Ejercicios Cobach Norte 26 de noviembre 2016.

Solución de un sistema de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas

Dos ecuaciones son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas. Así, las ecuaciones $$x+y=5$$ $$x-y=1$$
son simultáneas porque el punto donde $x=3$ y $y=2$ satisface ambas ecuaciones.

Dos ecuaciones son equivalentes cuando una se obtiene de la otra. Así, las ecuaciones $$x+y=4$$ $$2x+2y=8$$ son equivalentes porque multiplicando por 2 la primera se obtiene la segunda.

Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Las ecuaciones independientes no se obtienen una de la otra y cuando tienen una solución común son simultáneas. Las ecuaciones $x+y=5$ y $x-y=1$ son independientes porque no se obtiene una de la otra y son simultáneas porque tienen un único par de valores que satisface ambas ecuaciones.

La solución de un sistema de ecuaciones es el conjunto de valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema. Un sistema es compatible cuando tiene una solución y es incompatible cuando tiene infinitas soluciones.
Para resolver un sistema de ecuaciones existen varios métodos. Aquí vamos a ver: eliminación, sustitución y método gráfico.

Ahora vamos a tomar los 4 sistemas de ecuaciones que vimos en el salón de clase y vamos a resolver por los 3 métodos y veremos un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones simultáneas con tres incógnitas.

a. $$x+2y=2$$ $$2x+4y=4$$

En este caso es muy claro que si multiplicamos la primera ecuación por 2 se obtiene la segunda ecuación. Esto quiere decir que son equivalentes y por lo tanto el sistema es incompatible.

b. $$2x+y=4$$ $$x+2y=5$$

* ELIMINACIÓN.

Queremos eliminar una de las dos incógnitas para lo que empezamos por encontrar un número por el que se multiplicará una de las dos ecuaciones para que al sumarlas podamos eliminar una incógnita y poder encontrar el valor de la otra. En este caso multiplicamos la primera ecuación por -2 y las sumamos.

$$-4x-2y=-8$$ $$x+2y=5$$ $$\overline{-3x+0=-3}$$ $$x=\frac{-3}{-3}=1$$ Ahora tenemos el primer valor $x=1$ que podemos sustituir en cualquiera de las ecuaciones del sistema para obtener el valor de la otra incógnita, entonces en lugar de $x$ pongo 1 que es su valor
$$[1]+2y=5$$ luego paso el 1 restando al otro lado del signo de igualdad $$2y=4$$ y finalmente despejo la $y$ $$y=\frac{4}{2}=2$$ quedando la solución en el punto (1,2).

*SUSTITUCIÓN.

Despejamos una incógnita de la primera ecuación y la sustituímos en a segunda ... o despejamos una incógnita de la segunda ecuación y la sustituímos en la primera. Aquí parece más fácil despejar la $x$ de la segunda ecuación
$$x=5-2y \hspace{15mm}...(1)$$ y este valor de $x$ lo sustituímos en la primera ecuación
$$2[5-2y] +y=4$$ resolviendo y despejando $$[10-4y]+y=4$$ $$-3y=-6$$ $$y=\frac{-6}{-3}=2$$ y se obtiene el primer valor $y=2$ que se sustituye en (1) para obtener $x$. $$x=5-2[2]=1$$ por lo que nuevamente tenemos el punto (1,2) de solución.

