Para Bukis: estadística para optometristas

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sábado, 26 de agosto de 2017

Prueba de bondad de ajuste con diferentes valores esperados. (Segunda de dos partes).

Resumen del artículo escrito por Richard Armstrong y Frank Eperjesi dirigido al personal de optometría que requiera conocimientos básicos de estadística para analizar datos.

En los ejemplos descritos hasta ahora, las frecuencias esperadas han sido las mismas en cada categoría de la variable. En ciertas circunstancias, sin embargo, las frecuencias esperadas o predichas pueden variar de categoría en categoría. Esta es una circunstancia común en investigación genética, donde un investigador puede predecir de una teoría genética la frecuencia de un genotipo particular en la descendencia. Por ejemplo, dos padres heterocigóticos portadores de un rasgo anormal autosómico dominante tienen una probabilidad de 3:1 de transmitir la característica a su descendencia.

En optometría, las expectativas de la variable pueden surgir si un investigador deseara probar si una distribución estadística particular puede ser ajustada a una muestra de datos. Por ejemplo, un optometrista hace una medida de un parámetro visual en 20 pacientes tomados aleatoriamente de una población y desea determinar si los datos se desvían significativamente de una distribución normal (Tabla 4).

$Clases de Frecuencia \hspace{16mm} Frec. Observada (F_o) \hspace{5mm} Frec. Esperada (F_e) \hspace{5mm} Contribución \chi^2 $

$< \mu -1.5 \alpha \hspace{50mm} 0 \hspace{45mm} 1.3362 \hspace{45mm} 1.34 $

$ \mu -1.5 \alpha \hspace{2mm} a \hspace{2mm} \mu -0.5 \alpha \hspace{30mm} 6 \hspace{45mm} 4.8346 \hspace{45mm} 0.28 $

$ \mu -0.5 \alpha \hspace{2mm} a \hspace{2mm} \mu \hspace{45mm} 7 \hspace{45mm} 3.8292 \hspace{45mm} 2.63 $

$ \mu \hspace{2mm} a \hspace{2mm} \mu +0.5 \alpha \hspace{45mm} 0 \hspace{45mm} 3.8292 \hspace{45mm} 3.83 $

$ \mu +0.5 \alpha \hspace{2mm} a \hspace{2mm} \mu +1.5 \alpha \hspace{30mm} 6 \hspace{45mm} 4.8346 \hspace{45mm} 0.28 $

$ > \mu -1.5 \alpha \hspace{50mm} 1 \hspace{45mm} 1.3362 \hspace{45mm} 0.08 $

$totales \hspace{57mm} 20 \hspace{45mm} 20.00 \hspace{45mm} 8.44$

Por lo tanto, la prueba de bondad de ajuste de los datos observados a una distribución normal $\chi^2=8.44$, 3 $gl$, p>0.05

Tabla 4. El método de la Ji-cuadrada para probar el ajuste de los datos observados a una distribución normal ($\mu=media$ y $\sigma=$ desviación estándar de las observaciones)

Para ajustar la distribución normal, la variable estudiada primero fué dividida en clases de frecuencia describiendo el rango de la variable en la población. En este caso fueron consideradas seis clases. Los límites de estas clases se convierten para que sean miembros de la distribución normal estándar usando el método descrito en el primer artículo.

Para llevar a cabo este cálculo, la media muestral y la desviación estándar de las 20 medidas se calculan primero. Luego la media muestral se resta de cada límite de clase y se divide por la desviación estándar, que convierte las medidas originales a sus correspondientes en la distribución normal estándar. Entonces pueden ser usadas las tablas de la distribución normal estándar para determinar el número esperado de observaciones, de las 20, que deberían caer dentro de cada clase si los datos estuvieran normalmente distribuídos.

Notemos que la $F_e$ varía de una clase a otra. Luego la $F_e$ es comparada con la $F_o$ usando la prueba de bondad de ajuste $\chi^2$.

En el caso presente el valor de $\chi^2$, totalizado sobre todas las clases, igualó 8.44 y esto excede el valor al 5% de probabilidad para 3 $gl$.

La Ji-cuadrada tiene 3 $gl$ en este ejemplo porque la media, la desviación estándar y la frecuencia total tienen que ser calculadas de los datos para hacer la prueba. Así, los $gl=$número de frecuencias (6)-3 parámetros. La hipótesis nula es rechazada y concluímos que la población no está normalmente distribuída. Notemos que este ejemplo usa un número relativamente pequeño de observaciones y normalmente se requeriría una muestra mucho más grande de medidas para ajustar la distribución normal adecuadamente.

Tablas de contingencia de la Ji-cuadrada.

Tabla 2X2

En los ejemplos discutidos anteriormente los datos han consistido en dos o más categorías de una sola variable, por ejemplo, hombres/mujeres o meses del año. El mismo principio, sin embargo, puede ser extendido al análisis de dos diferentes variables. Por ejemplo, consideremos el siguiente estudio del posible efecto de fumar en la incidencia de degeneración macular relacionada con la edad (DMRE).
Fué tomada aleatoriamente una muestra de 1429 personas mayores de una población y clasificada de acuerdo a si eran o no fumadores y si había evidencia de la presencia de DMRE. Los datos obtenidos en el estudio (Tabla 5) constituyen una tabla de contingencia de 2X2, es decir, hay dos variables, cada una con dos categorías.

Tabla5	No-fumadores	Fumadores	Total renglones
DMRE	107	44	151
no-DMRE	940	338	1278
Total columnas	1047	382	Gran total
% con DMRE	10.2%	11.5%	1429
La frecuencia esperada en cada celda es calculada como: $\frac{Total renglon \times Total columna}{Gran Total}$ Por tanto, la $F_e$ de no-fumadores con DMRE es (151*1047)/1429=110.63. Esta cantidad se repite en cada celda de la tabla. Calcular $\chi^2$ de acuerdo a la ecuación 1. En este caso $\chi^2=0.50$ con 1 $gl$.

Tabla 5.¿Está la incidencia de DMRE relacionada con fumar? Los datos son el número de pacientes, de un total de 1429, que caen en cada categoría.

Notemos que en la Tabla 5 el 10% de los no-fumadores exhibieron signos y síntomas de DMRE contra el 11.5% de los fumadores. Podemos preguntar si la diferencia es suficiente para concluir que fumar provoca un efecto en la incidencia de DMRE.

La prueba se describe en la Tabla 5. Notemos que en una tabla de 2X2, la $F_e$ tiene que ser calculada para cada celda en la tabla separadamente, es decir, hay cuatro diferentes valores para la $F_e$. Una tabla de 2X2, sin embargo, solo tiene un grado de libertad.

Para entender porqué una tabla de 2X2 solo tiene 1 $gl$, se debe calcular cada $F_e$ y examinar las desviaciones de las frecuencias observadas con respecto a las esperadas para cada celda de la tabla. Examinar estas desviaciones mostrará que son la misma, es decir, en una tabla de 2X2 solo hay un estimado independiente de la desviación de las frecuencias observadas respecto a las esperadas.

En este caso, el valor calculado de $\chi^2$ es menor que el valor tabulado al 5% de probabilidad. Este es un valor que podría ocurrir bastante frecuentemente por casualidad y, por lo tanto, podríamos concluir, al menos de este estudio, que no hay pruebas concluyentes de que fumar esté relacionado con DMRE.

Nótese que hay estudios en la literatura que sugieren una posible conexión entre DMRE y fumar. Los resultados de un estudio individual con frecuencia no son concluyentes y conclusiones como si fumar está considerado un “factor de riesgo” para DMRE con frecuencia se basan en una combinación de muchos estudios individuales.

Tabla de Contingencia RXC.

También es posible analizar dos variables con cualquier número de categorías por variable y ésto a veces se menciona como una tabla de contingencia de renglón R X columna C.

En el siguiente ejemplo un optometrista quiere determinar si la precisión en la lectura, determinada como el total de errores cometidos en una prueba, varía entre un grupo de sujetos controles mayores y un grupo de pacientes con DMRE cuando se presentan con cuatro diferentes filtros de color (Tabla 6).

Tabla6: filtros	rojo	verde	azul	amarillo	Total renglones
Control	479	318	88	24	909
DMRE	508	458	90	35	1091
Total columnas	987	776	178	59	N=2000
La frecuencia esperada en cada celda es calculada como: $\frac{Total renglon \times Total columna}{Gran Total}$ Por tanto, la $F_e$ de los errores con el filtro rojo en los controles es (909*987)/2000=448.59. Repetir para cada celda de la tabla y calcular la $\chi^2$ usando la ecuación 1. En este caso la $\chi^2=11.72$ (3gl) p<0 .001="" ol="">

Tabla 6.¿La frecuencia de los errores en la lectura usando diferentes colores en los filtros varía entre las personas mayores, controles y pacientes con DMRE? Los datos son el número total de errores cometidos por el paciente en cada prueba.

Para hacer la prueba, la $F_e$ es calculada para cada celda de la tabla usando la misma fórmula que se usó para la tabla de 2X2. Entonces el valor de la $\chi^2$ es calculada usando la ecuación 1. En este ejemplo, el valor $\chi^2=11.72$. Este valor es llevado a la tabla $\chi^2$, usando el renglón $(R-1)(C-1) gl$. Este valor excede el valor de $\chi^2$ en la tabla al nivel p=0.01, es decir, la incidencia de los errores en la lectura usando los diferentes filtros de colores varía entre los dos grupos de pacientes.

Se requerirá un examen más detallado de los datos para determinar si las diferencias entre los dos grupos estuvieron presentes usando todos los tipos de filtros o solo un subconjunto de filtros. Este proceso puede incluir partir los datos en pequeñas tablas de contingencia cada una de las cuales puede ser probada usando la $\chi^2$.

Referencia

Optometry Today

Foto de Joffi

jueves, 10 de agosto de 2017

Métodos de análisis de datos en Optometría. (Primera de dos partes)

Resumen del artículo escrito por Richard Armstrong y Frank Eperjesi dirigido al personal de optometría que requiera conocimientos básicos de estadística para analizar datos.

Análisis de Frecuencias y Proporciones.

En los escritos anteriores se describió la aplicación de métodos estadísticos a problemas clínicos en optometría que han sido aplicados a datos de medidas por ejemplo la longitud axial del ojo o la presión intraocular. Los datos de medidas son expresados en unidades; son variables continuas y, en muchos casos, llenan los requerimientos de la distribución normal.

En algunos estudios, sin embargo, los datos no son medidas sino cantidades o frecuencias de eventos particulares. En tales casos, un investigador puede estar interesado en saber si un evento específico sucede más frecuentemente que otro, o si un evento ocurre con la frecuencia predicha por un modelo científico.

Por ejemplo, un oftalmólogo cree que la prevalencia de una enfermedad ocular, según indica el número de pacientes referidos a los hospitales en West Midlands, es igualmente común entre hombres y mujeres. Así que el investigador quiere determinar si el número de hombres y mujeres observados se desvía significativamente de una razón esperada 1:1.

