Factoriza
1. $$9x^2y^2-27x^3y^4z+3xyz+18x^5y^2z=$$
Explica el Sr. Baldor, en su libro de Álgebra, pag.144, el caso I de descomposición de un polinomio en dos o más factores: cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Del polinomio de arriba tomamos el factor común \(3xy\) que es el mayor factor común a cada término del polinomio. Luego dividimos cada término del polinomio entre el factor común y escribimos el resultado entre paréntesis al lado del factor común.
$$3xy(3xy-9x^2y^3z+z+6x^4yz)$$
2. $$\frac{28}{25}m^4n+\frac{14}{15}mn^4p-\frac{7}{30}m^5n^5p^5-\frac{21}{5}m^6p^6 $$
El mayor factor común de los numeradores es el 7 y de los denominadores es el 5, de las letras \(m\), entonces tenemos \(\frac{7}{5}m\) como el factor entre el que vamos a dividir cada término del polinomio.
$$ \frac{7}{5}m\left(\frac{4}{5}m^3n+\frac{2}{3}n^4p-\frac{1}{6}m^4n^5p^5-3m^5p^6 \right) $$
3. $$22cosx+44cos^2x-cos^3x+11cos^5x=$$
Como vimos en clase podemos resolverlo de dos formas: tomando el \(11 cosx \) como factor o solo \( cosx \) . En el primer caso tendremos
$$ 11cosx(2+4cosx-\frac{1}{11}cos^2x+cos^4x) $$
en el segundo caso tendremos
$$ cosx(22+44cosx-cos^2x+11cos^4x)$$
4. $$ 5xy(x+y)-2y(x+y)-(x+y)-15x(x+y)= $$
En este caso se ve claramente que el factor que es común es \((x+y)\) y se procede
$$(x+y)(5xy-2y-1-15x) $$
5. $$ x^4-36 $$ Como les dije éste es de los más fáciles que tendrán que resolver en su ... larga vida como estudiantes porque es una diferencia de cuadrados y se factoriza con la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).
$$ x^4-36=(x^2+6)(x^2-6) $$
6. $$ m^2-121=(m+11)(m-11) $$
7. $$ \frac{25}{49}x^6-1=(\frac{5}{7}x^3+1)(\frac{5}{7}x^3-1) $$
8. $$ x^2-x+90 $$ En este caso estuvimos buscando, para factorizar como nos enseñaron, dos números que multiplicados dieran 90 y sumandos dieran -1, pero no los encontramos. Entonces nos acordamos de la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado... aquella que dice:
$$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
si \(b^2< 4ac\) el resultado no será un número real porque se tendrá la raíz cuadrada de un número negativo, que es imaginario. En este ejercicio \(\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{1-360}=\sqrt{-359}\) por eso no pudimos resolverlo como queríamos.
9. $$ m^2-7m+12 $$ Aquí sí podemos usar la fórmula que nos enseñaron: buscar dos números que multiplicados den 12 y sumados den -7. Y esos números son -4 y -3 y resolvemos.
$$ m^2-7m+12=(m-4)(m-3) $$
10. $$x^2-9xy+20y^2 $$ dos números que multiplicados den 20 y sumados den -9 y que son -4 y -5. Pero en este ejercicio también se tiene una \(y^2\) que se incluye al final.
$$x^2-9xy+20y^2=(x-4y)(x-5y) $$
11. $$ 9x^2-30xy^2+25y^4 $$ En la página 163 el Sr. Baldor nos enseña cómo descomponer en factores un trinomio de la forma \(ax^2+bx+c\)
- primero multiplicamos y dividimos por el coeficiente de \(x^2\) y dejamos indicado el producto del segundo término
- ahora como en el caso anterior se ponen las raíces del primer término del trinomio en cada paréntesis; se buscan dos números que multiplicados den el último término del nuevo trinomio y que sumados den el segundo término (que se dejó sin multiplicar).
- finalmente se busca de qué manera dividir cada factor para no tener fracciones.
$$ 9x^2-30xy^2+25y^4 =\frac{9(9x^2-30xy^2+25y^4)}{9}=\frac{81x^2-30xy(9)+225}{9} $$
$$ (9x+[] )(9x+[] ) $$ se buscan dos números que multiplicados den 225 y sumados den -30 y son -15 y -15, entonces se descompone sin olvidar que al final queda una \(y^4\)
$$ 9x^2-30xy^2+25y^4 =\frac{(9x-15 y^2)(9x-15y^2 ) }{9}= \frac{(9x-15 y^2)(9x-15y^2 ) }{3\times 3} =$$ $$ (3x-5 y^2)(3x-5y^2 ) =(3x-5y^2)^2 $$
12. $$ 10x^2-13x-3=\frac{10(10x^2-13x-3)}{10}=\frac{100x^2-13x(10)-30)}{10} = $$ dos números que multiplicados den -30 y sumados den -13, y son -15 y 2
$$ \frac{(10x-15)(10x+2) }{10} = \frac{(10x-15)(10x+2) }{5\times 2}=(2x-3)(5x+1)$$
13. $$ 6y^2-17y+5= \frac{6(6y^2-17y+5)}{6}=\frac{36y^2-17y(6)+30}{6}$$
dos números que multiplicados den 30 y sumados den -17 y son -15 y -2
$$ \frac{(6y-15)(6y-2)}{3\times 2}=(2y-5)(3y-1) $$
14. $$ 4x^2-4xy-3y^2 =\frac{4(4x^2-4xy-3y^2)}{4}=\frac{16x^2-4xy(4)-12y^2}{4} $$
dos números que multiplicados den -12 y sumados den -4 y son -6 y 2.
$$ \frac{(4x-6y)(4x+2y)}{2\times 2}=(2x-3y)(2x+y) $$
15. $$ 2m^2-mn-n^2 =\frac{2(2m^2-mn-n^2 )}{2}=\frac{4m^2-mn(2)-2n^2}{2}= $$
dos números que multiplicados den -2 y sumados den -1 y son -2 y 1.
$$ \frac{(2m-2n)(2m+n)}{2}=(m-n)(2m+n) $$
16.$$ 7x^2-6x-1=\frac{7(7x^2-6x-1)}{7}=\frac{49x^2-6x(7)-7}{7} $$ dos números que multiplicados den -7 y sumados den -6 y son -7 y 1.
$$\frac {(7x-7)(7x+1)}{7} =(x-1)(7x+1) $$
17.$$ 8x^2-6xy+y^2=\frac{8(8x^2-6xy+y^2)}{8}=\frac{64x^2-6xy(8)+8y^2}{8} $$
dos números que multiplicados den 8 y sumados den -6 y son -4 y -2.
$$\frac {(8x-4y)(8x-2y)}{4\times 2} =(2x-y)(4x-y) $$
18.$$ 16x^2+40x+25 $$
En la página 149 de su libro, el Sr. Baldor nos dice la regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto: i. Cuando el primer y tercer término tienen raíz cuadrada exacta y son positivos, ii. El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos. Así que en este ejercicio se cumple el inciso i porque \(\sqrt{16x^2}=4x\) y \(\sqrt{25}=5\); y se cumple el inciso ii porque \(2(4\times 5)=40\). Luego para factorizar se extraen las raíces cuadradas del primero y tercer término y se separan por el signo del segundo término.
$$ 16x^2+40x+25 =(4x+5)(4x+5)=(4x+5)^2 $$
Referencia
- Álgebra, Baldor