*MÉTODO GRAFICO.

$$(a) .... 2x+y=4$$
$$(b) .... x+2y=5$$
para resolver por el método gráfico pues graficamos. En el plano cartesiano graficamos 2 puntos (o mas) de cada ecuación y vemos dónde se encuentra el punto que tienen en común, es decir, en dónde se cruzan. Para graficar, como vimos en clase, le damos valores a la $x$ y encontramos los valores de $y$ mediante la ecuación. Acuérdense que la ecuación es como una maquinita donde yo meto una $x$ y me va a resultar en un valor de $y$. Y si meto otra $x$ me va a resultar en otro valor de $y$. Entonces, para $x=1$ en la ecuación (a) tendré $2(1)+y=4$, y si paso el 2 restando al otro lado del = resulta que $y=2$ por lo que tengo el punto (1,2). Para $x=2$ en la ecuación (a) tendré $2(2)+y=4$; paso el 4 restando al otro lado del = resulta que $y=0$ por lo que tengo el punto (2,0), y para $x=0$ hago la misma operación y resulta $y=4$. Ahora tengo 3 puntos de la ecuación (a).
Luego, para $x=1$ en la ecuación (b) tendré $(1)+2y=5$, y despejando resulta que $y=2$ por lo que tengo el punto (1,2). Para $x=2$ en la ecuaión (b) tendré $(2)+2y=5$, y despejando resulta que $y=3/2$ por lo que tengo el punto (2,3/2), y para $x=0$ hago la misma operación y resulta $y=5/2$. Ahora tengo 3 puntos de la ecuación (b).

Hacemos una tablita con los valores para cada ecuación:

x	y
1	2
2	0
0	4

x	y
1	2
2	3/2
0	5/2

Acto seguido me traslado de inmediato al plano cartesiano y grafico los tres puntos de la ecuación (a) y los tres puntos de la ecuación (b) para obtener...

donde aparece señalado el punto común o punto solución.

c. $$x+y=2 \hspace{6mm}...(c)$$ $$2x+2y=3 \hspace{6mm}...(d)$$ Si nos fijamos un poco en este ejercicio vemos que aunque la primera ecuación no puede obtenerse de la segunda, sí sucede que para usar el método de eliminación podemos multiplicar la primera por -2 y quedaría un resultado absurdo... vamos a ver

$$-2x-2y=-4$$ $$2x+2y=3$$ $$\overline{\hspace{6mm}0=-1}$$ entonces podemos sospechar que aunque no sean ecuaciones equivalentes, pueden ser paralelas, que nunca se cruzarán por lo que no tendrán un punto común. ¿y cómo podemos saber que son paralelas? porque tienen la misma inclinación ¿y cómo sabemos que tienen la misma inclinación? calculando la pendiente, que es la tangente del ángulo de inclinación ¿y cómo se calcula la pendiente? muy fácil: $pendiente=\frac{coeficiente-y}{coeficiente -x}$

El coeficiente es el número (o constante) que acompaña a la letra (o variable), y se tiene $pendiente(c)=\frac{1}{1}=1$ y $pendiente(d)=\frac{2}{2}=1$ mostrando que ambas ecuaciones tienen la misma pendiente o inclinación. ¿lo dudan? pues a graficar...

d. $$2x-4y=6$$ $$x-2y=3$$

En este caso también se ve que si multiplicamos la segunda ecuación por 2 se obtiene la primera ecuación. Esto quiere decir que son equivalentes y por lo tanto el sistema es incompatible.

e.