Además, un optometrista puede creer que el uso de un particular lente de contacto es un factor de riesgo para desarrollar úlceras corneales. En este caso puede ser interesante determinar si la proporción de individuos que desarrollan úlceras corneales fué el mismo en los grupos de pacientes clasificados de acuerdo al uso de diferentes tipos de lentes de contacto.

Pruebas estadísticas previas aplicadas a datos de medidas han sido basadas en las distribuciones $t$ y $z$. Para analizar los datos de frecuencia, sin embargo, se requiere un diferente tipo de prueba estadística y una nueva distribución: la distribución Ji-cuadrada.

Este artículo revisa el uso de la distribución Ji-cuadrada al analizar frecuencias y proporciones sacados de una variedad de problemas clínicos en optometría. Además, serán descritas algunas de las pruebas alternativas a la Ji-cuadrada, que son útiles en circunstancias particulares, como la prueba exacta de Fisher y la prueba de Kolmogorov-Smirnov.

Como en los artículos previos, los métodos de análisis de datos son ilustrados con conjuntos de datos simples. Estos datos son usados solamente para ilustrar la metodología, y los efectos experimentales revelados no son necesariamente indicativos de los resultados, que hubieran sido obtenidos mediante experimentos más detallados.

La distribución Ji-cuadrada.

Ejemplo.

Un oftalmólogo cree que una enfermedad ocular es igualmente común entre hombres y mujeres. Una revisión de casos referidos a los hospitales en West Midlands durante los últimos 10 años produjo la frecuencia de ocurrencia de la enfermedad como se muestra en la Tabla 1.

$Tabla \hspace{3mm} 1$	$Hombres$	$Mujeres$	$Total$
$Razón Esperada$	$1$	$1$
$Frecuencia Observada (F_o)$	$480$	$420$	$900$
$Frecuencia Esperada (F_e)$	$450$	$450$	$900$
$F_o-F_e$	$+30$	$-30$
$(F_o-F_e)^2$	$900$	$900$
$(F_o-F_e)^2/F_e$	$2$	$2$
$\chi^2=\sum (F_o-F_e)^2/F_e=4$

¿Estos resultados apoyan o contradicen la hipótesis nula de que no hay diferencia en la ocurrencia de la enfermedad entre hombres y mujeres, es decir, los datos refutan una razón hombre:mujer de 1:1?

Cálculo de la Ji-cuadrado.

En 1899, el estadístico Karl Pearson ideó una prueba estadística para responder este tipo de pregunta. Pearson ideó un “índice de dispersión”, llamado Ji-cuadrada ($\chi^2$), que mide la desviación de una frecuencia observada ($F_o$) de una frecuencia esperada o predicha ($F_e$). Junto con las distribuciones $t$ y $z$ descritas en artículos previos, la distribución Ji-cuadrada es una de las más importantes en estadística. La Ji-cuadrada se define como la suma de los cuadrados de las diferencias entre cada frecuencia observada ($F_o$) y cada frecuencia esperada ($F_e$), cada diferencia dividida por la frecuencia esperada:

\[\chi^2=\sum\frac{(F_o-F_e)^2}{F_e} \hspace {20mm} \dots (1)\]

Si los movimientos observados y esperados son idénticos, el valor de la $\chi^2$ es cero. El valor de $\chi^2$ se incrementa a medida que la diferencia entre los valores observado y esperado se incrementa.

En el ejemplo dado en la Tabla 1, el valor calculado de $\chi^2$ es 4. Nótese que la $F_e$ de hombres y mujeres con una enfermedad particular es calculada de la $F_o$. Para juzgar si es probable que un valor de $\chi^2$ de 4 se obtenga por casualidad mediante una muestra aleatoria, se consulta la tabla $\chi^2$ para $n-1$ grados de libertad $gl$ donde $n$ es igual al número de categorías de la variable.

Grados de Libertad.

La consideración de este ejemplo nos da un contexto útil en el cuál explicar el significado de los grados de libertad $gl$ en más detalle. Como se describe en un artículo anterior, el número de $gl$ hace posible tener una tabla estadística para buscar en el renglón correcto basado en el número de observaciones.

En la mayoría de las aplicaciones, los $gl$ de una cantidad estadística se define como el número de observaciones menos el número de parámetros que tienen que ser calculados de los datos para estimar la cantidad estadística. Así, en el presente ejemplo, hay dos observaciones (las dos frecuencias, hombres y mujeres) pero la $F_e$ tiene que ser calculada de la $F_o$ para hacer la prueba $\chi^2$, por lo tanto, $gl=2-1=1$.

Reduciendo el número de observaciones “efectivas” de esta manera parecería ser un procedimiento lógico dado que los datos están siendo usados para probar una hipótesis y para calcular el estadístico necesario para hacer la prueba.

Cuando una prueba estadística se hace por primera vez, es útil calcular los grados de libertad apropiados y asegurarnos de que coinciden con los que indica el programa estadístico. Esta verificación puede ser particularmente importante cuando se usan pruebas estadísticas más complejas, como el análisis de varianza, que será discutido posteriormente.

La distribución Ji-cuadrada 1 $gl$

La distribución estadística Ji-cuadrada con un grado de libertad es mostrada en la figura.

Esta distribución describe los valores de Ji-cuadrada, que resultarían por casualidad al comparar dos frecuencias tomadas aleatoriamente, por ejemplo de una tabla de números aleatorios.

Comparada con las tablas $z$ y $t$, la distribución $\chi^2$ para 1 $gl$ es asimétrica en su forma, pero como en las distribuciones $z$ y $t$, el cálculo de la $\chi^2$ convierte las diferencias entre las frecuencias observadas y las esperadas a un solo estadístico, que es un miembro de esta distribución.

Se obtiene un valor significativo de la $\chi^2$ cuando cae en la cola de la distribución, que incluye el 5% de las observaciones más extremas. La gráfica indica que todos los valores de $\chi^2$ iguales o mayores que 3.84 caerían dentro de esta categoría.

En el ejemplo de la Tabla 1, se obtuvo un valor de $\chi^2=4$ que es más grande que el valor crítico al 5% del nivel de probabilidad. Es improbable que este valor de $\chi^2$ se haya obtenido por casualidad.

La probabilidad es, de hecho, menor a 5% y, por lo tanto, concluímos que las frecuencias observadas se separan significativamente de las razones esperadas, es decir, hay un exceso de hombres referidos a los hospitales de West Midlands con la enfermedad ocular en cuestión.

Este tipo de prueba estadística con frecuencia es descrita como “prueba de bondad de ajuste”.

Esencialmente, una serie de frecuencias observadas son comparadas con una distribución de resultados esperada o predicha. Un importante hecho acerca de este tipo de pruebas es que la distribución $\chi^2$ está basada en la frecuencia de eventos y no puede ser aplicada a datos de medida, es decir, cualquier dato de medida en unidades.

Esta prueba puede ser extendida para cualquier número de categorías de frecuencias y el caso general, para $n$ categorías es descrito en la Tabla 2.

Tabla 2

$Categorías =\{1,2,3, \dots n\}$

$F_o=\{ O_1,O_2,O_3, \dots O_n\}$

$F_e=\{ E_1,E_2,E_3, \dots E_n\}$

Calcular las frecuencias esperadas $F_e$. En el caso simple serán las mismas para cada categoría. Así, si las frecuencias observadas $F_o$ suman $N$, entonces $F_e$ será $N/n$.
Calcular la Ji-cuadrada \[\chi^2=\sum\frac{(F_o-F_e)^2}{F_e} \]
El valor de $\chi^2$ es llevado a la tabla $\chi^2$ para compararlo con el renglón con $n-1\hspace{3mm} gl$ donde $n$ es el número de categorías.
El valor de Ji-cuadrada tiene que ser igual o más grande que el valor tabulado para p=0.05 para indicar una diferencia significativa de los datos observados respecto a los esperados.

Prueba de bondad de ajuste con 12 categorías y la misma expectativa.

Un médico contó el número de niños nacidos cada mes en la maternidad del hospital con una específica anormalidad genética (Tabla 3). ¿El número de niños nacidos con esta anormalidad varían mensualmente?

Tabla 3

Categorías (meses)

$E \hspace{5mm} F \hspace{5mm} M \hspace{5mm} A \hspace{5mm}M \hspace{5mm}J \hspace{5mm}J \hspace{5mm}A \hspace{5mm}S \hspace{5mm}O \hspace{5mm}N \hspace{3mm}D$

$Suma \hspace{3mm}$

$F_o$

$8 \hspace{5mm}19 \hspace{5mm}11 \hspace{5mm}12 \hspace{5mm}16 \hspace{5mm}8 \hspace{5mm}7 \hspace{6mm}5 \hspace{6mm}8 \hspace{6mm}3 \hspace{6mm}8 \hspace{6mm}8$

113

La frecuencias esperada $F_e$ en cada mes es $\sum F_o/n$ donde $n $ es el número de categorías=113/12=9.42
En este caso $\chi^2=23.5$ que excede el valor en la tabla para 11 $gl$ al p=0.05.

En este caso, la $F_e$, asumiendo igual número de nacimientos anormales por mes, es el total de las frecuencias sumadas de los meses, dividido por el número de meses. El valor de $\chi^2$ calculado fué de 23.5 y excede el valor del estadístico para 11 $gl$ con nivel de probabilidad p=0.05.

Así, el número de niños nacidos con esta anormalidad genética parece variar mensualmente.

Es necesario tener cuidado en la interpretación de este resultado, sin embargo, porque es probable que haya una variación en el número total de niños nacidos cada mes y este hecho no ha sido tomado en cuenta. Por lo tanto, podría ser más apropiado analizar la proporción del número total de niños nacidos cada mes con la anormalidad más que las frecuencias absolutas.

Referencia

Optometry Today

Foto de Maciej Kowalski

lunes, 7 de agosto de 2017

¿Hay diferencia entre dos muestras? (5 de 5)

Este es un resumen de un artículo de Richard A. Amstrong y Frank Eperjesi dirigido al personal de optometría que requiera conocimientos básicos de estadística para analizar datos.

Pruebas no paramétricas

La moda y la mediana.

Un enfoque alternativo al análisis de datos que no se distribuyen normalmente es usar una prueba con una distribución libre o no paramétrica (el término no paramétrico se usa para distinguir estas pruebas de las paramétricas, que están basadas en la distribución normal). Estas pruebas son fáciles de hacer y pueden ser usadas a pesar de la forma de la distribución subyacente, siempre y cuando pueda asumirse que las muestras que van a ser comparadas vienen de una distribución que tiene la misma forma.

Como se vió antes, cuando una distribución se desvía significativamente de la normal, la media aritmética con frecuencia es una descripción pobre de su tendencia central.

