\frac{p}{q}\) donde \(q \neq 0\). El conjunto de los racionales se denota por \(Q\).
• Irracionales. Un número irracional es el que no puede ser expresado como una fracción \( p/q \) para ningún entero \(p\) y \(q\). Los números irracionales tienen expansiones decimales que nunca terminan y no se vuelven periódicas. No hay una notación estandar para el conjunto de los números irracionales, pero la notación \(\bar{Q}\) o \(R-Q\), donde la barra o el signo menos indican el complemento del conjunto de los racionales \(Q\) sobre los números reales \(R\).

Referencia

• Wolfram
• Números Enteros

2.
Convertir a fracción los decimales:

• \(3.19=319/100\)
• \(0.232323...\) en el ejericio anterior la respuesta es muy sencilla, pero en este ejercicio debemos hacer varios pasos. Primero tomamos \(n=0.232323...\), luego tomamos \(100n=23.232323...\), y enseguida restamos $$100n-n=99n=23.232323...-0.232323...=23$$ y finalmente despejamos $$99n=23 \Rightarrow n=23/99 $$ En este caso se decide multiplicar por 100 para que la cifra después del punto decimal sea la misma en las dos cantidades, \(n\) y \(100n\)
• \(5.7777...\) igual que en el ejercicio anterior primero tomamos \(n=5.7777...\), luego tomamos \(10n=57.7777...\), y enseguida restamos $$10n-n=9n=57.7777...-5.7777...=52 $$ y finalmente despejamos $$9n=52 \Rightarrow n=52/9 $$ en este caso al multiplicar por diez se logra que las cifras después del punto decimal sean iguales en \(n\) y en \(10n\).
• \(2.25555...\) empezamos por tomar \(n=2.25555...\) luego tomamos \(10n=22.55555...\) y también \(100n=225.5555...\) enseguida restamos $$ 100n-10n=90n=225.5555...-22.55555...=203 $$ y finalmente despejamos $$90n=203 \Rightarrow n=203/90 $$ en este caso se tuvo que tomar \(100n\) y \(10n\) para lograr que la cifra después del punto decimal fuera igual en ambos números. Es decir, multiplicamos \(n\) por 10, por 100 o por 1000 para lograr el objetivo.
• \(5.15757575...\) primero tomamos \(n=5.1575757...\) pero queremos que la cifra después del punto empiece en 5 por lo que multiplicamos por 10 para tener \(10n=51.575757...\) y para que la otra cifra empiece en 5 tomamos \(1000n=5157.575757...\) y restamos $$ 1000n-10n=990n=5157.575757...-51.575757...=5106 $$ finalmente despejamos $$ 990n=5106 \Rightarrow n=5106/990$$

3.

Resolver

• $$ \frac{\frac{3}{4}-\frac{1}{8}}{\frac{7}{8}-\frac{3}{2}} $$ para resolver este ejercicio empezamos por lo más sencillo que es resolver cada una de las restas de fracciones. La diferencia de fracciones del numerador se resuelve quedando como \(\frac{5}{8}\) y la diferencia del denominador se resuelve quedando como \(\frac{-5}{8}\) por lo que finalmente el cociente de fracciones queda expresado como $$ \frac{\frac{5}{8}}{\frac{-5}{8}}=-1 $$ 

$$ \frac{1+\frac{2}{3}}{5-\frac{1}{4}} $$

Al resolver la suma del numerador tenemos el siguiente resultado $$ 1+\frac{2}{3}=\frac{3}{3}+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} $$ y al resolver la resta del denominador tenemos $$ 5-\frac{1}{4}=\frac{20}{4}-\frac{1}{4}=\frac{19}{4}$$ entonces la división de fracciones original queda como $$ \frac{\frac{5}{3}}{\frac{19}{4}}$$ y se resuelve multiplicando los extremos, poniendo el resultado en el numerador; y multiplicando los términos de enmedio y poniendo el resultado en el denominador $$ \frac{5\times 4}{3\times 19}=\frac{20}{57} $$

Foto de Gundina