Ahora vamos a ver el ejemplo que nos muestra el Sr. Baldor en la página 341 de su tan famoso libro.
Resolver el sistema $$x+4y-z=6 \hspace{10mm}(1)$$ $$2x+5y-7z=-9 \hspace{6mm}(2)$$ $$3x-2y+z=2 \hspace{10mm}(3)$$
Combinamos las ecuaciones (1) y (2) y vamos a eliminar la $x$. Multiplicando la ecuación (1) por -2 se tiene
$$-2x-8y+2z=-12$$ $$2x+5y-7z=-9$$ $$\overline{\hspace{6mm}-3y-5z=-21} \hspace{6mm} (4)$$
Combinamos la ecuación (3) con cualquiera de las otras dos ecuaciones. Vamos a combinarla con (1) para eliminar la $x$. Multiplicando (1) por -3 tenemos:
$$-3x-12y+3z=-18$$ $$3x-2y+z=2$$ $$\overline{\hspace{6mm}-14y+4z=-16} \hspace{6mm}$$ y puede simplificarse dividiendola entre 2 $$-7y+2z=-8 \hspace{6mm} (5)$$
Ahora tomamos (4) y (5) para formar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que ya sabemos cómo resolver
$$-3y-5z=-21 \hspace{6mm} (4)$$ $$-7y+2z=-8 \hspace{6mm} (5)$$
Vamos a eliminar $z$ multiplicando (4) por 2 y (5) por 5:
$$-6y-10z=-42$$ $$-35y+10z=-40$$ $$\overline{-41y\hspace{4mm}=-82}$$ $$y=2$$ Sustituyendo $y=2$ en (5) se tiene:
$$-7[2]+2z=-8$$ $$2z= -8+14=6$$ $$z=3$$
Sustituyendo $y=2$ y $z=3$ en cualquiera de las tres ecuaciones del sistema, por ejemplo en (1), se tiene:
$$x+4[2]-3=6$$ $$x=6+3-8=1$$
Solución: $x=1$, $y=2$, $z=3$.

f. Ahora vamos con derivadas:

$$g(x)=\frac{(1-2x)^6}{(x-4)^4}$$
Si queremos analizar la función veremos en primer lugar que es un cociente; en segundo lugar que los términos del cociente están elevados a potencias y en tercer lugar que los términos del cociente que están elevados a potencias son funciones. Y así es como se aplica a regla de la cadena.

$$g'(x)=\frac{(x-4)^4\left[(1-2x)^6\right]'-(1-2x)^6\left[(x-4)^4\right]'}{\left[(x-4)^4\right]^2} \hspace{10mm} (1)$$

pero si llamamos $h(x)=(1-2x)^6$ y $j(x)=(x-4)^4$ podemos resolver las derivadas $h'(x)$ y $j'(x)$ y las sustituimos en (1).
$$h'(x)=6(1-2x)^5(-2)$$ noten que el -2 es la derivada de la función $1-2x$
$$j'(x)=4(x-4)^3$$ se sustituye y se simplifica, poniendo las constantes juntas y eliminando los factores comunes.
$$g'(x)=\frac{(x-4)^46(1-2x)^5(-2)-(1-2x)^64(x-4)^3}{(x-4)^8}=$$
$$\frac{-12(x-4)^4(1-2x)^5-4(1-2x)^6(x-4)^3}{(x-4)^8}$$ y podemos tomar $(x-4)^3$ como factor común y eliminarlo en cada término del numerados y también en el denominador.
$$\frac{-12(x-4)(1-2x)^5-4(1-2x)^6}{(x-4)^5}$$ ya si quieren verse muy listos pueden tomar $(1-2x)^5$ como factor común
$$\frac{(1-2x)^5\left(-12x+48-4(1-2x)\right)}{(x-4)^5}=$$
$$\frac{(1-2x)^5[-12x+48-4+8x]}{(x-4)^5}=$$
$$\frac{(1-2x)^5[44-4x]}{(x-4)^5}$$

g.
$$l(x)=\frac{(4x^2+12x+9)^3}{(4x^2-9)^3}$$ Si vemos detenidamente se nota primero que tanto el numerador como el denominador están elevados a la misma potencia, entonces podemos meterlos en un gran paréntesis y sacar la potencia. En segundo lugar notamos que el término del numerador es un trinomio cuadrado perfecto y el del denominador es una diferencia de cuadrados. Entonces podemos ponerlos en una forma más simple.
$$l(x)=\left[\frac{(4x^2+12x+9)}{(4x^2-9)}\right]^3=$$
$$\left[\frac{(2x+3)^2}{(2x+3)(2x-3)}\right]^3=$$ y hasta podemos eliminar un factor
$$\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]^3$$ parece más fácil, ¿no?