Sin embargo, hay dos estadísticos adicionales que pueden ser usados para describir la tendencia central de tal distribución. Primero, la moda que es el valor de la variable $x$ con la frecuencia más alta, es decir, el punto máximo de la curva. Segundo, la mediana que es el valor de la $x$ que se encuentra en medio, es decir, si todos los valores de $x$ fueran enlistados en un orden ascendente o descendente, la mediana sería el valor de enmedio del listado.

Ha habido poco progreso ideando pruebas estadísticas que estén basadas en la moda pero hay dos pruebas que pueden ser usadas para probar las diferencias entre las medianas de dos muestras: la prueba U Mann-Whitney y la prueba Wilcoxon. Enseguida se expondra la primera.

La prueba U de Mann-Whitney (para datos no pareados)

Consideremos un experimento diseñado para investigar la habilidad de personas normales mayores y personas con degeneración macular relacionada con la edad DMRE para leer acertadamente una página impresa.
La hipótesis nula es que la DMRE no afecta la habilidad de los sujetos para leer acertadamente, siendo la habilidad para leer acertadamente calificada en una escala de 15 puntos.

Los datos en este experimento incluyen números enteros pequeños y como tal, pueden no estar distribuídos normalmente. Un enfoque para este problema podría ser transformar los valores a una diferente escala y usar la prueba $t$ no pareada. Sin embargo, un método alternativo es hacer una prueba U de Mann-Whitney, el equivalente no paramétrico de la prueba $t$ no pareada como se ve en la siguiente tabla:

$DMRE(A)$	$\hspace{3mm}4$	$\hspace{3mm}5$	$\hspace{3mm}6$	$\hspace{3mm}7$	$\hspace{3mm}10$	$\hspace{3mm}14$
$Control(B)$	$\hspace{3mm}8$	$\hspace{3mm}9$	$\hspace{3mm}11$	$\hspace{3mm}12$	$\hspace{3mm}13$	$\hspace{3mm}15$
$Rango A$	$\hspace{3mm}1$	$\hspace{3mm}2$	$\hspace{3mm}3$	$\hspace{3mm}4$	$\hspace{3mm}7$	$\hspace{3mm}11$
$Rango B$	$\hspace{3mm}5$	$\hspace{3mm}6$	$\hspace{3mm}8$	$\hspace{3mm}9$	$\hspace{3mm}10$	$\hspace{3mm}12$

Ordenar las observaciones juntas de los dos grupos . Asignar rangos ascendentes 1,2,3,… al conjunto completo de observaciones. A los valores repetidos, llamados “ligaduras”, se les asigna el valor de la media de sus rangos. Por ejemplo: si tenemos las observaciones 4, 5, 6, 6, 7, sus rangos serían 1, 2, 3, 4, 5, pero como el seis se repite (ligadura), deberán promediarse sus rangos: en este caso el promedio, llamado rango de orden medio, de 3 y 4 que es 3.5. Luego los rangos quedarían 1, 2, 3.5, 3.5, 5.
Sumar los rangos de cada renglón $R_A=28$ y $R_B=50$.
Calcular los estadísticos $U_A$ y $U_B$, por ejemplo
\[U_A=\left(\frac{n_A(n_A+1)}{2}+(n_An_B)\right)-R_A\] donde $n_A$ y $n_B$ es el número de pacientes en cada grupo. Una ecuación similar puede ser construída para $U_B$ sustituyendo $n_B$ y $R_B$.
Tomar el valor más pequeño entre $U_A$ y $U_B$ y compararlo en la tabla del $U$ tabulado de Wilcoxon. El menor $U$ (en este caso $U_B=7$) tiene que ser igual o menor que el valor tabulado para significancia, es decir, valores pequeños de $U$ indican significancia.

Para una explicación más detallada de la prueba U de Mann-Whitney puede consultarse el video de la Maestra Purificación Galindo de la Universidad de Salamanca sobre el tema.

Referencia

Optometry Today

Foto de Engin Akyurt

miércoles, 2 de agosto de 2017

¿Hay diferencia entre dos muestras? (4 de 5)

Este es un resumen de un artículo de Richard A. Amstrong y Frank Eperjesi dirigido al personal de optometría que requiera conocimientos básicos de estadística para analizar datos.

Suposiciones y limitaciones de las pruebas estadísticas.

Las pruebas estadísticas descritas hacen una serie de suposiciones acerca de los datos experimentales que tienen que ser, al menos, aproximadamente ciertas antes de que la prueba pueda ser aplicada válidamente. La más importante de estas suposiciones es que las medidas individuales, las medias de los tratamientos o las diferencias entre medias son variables paramétricas, es decir, miembros de una población que se distribuye normalmente. Cuando esto es cierto, la distribución normal estándar y la distribución $t$ pueden ser usadas para hacer juicios estadísticos acerca de los datos.

En algunos casos, sin embargo, una variable puede alejarse significativamente de una distribución normal. Las distribuciones pueden diferir de la normal de dos maneras, por el sesgo y por la curtosis. En una distribución sesgada, el pico de la distribución está desplazado hacia la derecha (sesgo positivo) o hacia la izquierda (sesgo negativo) como se ve en la figura, y como resultado, la media aritmética ya no es una buena descripción de la tendencia central de esa distribución.

Por otro lado, distribuciones que exhiben kurtosis son más planas que la normal o tienen un exceso de observaciones cerca de la media y menos en las colas en comparación con la distribución normal. En distribuciones que exhiben kurtosis, la desviación estándar no es un descriptor acertado de la dispersión de la distribución con una media dada. Una mayor curtosis implica una mayor concentración de datos muy cerca de la media de la distribución.

En algunas circunstancias, el investigador puede saber si los datos se distribuyen normalmente o no. En otros casos, puede ser necesario recolectar suficientes observaciones experimetnales para probar si una distribución es normal.

En muchas situaciones experimentales, sin embargo, podemos no saber si los datos vienen de una distribución normal o no, y podemos tener datos insuficientes para hacer una prueba de normalidad. En situaciones como ésta deben considerarse los siguientes puntos. Primero, la mayoría de las medidas hechas en al menos tres cifras significativas tienen una probabilidad más alta de distribuirse normalmente o no desviarse demasiado de la normal. Segundo, la distribución de medias muestrales, si se basa en un número razonable de observaciones -digamos de 10 a 20- será una distribución normal incluso si las medidas individuales no lo son. Tercero, pequeñas desviaciones de los datos con respecto a la normalidad no afectan significativamente la validez de las pruebas que se han descrito.

Transformación de los datos.

En algunas situaciones los datos se apartarán radicalemente de la distribución normal y se requerirá un nuevo enfoque para analizar los datos. Un método es convertir las medidas originales para que puedan ser expresadas en una nueva escala que sea más parecida a la distribución normal que la escala original. Las pruebas estadísticas paramétricas originales pueden entonces ser aplicadas en los valores transformados.

Hay tres circunstancias comunes en las cuales debería ser considerada esa transformación.

Primero, si los datos están en forma de porcentajes. Por ejemplo, considerar los porcentajes de disminución de la presión intraocular en un intervalo específico de tiempo cuando al paciente se le dan gotas para los ojos, y especialmente si la mayoría de las observaciones están cercanas a cero o 100%. Los datos en porcentajes pueden ser transformados a una escala angular o arcoseno definida como sigue:
\[Angulo=sen^{-1} \sqrt{\frac{\%}{100}} \hspace{20mm}\dots (3)\]

La aplicación de la transformación a los % aproxima la distribución a una normal. El programa estadístico con frecuencia brindará esta transformación. Los datos en porcentajes con frecuencia están significativamente sesgados cuando la media es muy pequeña o muy grande y consecuentemente, en la escala del arcoseno, los porcentajes cercanos a 0% o a 100% son dispersados para incrementar su varianza. Entonces puede hacerse una prueba $t$ pareada o no pareada, usando los datos transformados como se describió.

Segundo, los datos que incluyan números enteros pequeños o cantidades evaluadas utilizando una puntuación a escala limitada, por ejemplo de 0 a 5, es menos probable que se distribuyan normalmente. En este caso, una transformación a $\sqrt{x}$ (o $\sqrt{x+1}$ si hay muchos ceros presentes) puede hacer que la escala se distribuya más normalmente.

Tercero, la prueba $t$ también asume homogeneidad de varianzas, es decir, que el grado de variabilidad es similar en los grupos de controles y los de tratados. No es raro, sin embargo, para los valores de los controles que exhiban mayor o menor variabilidad que el grupo de los tratados experimentalmente. En este caso, una transformación de las medidas originales a logaritmos o una de las otras transformaciones puede ecualizar la varianza y además, también puede mejorar el grado de normalidad de los datos.

Referencia

Optometry Today

Foto de Scara

lunes, 31 de julio de 2017

¿Hay diferencia entre dos muestras? (3 de 5)

Este es un resumen de un artículo de Richard A. Amstrong y Frank Eperjesi dirigido al personal de optometría que requiera conocimientos básicos de estadística para analizar datos.

Pruebas pareadas y no pareadas.

El experimento descrito antes podría ser llevado a cabo de dos diferentes maneras, por ejemplo, los métodos pareado y no pareado. Cómo se lleva a cabo un experimento se refiere a su diseño y es un aspecto muy importante de la experimentación. El experimento descrito en la Tabla 1 (en la primer entrada de esta serie) fué llevado a cabo usando un diseño no pareado, es decir, los sujetos experimentales fueron asignados de manera aleatoria, y sin restricción, a los grupos de controles y de tratados. En un diseño pareado, sin embargo, los seis sujetos experimentales son, primero divididos en tres pares y segundo, el tratamiento experimental es asignado a cada par y, de manera aleatoria e independiente, a los miembros de cada par. Por lo tanto hay una restricción en la asignación de los tratamientos a los sujetos experimentales y se requiere un análisis diferente.

La mayoría de las veces, los casos pareados se hacen en base a edad, sexo o tamaño. Por ejemplo, si los seis sujetos experimentales en la Tabla 1 varían en edad, podrían haber sido divididos en tres pares para que los miembros de cada par fueran de una edad similar. En un diseño pareado, la prueba $t$ se calcula como sigue:
\[t=\frac{\bar{d}}{sd\sqrt{n}} \hspace{20mm}\dots (2)\]

En este caso $\bar{d}$ es la media de las diferencias entre cada uno de los tres pares de observaciones y $sd$ es la desviación estándar de esas diferencias.

La misma tabla $t$ es usada para determinar la probabilidad de que el valor calculado de $t$ se haya obtenido de casualidad. Sin embargo, en una prueba $t$ pareada, se usa una regla diferente para introducir la tabla $t$, es decir, $t$ ahora tiene $n-1$ grados de libertad, donde $n$ es el número de pares de sujetos.

Ventajas de la prueba pareada.

Uno puede ahora preguntar si el método más apropiado para llevar a cabo el experimento deseado será un diseño pareado o no pareado. Cada tipo de diseño tiene ventajas y desventajas. Un diseño pareado con frecuencia se usa para reducir el grado de variación presentada entre los sujetos experimentales.

