I. Simplificar la siguientes expresiones:
1. $$(-4a^3b^5)(7ab^5c^{-4})(2b^{-8}c^{-1})(a^{-5}b^4c^{-2})$$
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa del producto, podemos intercambiar y agrupar los factores para que sea más fácil simplificar :
$$ (-4)(7)(2)(a^3aa^{-5})(b^5b^5b^{-8}b^4)(c^{-4}c^{-1}c^{-2})= $$
multiplicamos los coeficientes, cuidando los signos y se suman los exponentes
$$ -56a^{-1}b^6c^{-7} $$
y finalmente convertimos los exponentes negativos en positivos, tomando su recíproco, es decir \(x^{-n}=\frac{1}{x^n}\).
$$ \frac{-56b^6}{ac^7} $$
2. $$ \frac{21m^9n^8p^6}{28m^5n^2p^3} $$
Si dividimos entre 7 el numerador y el denominador, la expresión no se altera y además se simplifica
$$ \frac{(21/7)m^9n^8p^6}{(28/7)m^5n^2p^3}= \frac{3m^9n^8p^6}{4m^5n^2p^3} $$
y se resuelve
$$\frac{3}{4}m^4n^6p^3$$
3. $$ \frac{36d^4e^6f^8}{24d^{-4}e^6f^{-12}} $$
puede ser más fácil si primero convierto los exponentes negativos a positivos
$$ \frac{36d^4d^4e^6f^8f^{12}}{24e^6} $$
entonces resolvemos: divido entre 12 el numerador y el denominador, sumo los exponentes y simplifico porque \(\frac{e^6}{e^6}=1\)
$$ \frac{(36/12)d^4d^4e^6f^8f^{12}}{(24/12)e^6}=(3/2)d^8f^{20} $$
4. $$\left( \frac{2}{7}p^3qr^{-5} \right) \left( \frac{21}{8}p^2q^4r^0 \right) \left( -\frac{16}{3}p^{-7}q^{-3}r^5 \right)= $$
aquí podemos intentar simplificar todo lo que se pueda las fracciones. Primero divido entre 8 el 16 del numerador del y el 8 del denominador para que las fracciones queden:
$$\left( \frac{2}{7}p^3qr^{-5} \right) \left( \frac{21}{1}p^2q^4r^0 \right) \left( -\frac{2}{3}p^{-7}q^{-3}r^5 \right)= $$
luego divido entre 7 el 7 del denominador y el 21 del numerador para que queden:
$$\left( \frac{2}{1}p^3qr^{-5} \right) \left( \frac{3}{1}p^2q^4r^0 \right) \left( -\frac{2}{3}p^{-7}q^{-3}r^5 \right)= $$
luego divido entre 3 el 3 del numerador y el 3 del denominador para que quede:
$$\left( \frac{2}{1}p^3qr^{-5} \right) \left( \frac{1}{1}p^2q^4r^0 \right) \left( -\frac{2}{1}p^{-7}q^{-3}r^5 \right)= $$
y finalmente multiplicamos las fracciones para que quede una sola, y resolvemos los exponentes.
$$-4p^{-2}q^2=\frac{-4q^2}{p^2} $$
5. $$ \left[ \frac{(5m^{-3})^4(-8x^4)^2}{20m^5x^8} \right] ^0 =$$
todos querían resolver este problema cuando se dieron cuenta que no tenían que hacer ninguna operación porque “cualquier número elevado a la cero potencia es igual a uno”. Entonces
$$ \left[ \frac{(5m^{-3})^4(-8x^4)^2}{20m^5x^8} \right] ^0 =1 $$
6. $$ (3x^{n+4})(-2x^{2n-1})(x^n) $$
aquí, como en los anteriores solo debemos multiplicar los coeficientes y sumar los exponentes
$$ -6x^{n+4+2n-1+n}=-6x^{4n+3} $$
7. \( (-2^3)(-2^4)(-2^{-5})(2^3)\) esta expresión que parece muy fácil tiene el detalle de que no podemos solo sumar los exponentes de los cuatro factores porque el último factor es 2 y no -2. Entonces resolvemos por separado \( (-2^{3+4-5})(2^3)=(-2^2)(8)=32 \).
8. $$ (-3m^4n^{-1})^{-4} = $$ puede resolverse de dos maneras. Primero multiplicamos los exponentes y luego resolvemos que no queden negativos o viceversa. Yo escojo la segunda manera
$$ (-3m^4n^{-1})^{-4} = \frac{1}{(-3m^4n^{-1})^4 }=\frac{1}{-3^4m^{16}n^{-4}}=\frac{n^4}{81m^{16}}$$
9.
$$ \sqrt{25p^6q^{16}r^8} $$ aquí debemos tomar en cuenta que sacar raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado, es decir que \( \sqrt{x^2}=x\). Entonces se quiere poner cada elemento en términos de potencia cuadrada para sacarlo del radical. Así, \(\sqrt{25}= \sqrt{5^2}=5\).
$$ \sqrt{5^2(p^3)^2(q^8)^2(r^4)^2}= 5p^3q^8r^4 $$ se elimina el exponente cuadrado al sacarlo de la raíz.