Ahora podemos empezar a derivar
$$l'(x)=3\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]^2\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]'$$ ahora vamos a calcular $$\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]'=\frac{2(2x-3)-2(2x+3)}{(2x-3)^2}$$ ahora simplificamos el numerador y quitamos los signos $$2(2x-3)-2(2x+3)=2[(2x-3)-(2x+3)]=2[2x-3-2x-3]=2[-6]=-12$$ por lo que tenemos
$$l'(x)=3\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]^2\left(\frac{-12}{(2x-3)^2}\right)$$ y podemos simplicar $$\frac{-36(2x+3)^2}{(2x-3)^4}$$ y si no estamos seguros de que es correcto buscamos la respuesta en el Wolfram Alpha.

h. $$y=\frac{(x^6-8x^3+16)^3}{(x^3-4)^2}$$ a estas alturas ya somos muy observadores y notamos que nuevamente el numerador es un trinomio cuadrado perfecto y se procede a expresarlo
$$y=\frac{((x^3-4)^2)^3}{(x^3-4)^2}$$ a partir de aquí todo va muy fácil porque solo solucionamos los asuntos de los exponentes y finalmente derivamos $$y=\frac{(x^3-4)^6}{(x^3-4)^2}= (x^3-4)^4$$
$$y'=4(x^3-4)^3(3x^2)=12x^2(x^3-4)^3$$

i. $$g(x)=\frac{1}{\sqrt{2-x}}$$ si le damos tratamiento como cualquier función elevada a cualquier potencia se puede acomodar de otra forma
$$g(x)=(2-x)^{-1/2}$$ y se procede a derivar
$$g'(x)=(-\frac{1}{2})(2-x)^{-3/2}(-1)$$ es decir, bajamos el exponente como coeficiente, le restamos uno al exponente y lo multiplicamos por la derivada de la función de adentro. Finalmente $$g'(x)= \frac{1}{2(2-x)^{3/2}}$$

j. $$t(x)=\frac{\sqrt{x-9}}{\sqrt{x^2-81}}$$ como ya somos expertos en productos notables pues notamos que en el denominador hay una diferencia de cuadrados y procedemos a mostrarla, además sabemos que podemos cambiar la fracción de radicales en el radical de una fracción y finalmente simplificar... después de todo eso la derivada casi se resuelve sola.
$$t(x)=\left[\frac{x-9}{(x-9)(x+9)}\right]^{1/2}=\frac{1}{(x+9)^{1/2}} =(x+9)^{-1/2}$$ resolviendo la deriada de acuerdo a su exponente
$$t'(x)=-\frac{1}{2}(x+9)^{-3/2}=\frac{-1}{2(x+9)^{3/2}}$$

k. $$g(x)=\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]^7$$ en este ejercicio no parece que podamos simplificar de modo que vale más empezar porque parece largo
$$g'(x)=7\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]^6\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]'$$ y podemos resolver por separado y después sustituír
$$\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]'=\frac{(x^3+5)(6x^5)-(x^6-2)3x^2}{(x^3+5)^2}=$$ $$\frac{6x^8+30x^5-3x^8+6x^2}{(x^3+5)^2}= \frac{3x^8+30x^5+6x^2}{(x^3+5)^2}=$$ $$\frac{3x^2(x^6+10x^3+2)}{(x^3+5)^2}$$ ahora vamos a poner este resultado en la $g'(x)$
$$g'(x)=7\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]^6 \frac{3x^2(x^6+10x^3+2)}{(x^3+5)^2} = \frac{21x^2(x^6+10x^3+2)(x^6-2)^6}{(x^3+5)^8}$$

l. $$m(x)=-\frac{5}{(x^2-4)^7}$$ solo hay que cuidar los signos
$$m(x)=-5(x^2-4)^{-7}$$ y derivar $$m'(x)=35(x^2-4)^{-8}(2x)=\frac{70x}{(x^2-4)^8}$$

Referencia

• Álgebra de Baldor

Foto de la Escuela de Agricultura de la Unison.