Cómo se logra ésto puede verse examinando la fórmula para la $t$ no pareada dada en la ecuación 1. El valor de $t$ en la ecuación 1, es la diferencia entre las medias de los dos tratamientos dividida por el error estándar de esta diferencia. Si la variación entre los sujetos experimentales es grande, se incrementará el error estándar de la diferencia y disminuirá el valor de $t$ incluso si la diferencia entre medias parece relativamente grande.

Notemos, sin embargo, que en un diseño no pareado, la tabla $t$ se introduce con 4 grados de libertad. Pareando los sujetos experimentales puede reducirse el error estándar porque $t$ en la ecuación 2 es calculada de las diferencias entre pares de observaciones. En otras palabras, el efecto del tratamiento experimental está siendo determinado dentro de pares de sujetos.

Parear debería solo ser considerado, sin embargo, si hay un método lógico para formar pares, por ejemplo por edad o tamaño donde probablemente se pueda conseguir una reducción significativa en el error estándar. Si no hay reducción en el error estándar al formar parejas, entonces sería una desventaja este diseño porque la tabla $t$ es introducida con solo dos grados de libertad (uno menos que el número de grupos). Introducir la tabla $t$ con un número menor de grados de libertad significa que se requerirá un valor más grande de $t$ para demostrar una diferencia significativa entre las medias.

Referencia

Optometry Today

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sábado, 29 de julio de 2017

¿Hay diferencia entre dos muestras? (2 de 5)

Este es un resumen de un artículo de Richard A. Amstrong y Frank Eperjesi dirigido al personal de optometría que requiera conocimientos básicos de estadística para analizar datos.

La lógica de las tablas estadísticas.

Para juzgar si el valor de $t$ es estadísticamente significativo, es llevado a una tabla estadística de la distribución $t$. El cálculo de $t$ usando computadora brinda un valor de probabilidad $p$ correspondiente al valor de $t$. Para entender el significado de $p$, sin embargo, es necesario entender la lógica de las tablas $t$. Todas las tablas estadísticas tienen esencialmente la misma estructura y la misma lógica básica.

Hay una columna de cifras, generalmente a la izquierda de la tabla, que representa los grados de libertad $gl$ de los datos. Esto permite conectar correctamente el renglón basado en el número de observaciones que se tienen. El concepto de grados de libertad será explicado con mayor detalle en un artículo posterior. Todas las pruebas estadísticas tienen una regla que determina cómo se usará la tabla.
En el cuerpo de la tabla hay columnas de valores de un estadístico, como $t$, todos los cuales pueden obtenerse solo por casualidad, es decir, cuando no hay verdaderas diferencias involucradas.
El primer renglón de la tabla muestra las probabilidades $\alpha$ de que los valores del estadístico en una columna particular pudieran obtenerse por casualidad. Por lo tanto, hay una probabilidad de 10%, es decir $p=0.10$ (o 1 en 10) de que los valores en la columna del 10% pudieran obtenerse solo por casualidad y hay 1% de probabilidad, $p=0.01$ (1 en 100) de que los valores en la columna de 1% pudieran obtenerse por casualidad.

Como se describió anteriormente, los estadísticos usan la columna del $p=0.05$ (o 1 en 20) para juzgar qué tan improbable tiene que ser un evento antes de que se crea que es improbable de obtenerse por casualidad y de que hay una verdadera diferencia entre las medias muestrales. Por lo tanto, si el estadístico calculado cae en una columna en la cual la probabilidad es menos de 0.05, es improbable que se haya obtenido por casualidad y si cae en una columna en la cual la probabilidad es mayor que 0.05, es más probable que se haya obtendio por casualidad. Notemos que el nivel de probabilidad de 0.05 es arbitrario y no debería ser aplicado a problemas estadísticos indiscriminadamente. Todos los efectos experimentales que resulten en valores $t$ un poco por debajo o por arriba del 5% deberían ser considerados como efectos posibles y discutirse apropiadamente.

Aplicación a los datos en la Tabla 1 (de la entrada anterior).

Calcular el valor de $t$ usando la fórmula en la ecuación 1 (de la entrada anterior).
Determinar el renglón en el cual la tabla $t$ se ingresa, aplicando la regla de que los grados de libertad $gl=n_1+n_2-2=4$. Esta regla aplica solo en el caso de este tipo particular de prueba $t$ y otras pruebas estadísticas pueden tener diferentes reglas para ingresar la tabla.
El valor de $t$ al nivel de 5% de probabilidad para 4 grados de libertad tomados de la tabla $t$ es 2.78. El programa de cómputo brindará el p valor. El valor de $t$ obtenido en el experimento fué 3.82 y es más grande que el valor de $t$ en $p=0.05$. La probabilidad de obtener un valor de $t$ de 3.82 por casualidad, cuando no hay diferencia significativa entre las medias, es menor que el 5% y por lo tanto, concluiríamos que es más probable que $t$ no se haya obtenido por casualidad.

Así los datos se oponen a la hipótesis nula y hay un efecto del medicamento en la dilatación pupilar.

Explicación.

Para entender la lógica detrás de la prueba $t$, es necesario examinar la distribución de $t$ y el renglón particular de la distribución $t$ representado por los datos que tienen 4 grados de libertad. Cuando $t$ es calculada, la diferencia entre las dos medias es convertida para que se vuelva un miembro de esta distribución. Pequeñas diferencias entre las medias, que son más probables de obtenerse por casualidad, resultan en valores de $t$ que están más cerca de la media de la distribución (es decir $t=0$). Diferencias más grandes de las medias resultan en valores $t$ más lejanos, en las colas de la distribución. Cuando $t$ es igual o más grande que 2.78 (el valor de $p=0.05$) para 4 grados de libertad, el valor está en la zona de la distribución que incluye el 5% de los valores más extremos. Este es un valor de $t$ que es poco probable que se obtuviera por casualidad y por lo tanto concluímos que hay una real diferencia entre las dos medias.

Prueba de una y dos colas.

En el experimento que hemos descrito es posible proponer dos diferentes hipótesis nulas. En la primera podemos suponer que la aplicación del medicamento en cuestión no tiene efecto en la dilatación pupilar. Esta hipótesis no especifica si un incremento o una disminución en la dilatación pupilar refutaría la hipótesis nula. En este caso, una prueba de dos colas sería apropiada, es decir, ambas colas de la distribución $t$ son usadas como muestra la Tabla 6 en la Figura, para probar la hipótesis de que hay un incremento o una disminución en el diámetro pupilar.

Segundo, podemos solo suponer que la aplicación del medicamento no incrementaría la dilatación pupilar dado que se sabe que no la disminuye significativamente. Este tipo de hipótesis especifica si es necesario un efecto positivo o negativo para refutar la hipótesis y por lo tanto, sería apropiada una prueba de una cola. Algunas tablas estadísticas pueden indicar las probabilidades de una y dos colas correspondientes a una columna particular. La mayoría de las tablas estadísticas, con algunas excepciones, solo indican las probabilidades de dos colas. Para encontrar las probabilidades de una cola en las tablas de dos colas, se parte la probabilidad, es decir, el 5% de las probabidades de una cola serían encontradas en la columna de 10% de dos colas.

Referencia

Optometry Today

Foto de Lum3n

martes, 25 de julio de 2017

¿Hay diferencia entre dos muestras? (1 de 5)

Este es un resumen de un artículo de Richard A. Amstrong y Frank Eperjesi dirigido al personal de optometría que requiera conocimientos básicos de estadística para analizar datos.

En una entrada anterior, se mostró que muchas variables en optometría pueden ser descritas como paramétricas o normalmente distribuídas. Si una variable viene de una población normalmente distribuída, entonces la población misma puede ser descrita por su media (la localización de la tendencia central de la distribución) y la desviación estándar (el grado de dispersión de la distribución).

Además, se describieron dos procedimientos estadísticos basados en esta información. Primero, determinamos si una medida individual, por ejemplo, la presión intraocular de un paciente a cierta edad, fué típica o atípica de la población de esa edad. Segundo, se mostró que la media de una pequeña muestra de medidas individuales viene de una población de medias muestrales que también se distribuye normalmente. El grado de dispersión de esta distrubución puede ser descrito por el error estándar de la media. Esta información fué usada para calcular un intervalo de confianza para la media muestral, es decir el grado de error asociado a una media muestral como un estimador de la verdadera media de la población.

En este artículo, esas ideas estadísticas se extienden al problema de probar si hay una diferencia real entre dos muestras de medidas.

Primero, se mostrará que la diferencia entre las medias de dos muestras viene de una problación de tales diferencias que se distrubuyen normalmente. Segundo, la distribución $t$, una de las más importantes en estadística, será aplicada a una prueba de la diferencia entre dos medias usando un conjunto simple de datos tomado de un experiemnto clínico en optometría. Tercero, al hacer una prueba $t$, se hace un juicio estadístico acerca de si hay una diferencia significativa entre las medias de dos muestras.

Antes del uso extendido de programas estadísticos, este juicio era hecho con referencia a una tabla estadística. Incluso si esas tablas no son usadas, es útil entender su estructura lógica y cómo usarlas. Finalmente, será descrito el análisis de los datos que son conocidos por estar muy separados de la distribución normal.

En las siguientes secciones, los métodos de análisis de datos descritos son ilustrados con simples conjuntos de datos. Estos datos son usados solo para ilustrar la metodología, y los efectos experimentales revelados pueden no ser necesariamente indicativos de los resultados que serían obtenidos por experimentos más detallados.

La diferencia entre pares de medias muestrales.

Para determinar si una medida individual es un miembro típico de la población entera se requiere conocer la variación de las medidas individuales, es decir, la desviación estándar de la población. Similarmente, para determinar el grado de error asociado con una media muestral se requiere conocer la variabilidad de las medias muestrales, es decir, el error estándar de la media. Por lo tanto, para determinar si hay una diferencia significativa entre las medias de dos muestras, se requiere saber el grado de variabilidad de la diferencia entre dos medias muestrales.

Consideremos dos poblaciones diferentes, la primera que sale de la medida de un parámetro visual en una muestra de individuos no tratados (grupo control) y la segunda después de tratar otra muestra de individuos con un medicamento diseñado para incrementar la dilatación pupilar (el grupo de tratamiento). Para cada muestra, se calcula la media, y la diferencia entre las medias $\bar{C} – \bar{T}$ representa el efecto del tratamiento del experimento, es decir, el grado en que el medicamento incrementa la dilatación pupilar. Imaginemos que el experimento se repite muchas veces y se obtienen varios estimados de $\bar{C} – \bar{T}$. La distribución de las medias muestrales representando el control y la población tratada se muestra en la figura de la izquierda, y la distribución de $\bar{C} – \bar{T}$ se muestra en la figura de abajo.

Si las medias de los controles y los tratados, están distribuídas normalmente, entonces la distribución de las diferencias entre pares de medias tomadas de estas dos poblaciones también estará distribuída normalmente. Así, podemos usar la distribución normal estándar para probar si hay una diferencia real entre las dos medias en el experimento.

Comparando la diferencia entre dos medias.