10.
$$ \sqrt[3]{64a^9b^{15}c^{18}} $$ siquiendo el procedimiento anterior tomamos en cuenta que la raíz cúbica es la inversa de elevar al cubo y se quiere poner cada elemento en términos de potencia cúbica para sacarlo del radical.
$$ \sqrt[3]{64a^9b^{15}c^{18}} =\sqrt[3]{4^3(a^3)^3(b^5)^3(c^6)^3}= 4a^3b^5c^6 $$
11.
$$ \frac{(-3xyz^5)(-4x^5y^2z^{-5})(5xy^{-4}z)}{(10x^{-2}yz^{-1})(-2x^3y^{-7}z^2)} $$
uff!! ¿por dónde empezar? Creo que si multiplicamos el (-4) por 5 del numerador y luego el 10 por (-2) del denominador tendremos (-20/-20)=1 y todo se simplifica un poco
$$ \frac{(-3xyz^5)(x^5y^2z^{-5})(xy^{-4}z)}{(x^{-2}yz^{-1})(x^3y^{-7}z^2)} $$
ahora pueden resolverse los exponentes del numerador y por separado los del denominador para simplificar un poco más
$$ \frac{(-3x^7y^{-1}z)}{(xy^{-6}z)} $$ luego como ya sabemos, a los exponentes del numerador se restan los del denominador y se cambian a positivos los que no lo sean
$$ -3x^6y^5$$
II. Realiza los siguientes productos
12.
$$ 5x^3y^2z(4x^{-1}yz^2+5xy^{-2}z^3-2z^{-4})= $$
como bien lo dijeron en el salón de clase, este es un producto de un monomio por un trinomio y se soluciona multiplicando el monomio por cada elemento del trinomio.
$$ 5x^3y^2z(4x^{-1}yz^2+5xy^{-2}z^3-2z^{-4})=20x^2y^3z^3+25x^4z^4-10x^3y^2\frac{1}{z^3} $$
13.
$$(2a-3b)(6c+3d)$$ este es el producto de dos binomios y se resuelve así (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
$$(2a-3b)(6c+3d)=12ac+6ad-18bc-9bd $$
14.
$$ (2x^3y-2x^2z)(3yz+4x) $$ éste también es un producto de dos binomios, pero ahora de grado mayor.
$$ (2x^3y-2x^2z)(3yz+4x)=6x^3y^2z+8x^4y-6x^2yz^2-8x^3z $$
15.
$$ (5x-8)(4x+2) =40x^2+10x-32x-16=40x^2-22x-16 $$
16.
$$ (5m+3n)(5m+3n) $$ éste es un binomio al cuadrado y se resuelve igual que los anteriores, pero aquí podemos usar la fórmula: el cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. Aprenderse esta fórmula de memoria les facilitará mucho su vida de estudiantes.
$$ (5m+3n)(5m+3n) =(5m+3n)^2=25m^2+30mn+9n^2 $$
17.
$$ (4x-7y)(4x+7y) $$
éste es el producto de la suma por la diferencia de dos términos y es tan famoso como el cuadrado del binomio, porque es muy fácil de resolver. El resultado es la diferencia de los cuadrados de cada término. También deberán aprenderla de memoria
$$ (4x-7y)(4x+7y) =16x^2-49y^2 $$
ahora podemos ver si es cierto si lo resolvemos como cualquier producto de binomios
$$ (4x-7y)(4x+7y) = 16x^2+28xy-28xy-49y^2 $$ y como puede verse los dos términos de enmedio se eliminan.
18.
$$ (-3m+5n)(3m+5n) $$
este ejercicio es igual que el anterior si acomodamos los términos de otra manera
$$ (-3m+5n)(3m+5n) = (5n+3m)(5n-3m)=25n^2-9m^2$$
19.
$$ (7x-2)^2 $$ con la fórmula
$$ (7x-2)^2 =49x^2-28x+4 $$
20.
$$ (5a+\frac{1}{2}b)^2=25a^2+5ab+\frac{1}{4}b^2 $$
21.
$$ (x-8)^3 $$ cuando elevamos un binomio al cubo puede hacerse de dos formas. Primero lo elevamos al cuadrado y luego lo multiplicamos otra vez por él mismo \( (a+b)^3=(a+b)^2(a+b)\) o también puede usarse la fórmula \( (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\). Este ejercicio lo resolvemos usando la primer forma y el siguiente la segunda.
$$ (x-8)^3=(x-8)^2(x-8)=(x^2-16x+64)(x-8)= $$
$$x^3-8x^2-16x^2+128x+64x-512=x^3-24x^2+192x-512 $$
22.
$$(2x+2y)^3=8x^3+24x^2y+24xy^2+8y^3 $$
23.
$$ (2x^3+3x+5)^2 $$ cuando elevamos al cuadrado un trinomio puede hacerse de dos formas. Podemos asociar dos sumandos para convertir el trinomio en binomio y resolver con la fórmula que vimos antes, o podemos multiplicar cada uno de los términos del primer trinomio por cada uno de los del segundo:
\( (a+b+c)^2=(a+b+c)(a+b+c)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \). Este ejercicio lo resolvemos usando la primer forma y el siguiente la segunda.
$$ (2x^3+3x+5)^2= (2x^3+[3x+5])^2=4x^6+2(2x^3)(3x+5)+(3x+5)^2= $$
$$ 4x^6+2(6x^4+10x^3)+9x^2+30x+25=4x^6+12x^4+20x^3+9x^2+30x+25 $$
24.
$$ (3x^2y^3-2xy-1)^2=9x^4y^6+4x^2y^2+1-12x^3y^4-6x^2y^3+4xy $$