Consideremos un experimento diseñado para probar la hipótesis nula de que una droga no tiene efecto en el grado de dilatación pupilar. Se reclutaron seis voluntarios y fueron asignados aleatoriamente a cada grupo, por ejemplo, el control $C$ y el tratado $T$, tres individuos a cada uno. Consecuentemente, se dice que el experimento tiene tres repeticiones. En realidad, tres repeticiones no sería un número adecuado para probar la hipótesis propuesta y se han usado por simplicidad. La cuestión de cuántos pacientes sería apropiado usar en esta y otras circunstancias será discutida en un artículo posterior. Los ojos del grupo control fueron tratados con un placebo que no tiene efectos en la dilatación pupilar. Al final del experimento los resultados obtenidos se enlistan en la Tabla 1.

$repeticiones$	$grupo \hspace{2mm} control$	$grupo \hspace{2mm} tratado$
1.	15	30
2.	19	27
3.	22	26
medias	18.7	27.7
desv.estan.	3.51	2.08

Al examinar el grupo de medias puede observarse que difieren por 9 unidades (ignoremos el signo), lo que sugiere que el efecto del medicamento incrementó el grado de dilatación pupilar. Hay variación, sin embargo, en el grado de dilatación mostrada por lo pacientes individuales que se incluyen en cada grupo. Así, la diferencia entre las medias podría ser atribuída al efecto del medicamento o a la variación aleatoria entre pacientes. Para decidir entre estas dos alternativas, comparamos el efecto del tratamiento $\bar{C} – \bar{T}$ con el grado de variación conjunto de ambos grupos mediante una prueba $t$. La fórmula para la prueba $t$, uno de los procedimiento más comúnmente usados en el análisis de datos, es como sigue:

\[ t= \frac{\bar{C} – \bar{T} }{s \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \hspace{20mm}\dots (1) \]

donde $s$ es un estimado de la desviación estándar basado en ambas muestras conjuntamente y $n_1$ y $n_2$ es el número de observaciones dentro de cada grupo. Así, el valor de $t$ es el radio de la diferencia entre las medias y el grado de variación conjunta entre los pacientes de cada grupo. La variación conjunta (el denominador de la ecuación 1) es llamado el error estándar de la diferencia entre dos medias. Sustituyendo los datos de la tabla 1 en la ecuación 1 se tiene un valor de $t=3.8$. Notemos que este cálculo es similar al que se obtuvo previamente cuando convertimos un valor individual $x$ para que fuera miembro de la distribución normal estándar. En el presente ejemplo, la distribución $t$ es usada en lugar de la distribución normal estándar porque $t$ describe la variación de medias muestrales calculada de un pequeño número de observaciones con más exactitud. Por lo tanto, cuando $t$ es calculada, la diferencia entre las medias $\bar{C} – \bar{T}$ es convertida para que sea miembro de la distribución $t$. Ahora es necesario analizar la probabilidad de obtener un valor de $t$ de esta magnitud, que pudiera ocurrir por casualidad, digamos mediante muestras aleatorias, de dos grupos de muestras cuando cada una incluye tres observaciones.

Referencia

Optometry Today

Foto de Peter Heeling

miércoles, 16 de noviembre de 2016

El efecto de los lentes de color en la lectura: una revisión sistemática de la literatura.

El siguiente es una resumen del artículo "The effect of coloured overlays and lenses on reading: a systematic review of the literature", escrito por: Philip G. Griffiths, Robert H. Taylor, Lisa M. Henderson and Brendan T. Barrett y publicado en Ophthalmic & Physiological Optics.

El objetivo es presentar los resultados de una revisión sistemática de la literatura y examinar la calidad de la evidencia usada para publicar reportes de investigación que avalan el uso de lentes de color para mejorar la habilidad lectora. El resultado muestra que la mayoría de los estudios tienen un sesgo en uno o más aspectos claves del diseño o del resultado. Se ofrecen sugerencias acerca de cómo conducir futuras pruebas.

Cada publicación fué evaluada de acuerdo al riesgo para la validez interna y externa, de acuerdo con el Cochrane Collaboration para evaluar el sesgo. La validez interna se refiere al riesgo de sesgo en el diseño del estudio y el reporte de los resultados. La validez externa se refiere al grado en que los resultados -aunque tengan validez interna- puedan ser generalizados a diferentes poblaciones.

El Wilkins Rate of Reading Test (WRRT) incluye pasajes con palabras de alta frecuencia ordenadas aleatoriamente, impresas en una fuente pequeña. El texto está diseñado para ser abarrotado y visualmente aversivo. El resultado es el número de palabras por minuto leído correctamente. Debido a la gran variabilidad en la velocidad lectora de los niños, no está claro cuál es la velocidad normal para un grupo de edad particular y no es posible determinar el rango de mejora usando el sobrepuesto de color.

El análisis de las publicaciones indica que en algunos casos no se reportan datos cuantitativos detallados como medias, desviaciones estándar, intervalos de confianza y tamaño del efecto.

Muchos estudios fueron revisados confiando en el p-valor para apoyar sus resultados; por ejemplo asegurando que el resultado fué estadísticamente significativo si el p fué <0.05. Sin embargo, es importante recordar que el p-valor es el paso final en el diseño y ejecución de un estudio. En la práctica, las decisiones anteriores, en el diseño experimental o en el análisis de los datos son más importantes para el resultado y la idea de una herramienta de "riesgo de sesgo" dará mayor peso al comportamiento y prácticas estadísticas.

Es importante subrayar que la falta de evidencia que hemos identificado no prueba por sí misma que el color no tiene efecto en la lectura; la falta de evidencia no es evidencia de falta de efectividad.

Por encima, esta afirmación podría ser interpretada como un tácito apoyo para continuar con la práctica de seguir usando filtros coloreados mientras se consigue la evidencia necesaria. Sin embargo, el principal hallazgo es que la calidad de la evidencia disponible es suficientemente baja para que, a pesar de las muchas anécdotas y testimonios de los pacientes, se tengan serias reservas acerca de esta práctica.

La mayoría de los estudios no estaban bien diseñados, había poca evidencia de un protocolo pre-estudio, los estudios fueron con frecuencia de baja potencia y todos tenían áreas de sesgo. Muchas publicaciones tuvieron errores entre las tablas y el texto, y se observó con frecuencia un análisis estadístico sospechoso incluyendo la ausencia de un enfoque estadístico específico previo, tamaño del efecto no reportado y estadística descriptiva faltante.

Algunos investigadores dijeron que pudiera no ser ético incluir un grupo de control placebo. Esto indica que consideran de antemano que el tratamiento con lentes de color es efectivo. La presente revisión muestra que en los estudios que fueron bien enmascarados hubo tanto mejoría en el grupo control de placebo como en el grupo experimental. Por lo tanto no se considera no ético incluir un grupo de control placebo. De hecho, la ética de organizar puebas posteriores con un alto riesgo de sesgo debido a la falta de un grupo de control placebo debería ser analizada.

Una perspectiva es que, incluso si el beneficio de color en la lectura se debe solo al efecto placebo, el aspecto más importante es que la lectura mejora, y la fuente de ese mejoramiento es de importancia menor.

Mientras entendemos esta lógica, no estamos de acuerdo en que las terapias con lentes de colores puedan tener un costo sustancial para el paciente o sus padres, y puedan retrasar la identificación de las verdaderas razones de la reducción de la habilidad lectora y detener el enfoque adecuado de remediación y manejo.

Los participantes reclutados en clínicas especializadas pueden no ser representativos de la población general.

Referencia

Ophthalmic & Physiological Optics 36 (2016) 519–544

Foto de BryanHanson

martes, 8 de noviembre de 2016

Conceptos básicos para optometristas. 4/4

La distribución normal estándar.

La distribución normal estándar tiene una media de cero y una SD de 1 (se denota $N(0,1)$) y es la base de muchas pruebas estadísticas útiles. Por ejemplo, puede ser importante determinar si una observación $x$ es un miembro típico o atípico de una población.

Una medida de un parámetro visual se hace en un individuo y se quiere determinar si este valor es típico de la población completa. Para hacer esta prueba, la observación original $x$ tiene que convertirse para que sea parte de la distribución normal estándar $Z$, es decir $Z=\pm(x-\mu)/\sigma$.

Esta fórmula convierte a $x$, un miembro de la distribución original $N(\mu,\sigma)$, en miembro de $Z$, $(N(0,1))$. Las tablas de la distribución normal estándar pueden entonces ser usadas para determinar dónde está localizada $z$ con respecto a su media, es decir, ¿cae cerca de la media de la distribución (valor típico), o lejos en una de las colas de la distribución (un valor atípico)?

Una cuestión importante es qué tan atípica tiene que ser la observación $z$ antes de que consideremos que es atípica. Mediante la conversión, consideraremos a $x$ un miembro típico de la población a menos que esté localizado en las colas de la distribución que incluye el 5% de los valores más extremos.

El valor de $Z$ que separa los valores típicos (95% de la distribución) de los atípicos (5% de la distribución) es en realidad 1.96. Así, si nuestro valor calculado de $z$ es igual o mayor que 1.96, consideraríamos el parámetro visual medido en el sujeto como atípico. Tales pruebas son útiles en un contexto clínico donde puede ser necesario juzgar si un parámetro visual medido en un paciente cae dentro o fuera del rango normal.

Variación de las medias muestrales.

En muchos estudios, las observaciones individuales pueden no ser de un interés supremo y puede ser que estemos más interesados en la media $\bar{x}$ de una muestra de medidas.

Por ejemplo, quisiéramos determinar la presión intraocular de individuos de 80 años, mediríamos una muestra de unos 10 pacientes de esa edad, y reportamos la media de la muestra con su SD. Sin embargo, si repetimos el estudio con varios grupos de 10 personas de 80 años no necesariamente obtendríamos el mismo valor de la media, es decir, las medias de las muestras también muestran variabilidad.

En este caso queremos saber qué tan bien representa un estimado de la media muestral a la media poblacional. Contestar esta pregunta requiere del conocimiento de cómo varían las medias de una distribución normal.

Para entender este concepto, es necesario recurrir a un importante resultado estadístico llamado el Teorema del Límite Central. Este teorema establece que las medias de una distribución normal $N(\mu,\sigma)$ se distribuyen, ellas mismas, normalmente con media $\mu$ y SD $\sigma/\sqrt{n}$, donde $n$ es el número de observaciones de la muestra.

Además, las medias de distribuciones no normales se distribuirán normalmente si las muestras son lo suficientemente grandes. También es importante que la cantidad $\sigma/\sqrt{n}$, la desviación estándar de la población de las medias muestrales o “error estándar de la media” se distinga de $\sigma$ o $s$ la SD de la población o la muestra de medidas individuales.

Intervalo de confianza para la media de una muestra.

El error estándar de la media puede ser usado para calcular el grado de error involucrado en estimar la media poblacional. Este error con frecuencia es graficado como un “intervalo de confianza” que indica el grado de confianza que tenemos en nuestra media muestral como un estimador de la media poblacional.

Este error es calculado como sigue:
a. Si una observación individual $x$ viene de una distribución normal entonces la probabilidad es 95% (p=0.95) de que $x$ esté localizada en algún lugar de la distribución entre $\mu\pm 1.96\sigma$.
b. Similarmente, si una media muestral $\bar{x}$ viene de una población normal de medias muestrales entonces p=0.95 de que $\bar{x}$ esté entre $\mu\pm 1.96\sigma/ \sqrt{n}$ .

Nótese que en esta ecuación, el error estándar de la media $\sigma/ \sqrt{n}$ es sustituido por $\sigma$ porque estamos interesados en la variación de las medias muestrales y no de las observaciones individuales.
c. Así, podemos escribir p=0.95 de que $\mu$ esté entre $\bar{x}\pm 1.96\sigma/ \sqrt{n}$.

Hay dos problemas con este enfoque. Primero, en la mayoría de los estudios, la media muestral $\bar{x}$ se basa en una pequeña muestra de medidas. Así que no sabemos el valor de $\sigma$ sino solo la SD muestral $s$. Entonces sustituímos $s$ por $\sigma$. Segundo si sustituímos $s$ por $\sigma$, no podemos estar seguros acerca de la forma exacta de la distribución ni si el valor de Z=1.96 es suficientemente preciso para juzgar si una media muestral es atípica de la población.

En lugar de eso usamos un valor diferente, que es más preciso en describir el comportamiento de muestras pequeñas, que se toma de una distribución relacionada llamada la distribución “t”.
d. Luego, un intervalo de confianza (CI) al 95% de una media muestral está dado por $$ CI=\bar{x}\pm t (p=0.05,DF=n-1)s/ \sqrt{n} $$

Podemos concluir que estamos 95% seguros de que la media poblacional caerá entre los límites calculados.

Referencia

Optometry Today

Imagen de Wikipedia

domingo, 6 de noviembre de 2016

Conceptos básicos para optometristas. 3/4

Distribución Normal.
Muchas de las pruebas estadísticas más útiles están basadas en la suposición de que la variabilidad natural de una medida particular es predecible. Por ejemplo, si una muestra de medidas de una variable $x$, digamos, la longitud axial de una muestra de ojos, es graficada como una distribución de frecuencias, las medidas estarán distribuidas simétricamente alrededor de una tendencia central o valor promedio. Una distribución de frecuencias es construida dividiendo la variable $x$ en clases y graficando el número de medidas f(x) que caen dentro de cada clase. Si el número de medidas se incrementa y los intervalos de clases de la distribución se reducen a cero, los datos estarán muy próximos a una curva con forma de campana llamada distribución normal (también llamada distribución Gaussiana). Muchas medidas en las biociencias siguen esta distribución o no se desvían mucho de ella (Figura).

La distribución normal puede ser descrita por dos cantidades:
a. La “tendencia central” de la distribución descrita por el promedio o media aritmética de la población $$\mu=\frac{\sum x}{n}$$.

Nótese que la media de una muestra de medidas tomadas de esta población es designada como $\overline{x}$.

b. La desviación estándar (SD) de la población, es decir, la distancia de la media al punto de máxima pendiente de la curva $$SD=\sqrt{\frac{\sum(\mu-x)^2}{n}}$$ Así, la SD describe qué tan cerca se agrupan los datos alrededor de la medida de tendencia central. Nótese que la SD de una población se designa como $\sigma$ mientras la de una muestra se designa con $s$.

Para entender el significado de SD, puede verse de dónde sale. Un método para determinar la variabilidad de una población de valores es calcular su media $\mu$, restar cada observación $x$ de la media y sumar las desviaciones: $\sum(\mu-x)$.
Si los datos son altamente variables, las desviaciones de la media serán grandes y si los datos no son particularmente variables, estarán más agrupados alrededor de su media.

Sin embargo, debido a que aproximadamente la mitad de las observaciones serán mayores que la media y la mitad menores, la mitad de las desviaciones serán positivas y la mitad negativas y por lo tanto, su suma será cero. Así que para resolver este problema cada desviación se eleva al cuadrado antes de sumarla para dar una cantidad que se conoce como la suma de cuadrados es decir, la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones originales respecto a su media: $\sum(\mu-x)^2$.

Pero, la suma de los cuadrados de una cantidad depende del tamaño de la muestra $N$. Así que para describir la variabilidad de los datos y ser capaces de comparar la variabilidad de un conjunto de datos con otro que tiene diferente tamaño de muestra calculamos el promedio de la desviación dividiendo por N: $\sum(\mu-x)^2/N$.
Esta cantidad también es conocida como varianza. Dado que cada desviación de la media fué elevada al cuadrado antes de sumarla, tomamos la raíz cuadrada de la varianza para tener las misma unidades que las medidas originales. Esto nos da la desviación estandar (SD):
$$ SD=\sqrt{\frac{ \sum(\mu-x)^2}{N}} $$
La desviación estándar describe el promedio de la desviación de las observaciones individuales $x$ de su media. Para calcular la SD necesitamos conocer $\mu$ la media de la población. Sin embargo, en muchas ocasiones deseamos calcular la SD de una pequeña muestra de medidas tomadas de una población más grande. En este caso, no conocemos el valor exacto de la media poblacional, pero podemos calcular la media de la muestra de medidas $\bar{ x }$.

Así, para calcular la SD de una muestra de medidas podemos usar la fórmula original para la SD pero con tres cambios:
a. La SD de la población $\sigma$ es reemplazada por $s$, la SD de la muestra.
b. $\mu$ es reemplazada por $\bar{ x }$, la media de la muestra.
c. “n” es reemplazada por “n-1”, una cantidad llamada grados de libertad.

Los grados de libertad o DF es un concepto importante en estadística. El cálculo de la SD incluye la resta de observaciones individuales de su media y sumar los resultados. Sin embargo, si hay N observaciones, una vez que N-1 observaciones han sido restadas de la media y sumadas, podemos inmediatamente calcular la última desviación de la media porque el total de desviaciones suman cero. En otras palabras N observaciones solo brindan N-1 estimados independientes de las desviaciones de su media. La cantidad N-1 es conocida como los DF. Como una regla general, los DF de una cantidad estadística es el número de observaciones que componen esa cantidad menos el número de parámetros que tienen que ser calculados de los datos para obtener la cantidad. Así que cuando calculamos la SD de N observaciones, los DF es N-1 porque tenemos que calcular un parámetro, la media de los datos, para calcular la suma de cuadrados.
Entonces, la fórmula para la SD de una muestra es dada como sigue:
$$ s=\sqrt{\frac{ \sum(\bar{x}-x)^2}{n-1} } $$
Si varios estimados de una cantidad, como la presión intraocular de los individuos a la edad de 60, son calculados, es práctica común reportar la media y la desviación estándar de la muestra, es decir, $\bar{x}$, $s$.

Ecuación de la Distribución Normal.

La ecuación matemática que describe la curva con forma de campana de la distribución normal está dada como sigue:
$$ F(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} $$

Esta ecuación hace posible la frecuencia F(x), es decir, permite calcular la altura de la curva para cada valor individual de “x” siempre que $\mu$ y $\sigma$ sean conocidas, es decir, una distribución normal es definida completamente por su media y su desviación estándar. Esta ecuación también permite calcular la proporción de observaciones que están a una distancia dada de la media.

En cualquier distribución normal, 68% de las observaciones caerán a 1 SD arriba y abajo de la media. Así, la probabilidad es 68% o p=0.68 de que una medida de una distribución normal caerá en esos límites. Similarmente, la probabilidad es p=0.95 de que una medida caiga aproximadamente a 2 SD por arriba y debajo de la media.

Cada tipo de variable tiene su propia distribución normal de valores con una media y una SD. Sin embargo, las tablas estadísticas de la distribución normal, llamadas tablas Z, han sido calculadas para la distribución normal llamada “normal estándar”. Si queremos usar estas tablas en pruebas estadísticas, tenemos que convertir nuestras medidas para que formen parte de una distribución normal estándar.

Referencia

Optometry Today

Imagen de Wolfram

viernes, 4 de noviembre de 2016

Conceptos básicos para optometristas. 2/4

El siguiente es un resumen del artículo de Richard Armstrong publicado en Optometry Today en junio de 2000

Tipos de variables y datos.
Hay muchos tipos de datos numéricos o puntajes que pueden ser recolectados en una investigación científica y la elección del análisis estadístico con frecuencia dependerá de la forma de los datos. Una distinción es dividir todas las variables en paramétricas y no paramétricas. Con variables paramétricas se asume que los datos vienen de una distribución con forma simetrica conocida como la distribución normal, mientras que las variables no paramétricas tienen una “distribución libre”, es decir, no se hacen suposiciones acerca de la forma de la distribución.

Aquí se considerarán tres tipos de datos:
a. Datos de atributos en los cuales las puntuaciones son frecuencias de eventos particulares, por ejemplo, la frecuencia de hombres y mujeres en un hospital con una enfermedad ocular particular, o la proporción de pacientes que murieron en un período de tiempo que fumaban o no fumaban. Hay un grupo específico de pruebas estadísticas que pueden ser usadas para analizar frecuencias y proporciones, y será expuesto posteriormente.

b. Datos de rango en los cuales un atributo particular es calificado en, digamos, una escala de 5 puntos, por ejemplo, el grado de incapacidad para leer experimentado por un paciente, que puede ser determinado por su respuesta a un cuestionario. Puede ser cuestionable, en muchos casos, si los datos de rango están distribuídos normalmente y esto también será expuesto posteriormente.

c. Medidas de variables que cumplen los requerimientos de una distribución normal. La mayoría de los datos biológicos continuos están normalmente distribuídos, por ejemplo, la altura y el peso de personas incluyendo algunas variables en optometría. No todas las medidas, sin embargo, pueden estar normalmente distribuídas y a veces puede se difícil estar seguro de si los datos están distribuídos así, pero la decisión raras veces es crítica, dado que pequeñas desviaciones de la normalidad no afectan la validez de las pruebas estadísticas. Además, muchas pruebas paramétricas pueden ser realizadas si la muestra es lo suficientemente grande. Vale la pena señalar que las pruebas diseñadas para ser usadas en datos distribuídos normalmente son las más sensible o eficientes de las disponibles.

Referencia

Optometry Today

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miércoles, 2 de noviembre de 2016

Conceptos básicos para optometristas 1/4

El siguiente es un resumen del artículo de Richard Armstrong publicado en Optometry Today en junio de 2000.

Los programas computacionales emplean una gran variedad de métodos de análisis de datos disponibles para los investigadores. La disponibilidad de estos programas, sin embargo, hace necesario que los optometristas entiendan los principios básicos de la estadística. El análisis estadístico de datos suele ser complejo, con muchos diferentes métodos de enfoque, cada uno de los cuales aplica en una circunstancia experimental particular. Así que es posible aplicar el método estadístico equivocado a los datos y sacar las conclusiones equivocadas de un experimento.

El conocimiento de la estadística es esencial por cuatro razones. Primero, es necesario para entender los datos estadísticos reportados en cantidades cada vez mayores en los reportes y artículos de investigación. Segundo, a fin de apreciar la información brindada por el análisis estadístico de los datos, es necesario entender la lógica con la cual se forman las bases de los procedimientos más comunes. Tercero, es necesario ser capaz de aplicar correctamente un rango de pruebas estadísticas comunes. Cuarto, bajo ciertas circunstancias, se necesitará el consejo de algún estadístico profesional con alguna experiencia en optometría. Así que será necesario ser capaz de comunicarse con el estadístico, pedir recomendaciones y entenderlas.

La estadística en la investigación.

El estudio científico de cualquier tema incluye tres aspectos básicos:

Recolectar las pruebas
Procesar las pruebas
Sacar conclusiones de las pruebas

El análisis estadístico es el paso más importante en procesar las pruebas para que pueda obtenerse una conclusión válida de los datos. Con frecuencia pueden hacerse dos tipos de preguntas en los estudios científicos. El primer tipo es la prueba de hipótesis, por ejemplo ¿poner un filtro de color frente a los ojos de una persona mayor afecta su habilidad para leer bien? La respuesta a esta pregunta puede ser “sí” o “no” y con frecuencia se diseña un experimento para obtener la respuesta.

Por convención, las hipótesis son establecidas generalmente como negativa o “hipótesis nula”, es decir, preferimos creer que no hay efecto del filtro de color en la habilidad para leer hasta que el experimento pruebe lo contrario. El segundo tipo de pregunta incluye la estimación de una cantidad. Puede establecerse que el filtro de color afecta la habilidad para leer en las personas mayores y puede diseñarse un experimento para cuantificar este efecto en un grupo de edad particular. El análisis estadístico de los datos permite probar la hipótesis nula y el error involucrado al estimar las cantidades a ser determinadas.

El requerimiento esencial para el análisis estadístico de los datos en las ciencias biológicas puede ser apreciado al estudiar un simple experimento hipotético. El objetivo es probar la hipótesis de que la vitamina A consumida en la dieta durante un período de tiempo mejora la agudeza visual de un sujeto.

Se seleccionan dos sujetos, a uno de los cuales se le da vitamina A (el individuo tratado o T) y al otro se le da un placebo (el individuo control o C). Se mide la agudeza visual al final del experimento y se comparan los dos sujetos. La diferencia entre los dos resultados (T-C) representa el posible efecto de la vitamina A. Sin embargo, hay algunos problemas en la interpretación de la cantidad T-C como un estimado del efecto del tratamiento (TE) en el experimento:

a. Hay una variación inherente en la agudeza visual entre individuos, estén tomando o no vitamina A. Así, la diferencia en la agudeza visual entre los dos pacientes puede reflejar esta variación natural más que el efecto del tratamiento. Llamaremos a este efecto un “efecto aleatorio” (RE) atribuíble a la variación natural en la agudeza visual en la población humana.

b. Se asume que las condiciones ambientales de los experimentos son exactamente reproducidas para todos los individuos participantes. Sin embargo, puede haber diferencias ambientales que influyan en la cantidad medida y afecten a los dos sujetos de manera diferente, por ejemplo, los dos pacientes pueden haber sido medidos a diferente hora y la agudeza visual podría depender de la hora del día. Más aún podrían haber sido medidos en clínicas separadas, por diferentes observadores o usando equipo diferente. A este efecto le llamaremos “efecto ambiental” (EV).

c. Puede haber errores al medir la agudeza visual (EM), es decir, medidas sucesivas en el mismo paciente pueden variar en algún grado. Un error de medida puede ser más grande para un paciente que, por ejemplo, fué menos complaciente que otro.

Se tiene que: T-C=TE+RE+EV+EM.

Así, en un experimento, necesitaríamos tomar en cuenta la variación natural en la agudeza visual (RE), la naturaleza de los errores de la medida (EM) e intentar controlar o eliminar la variación ambiental (EV) para tener confianza en que estamos estimando el efecto del tratamiento (TE) de manera precisa.

Para llevar a cabo esta investigación adecuadamente se requiere de un buen diseño experimental.

Referencia

Optometry Today

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domingo, 25 de septiembre de 2016

Estadística para optometristas: Cómo detectar errores en la literatura médica.

Este es un resumen del artículo Biostatistics: How to Detect, Correct and Prevent Errors in the Medical Literature escrito por Stanton A. Glantz, PH.D.

Aproximadamente la mitad de los artículos publicados en las revistas médicas que usan métodos estadísticos los usan incorrectamente. Estos errores son tan comunes que el presente sistema de revisión por pares no ha sido capaz de controlarlos. Este artículo intenta ayudar a identificar análisis estadísticos cuestionables.

Los errores en el diseño experimental y el uso incorrecto de las técnicas estadísticas elementales, es especialmente importante en estudios clínicos. Estos errores pueden llevar a los investigadores a reportar un tratamiento o una prueba diagnóstica como de valor estadísticamente demostrado cuando, de hecho, los datos no apoyan esa conclusión.

Los médicos que creen que un tratamiento ha probado ser efectivo, en base a la publicación en una revista acreditada, pueden usarlo para sus pacientes.

Los estudios científicos deben ser diseñados e interpretados correctamente para evitar los costos asociados con los errores: se gasta dinero, se sacrifican animales, y los humanos son puestos en riesgo para recabar datos que no son correctamente interpretados.

La mejor solución a este problema es mejorar la calidad del análisis estadístico en la investigación biomédica. Por mientras, hay algunas reglas de oro que el lector puede usar para detectar errores potenciales y estimar lo que el autor hubiera concluído si las técnicas estadísticas hubieran sido aplicadas a los datos correctamente. Estas son: 1) la diferencia entre la desviación estandar y el error estandar de la media; 2) el significado de p; y 3) errores comunes en el uso de la prueba t y cómo compensarlos.

La diferencia entre la desviación estandar y el error estandar de la media.

Los datos experimentales con frecuencia están resumidos como $media$, $\pm SD$, $SE$ o $SEM$. $SD$ se refiere a desviación estandar y $SE$ y $SEM$ a error estandar de la media. Estas dos cantidades no son equivalentes; cuantifican diferentes cosas.

Cuando la variable observada se comporta de manera tal que cualquier observación tiene la misma probabilidad de estar por arriba o por debajo de la media, y más probable de estar cerca de la media que lejos de ella, tiene sentido cuantificar la dispersión de los valores usando la desviación estandar. Bajo estas condiciones, la desviación estandar tiene la propiedad útil de que aproximadamente el 68% de las observaciones estarán dentro de una desviación estandar de la media y aproximadamente el 95% de las observaciones estarán dentro de 2 desviaciones estandar de la media. Esta propiedad hace que la desviación estandar sea una buena manera de resumir la variabilidad en los datos con un solo número.

Por ejemplo, un artículo reportando que la presión sanguínea diastólica (PSD) en adultos saludables es $78 \pm 6 mmHg (mean ± SD)$, implica que aproximadamente el 95% de todos los adultos saludables tienen una presión sanguínea diastólica en un intervalo de $2 \times 6 mmHg=12 mmHg$ alrededor de 78 mmHg, es decir, 66-90 mmHg.

La “regla de las 2 SD” es una buena regla de oro. Cuando es igualmente probable para las observaciones, estar por arriba o por debajo de la media y más probable estar cerca que lejos de la media, alrededor del 95% de ellas estará dentro de 2 desviaciones estandar a cada lado de la media.

Si un autor reporta el error estandar de la media y el tamaño de muestra, un lector puede calcular la SD usando la fórmula $$SD = SEM \times \sqrt{tamaño - muestra}$$

La confusión entre el error estándar de la media con la desviación estándar puede ser engañosa. Por ejemplo, si un artículo reporta que la PSD en 9 adultos saludables fué 78 ± 2 mmHg (mean ± SEM). ¿Cuál es el rango de presión diastólica que debería incluir aproximadamente el 95% de las observaciones? El error estandar de la media es 2 y el tamaño de muestra es 9, así que la $SD=2\times 3mmHg=6 mmHg$. La respuesta es 66-90 mmHg, como antes. Pero aplicar la “regla de las 2SD” con el error estandar de la media estimaría este rango en 74-82 mmHg, que es 16mmHg más angosto.

En un experimento un investigador raramente estudia todos los posibles miembros de una población, sino solo una pequeña muestra representativa. El valor medio calculado a partir de esa muestra es un estimado del valor medio real que sería calculado si fuera posible observar a todos los miembros de la población.

Debido a que la muestra usada para calcular la media consiste en individuos extraídos al azar de la población estudiada, no hay nada especial acerca de esta muestra o su media. En particular, habiendo podido tomar una muestra diferente se pudo obtener otra media. En cada caso se tiene una media y cada una de estas medias muestrales es un estimado de la verdadera media poblacional.

En teoría, uno podría calcular las medias de todas las posibles muestras conteniendo el número de observaciones que el investigador decida examinar. En general, cada una de estas medias muestrales será diferente de las otras, pero todas se agruparán alrededor del valor medio verdadero que sería calculado si fuera posible observar a todos los miembros de la población. La desviación estandar de todas las posibles medias muestrales es el error estandar de la media.

Así que el error estandar de la media no cuantifica la variabilidad de las observaciones, como lo hace la SD, sino la precisión con la cual una media muestral estima la media poblacional. Debido a que el error estandar de la media es la desviación estandar del conjunto de todas las posibles medias muestrales, podemos aplicar la “regla de las 2SD” para poder afirmar: hay aproximadamente un 95% de probabilidad de que la verdadera media de la problación de la cual se extrajo la muestra esté dentro de dos errores estandar del promedio de las medias muestrales. Esto es, el error estandar de la media cuantifica la certeza con la cual uno puede estimar la verdadera media poblacional a partir de una muestra.

Regresando al ejemplo de la PSD, la muestra de nueve adultos saludables le permite al lector tener un 95% de confianza de que la media de la PSD de todos los adultos saludables está en 74-82 mmHg. Mientras que este hecho es con frecuencia de interés, nada dice acerca de la variabilidad de los datos. La SD contiene esta información. Así, la desviación estandar y no el error estandar de la media, debería ser usado para resumir los datos.

El significado de p.

Además de resumir los datos, las técnicas estadísticas permiten a los investigadores probar si sus observaciones son consistentes con sus hipótesis. El resultado de tales procedimientos es llamado nivel de significancia o p-valor.

Para entender lo que significa p se requiere entender la lógica de la prueba de hipótesis estadística.

Por ejemplo, supongamos que un investigador quiere probar si un medicamento altera la agudeza visual. El experimento obvio es seleccionar dos grupos de personas similares, administrar un placebo a un grupo y el medicamento al otro, medir la agudeza visual en ambos grupos, entonces calcular la media y la desviación estandar de las agudezas visuales medidas en cada grupo. La respuesta media de los dos grupos probablemente será diferente, independientemente si el fármaco tiene un efecto, por la misma razón que diferentes muestras aleatorias tomadas de la misma población producen diferentes estimados de la media. Por lo tanto, la cuestión se vuelve: ¿la diferencia en la agueza visual media en los dos grupos se debe a una variación aleatoria o se debe al fármaco?

Para contestar, los estadísticos primero cuantifican la diferencia observada entre las dos muestras con un simple número llamado estadístico de prueba, tal como t. Mientras más grande la diferencia entre las muestras, más grande el valor del estadístico de prueba. Si la droga no tiene efecto, el estadístico de prueba será un número pequeño. Pero ¿qué es “pequeño”?

Para encontrar la frontera entre valor “pequeño” y “grande” del mejor estadístico, los estadísticos asumen que el fármaco no afecta la agudeza visual. Si esta suposición es correcta, los dos grupos de personas son simples muestras aleatorias de una sola población, donde todos reciben un placebo (porque el fármaco es en efecto un placebo). En teoría, el estadístico repite el experimento, usando todas las posibles muestras de personas, y calcula el estadístico de prueba para cada experimento hipotético. Así como la variación aleatoria produce diferentes valores de las medias de diferentes muestras, este procedimiento dará lugar a una gama de valores del estadístico de prueba. La mayoría de esos valores será relativamente pequeño, pero la pura mala suerte requiere que existan algunas muestras que no son representativas de la población. Estas muestras producirán valores relativamente grandes del estadístico de prueba, aún si el fármaco no tiene efecto. Este ejercicio produce solo algunos valores del estadístico de prueba, por decir 5% de ellos, arriba del punto de corte.

El estadístico de prueba es “grande” si es más grande que este punto de corte. Hay tablas que contienen los valores de estos puntos de corte en la mayoría de los libros de estadística. Habiendo determinado este punto de corte, realizamos un experimento en un fármaco con propiedades desconocidas y calculamos el estadístico de prueba. Es “grande”. Por lo tanto concluímos que hay menos del 5% de probabilidad de observar los datos que lleven a calcular el valor del estadístico de prueba si la suposición de que el fármaco no tiene efecto fuera verdadera.

Tradicionalmente, cuando las probabilidades de observar el estadístico de prueba calculado si la intervención no tiene efecto son de menos de 5%, uno rechaza la hipótesis de trabajo de que el fármaco no tiene efecto y afirma que el fármaco tiene un efecto. Existe, por supuesto, alrededor del 5% de probabilidad de que esta afirmación esté equivocada. Este 5% es el “p-valor” o “nivel de significancia”.

Precisamente el p-valor es la probabilidad de obtener un valor del estadístico de prueba tan grande o más grande que el calculado de los datos cuando en realidad no hay diferencias entre los diferentes tratamientos. En otras palabras, el p-valor es la probabilidad de estar equivocado cuando se asegura que existe una diferencia verdadera. Si uno asegura que hay diferencia cuando p< 0.05, uno acepta el hecho de que, a largo plazo, afirmar que hay una diferencia, será un error una de cada 20 veces.

Comúnmente se cree que el p-valor es la probabilidad de cometer un error. Obviamente hay dos maneras en que un investigador puede llegar a conclusiones equivocadas en base a los datos: puede reportar que el tratamiento tiene un efecto cuando en realidad no lo tiene, o puede reportar que el tratamiento no tiene un efecto cuando en realidad sí lo tiene. El p-valor solo cuantifica la probabilidad de cometer el error del primer tipo (error tipo I) concluyendo erróneamente que el tratamiento tiene un efecto cuando en realidad no lo tiene. Esto no da información acerca de la probabilidad de cometer el segundo tipo de error (error tipo II) concluyendo que el tratamiento no tiene efecto cuando en realidad sí tiene.

Errores comunes en el uso de la prueba t y cómo compensarlos.

La prueba t es usada para calcular la probabilidad de estar equivocado (el p-valor) cuando se asegura que la media de los valores de dos tratamientos es diferente. Puede probarse la hipótesis de que un fármaco no tiene efectos en la presión intraocular. La prueba t también es amplia pero erróneamente usada para probar diferencias entre más de dos grupos comparando todos los posibles pares de medias con pruebas t.

Por ejemplo, supongamos que un investigador mide la presión intraocular bajo una condición de control, en presencia del fármaco A y en presencia del fármaco B. Es común realizar 3 pruebas t en estos datos: una para comparar controles vs fármaco A, una para comparar controles vs fármaco B, y otra para comparar fármaco A vs fármaco B.

Esta práctica es incorrecta porque la verdadera probabilidad de concluir erróneamente que el fármaco afecta la presión intraocular más allá del nivel normal, digamos 5%, se utiliza cuando se busca el valor de corte "grande" del estadístico t en una tabla.

Para entender esto, reconsideremos el experimento descrito en el último párrafo. Si el valor del estadístico t calculado en una de las tres comparaciones descritas está en el 5% de los valores más extremos que ocurrirían si el fármaco realmente no tuviera efecto, rechazaremos la suposición y aseguraremos que el fármaco cambió la presión intraocular. Estaremos satisfechos si p<0.05, y estamos dispuestos a aceptar el hecho de que una declaración en 20 estará equivocada.

Por lo tanto cuando probamos control vs fármaco A, podemos afirmar erróneamente que existe una diferencia el 5% de las veces. Similarmente, cuando probamos control vs fármaco B, podemos erróneamente afirmar que tenemos una diferencia 5% de las veces, y cuando probamos fármaco A vs fármaco B, podemos erróneamente afirmar que hay una diferencia el 5% de las veces. Por lo tanto, cuando se consideran las tres pruebas como un grupo, esperamos concluir que al menos un par de los grupos difiere alrededor de 5%+5%+5%=15% de las veces, incluso si los fármacos no afectan la presión intraocular.

En general, simplemente sumando los p valores obtenidos en múltiples pruebas se produce un estimado realista y conservador del verdadero p-valor para el conjunto de comparaciones.

Terminamos la discusión de la prueba t con tres reglas de oro:

La prueba t debería ser usada para probar la hipótesis de que las medias de dos grupos no son diferentes.
Cuando el diseño experimental incluye múltiples grupos, deberían ser usadas otras pruebas, como el análisis de varianza o la generalización multigrupo de la prueba t.
Cuando la prueba t es usada para probar diferencias entre múltiples grupos, el lector puede estimar el verdadero p-valor multiplicando el p-valor reportado por el número de posibles pruebas t.

En el ejemplo anterior hubo tres pruebas t, así que un p-valor efectivo era alrededor de 3X0.05=0.15, o 15%. Cuando comparamos cuatro grupos hay seis posibles pruebas t (1vs2, 1vs3, 1vs4, 2vs3, 2vs4, 3vs4); así, si el autor concluye que hay una diferencia y reporta p < 0.05, el p-valor efectivo es alrededor de 6X0.05=0.30; hay alrededor de 30% de probabilidad de hacer al menos una afirmación incorrecta si se concluye que el tratamiento tiene un efecto.

Estas reglas de oro pueden ayudar a los lectores a detectar y corregir el uso equivocado de la estadística. Obviamente sería mejor mantener esos errores fuera de las publicaciones o, aún mejor, corregirlos durante la investigación.

¿Cómo pueden prevenirse estos errores?

Primero, los editores de las revistas deberían insistir en que se usen correctamente los métodos estadísticos. Segundo, los comités de investigación no deberían aprobar experimentos si el estudio propuesto está diseñado pobremente o los datos resultantes no serán analizados correctamente. Estas dos acciones obligarán a los investigadores médicos a aprender la suficiente estadística elemental para diseñar sus experimentos y analizar sus datos correctamente, y reconocer casos que requieran ayuda de un estadístico profesional.

Esto no es un llamado a que los clínicos se vuelvan estadísticos. Prácticamente todos los errores en cuestión tienen que ver con el mal uso del material discutido en la mayoría de los libros de texto introductorios de estadística. El rechazo de un artículo debería motivar a los investigadores a aprender estadística elemental.

Referencia

Circulation

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\(Tabla \hspace{3mm} 1\)	\(Hombres\)	\(Mujeres\)	\(Total\)
\(Razón Esperada\)	\(1\)	\(1\)
\(Frecuencia Observada (F_o)\)	\(480\)	\(420\)	\(900\)
\(Frecuencia Esperada (F_e)\)	\(450\)	\(450\)	\(900\)
\(F_o-F_e\)	\(+30\)	\(-30\)
\((F_o-F_e)^2\)	\(900\)	\(900\)
\((F_o-F_e)^2/F_e\)	\(2\)	\(2\)
\(\chi^2=\sum (F_o-F_e)^2/F_e=4\)

\(DMRE(A)\)	\(\hspace{3mm}4\)	\(\hspace{3mm}5\)	\(\hspace{3mm}6\)	\(\hspace{3mm}7\)	\(\hspace{3mm}10\)	\(\hspace{3mm}14\)
\(Control(B)\)	\(\hspace{3mm}8\)	\(\hspace{3mm}9\)	\(\hspace{3mm}11\)	\(\hspace{3mm}12\)	\(\hspace{3mm}13\)	\(\hspace{3mm}15\)
\(Rango A\)	\(\hspace{3mm}1\)	\(\hspace{3mm}2\)	\(\hspace{3mm}3\)	\(\hspace{3mm}4\)	\(\hspace{3mm}7\)	\(\hspace{3mm}11\)
\(Rango B\)	\(\hspace{3mm}5\)	\(\hspace{3mm}6\)	\(\hspace{3mm}8\)	\(\hspace{3mm}9\)	\(\hspace{3mm}10\)	\(\hspace{3mm}12\)

\(repeticiones\)	\(grupo \hspace{2mm} control\)	\(grupo \hspace{2mm} tratado\)
1.	15	30
2.	19	27
3.	22	26
medias	18.7	27.7
desv.estan.	3.51	2.08

LaTex

sábado, 26 de agosto de 2017

Resumen del artículo escrito por Richard Armstrong y Frank Eperjesi dirigido al personal de optometría que requiera conocimientos básicos de estadística para analizar datos.

jueves, 10 de agosto de 2017

Resumen del artículo escrito por Richard Armstrong y Frank Eperjesi dirigido al personal de optometría que requiera conocimientos básicos de estadística para analizar datos.

lunes, 7 de agosto de 2017

Este es un resumen de un artículo de Richard A. Amstrong y Frank Eperjesi dirigido al personal de optometría que requiera conocimientos básicos de estadística para analizar datos.

miércoles, 2 de agosto de 2017

lunes, 31 de julio de 2017

sábado, 29 de julio de 2017

martes, 25 de julio de 2017

miércoles, 16 de noviembre de 2016

martes, 8 de noviembre de 2016

domingo, 6 de noviembre de 2016

viernes, 4 de noviembre de 2016

miércoles, 2 de noviembre de 2016

domingo, 25 de septiembre de 2016