Ejercicios Cobach Norte 24 septiembre 2016.

Ejercicios de repaso.

1. Resolver $$\lbrace 31-\left[ 17 \times (23-20)-150\div 6 \right]+9 \times2\rbrace \div 23 \cdots (1)$$ para resolver este ejercicio empezamos haciendo un plan para que el ejercicio se vaya simplificando. Entonces podemos empezar por resolver el paréntesis que está en el centro: $\left(23-20\right)=3$ con lo que la operaci[on (1) se reescribe como $$\lbrace 31-\left[ 17 \times (3)-150\div 6 \right]+9 \times2\rbrace \div 23$$ luego podemos resolver el corchete $$\left[ 17 \times (3)-150\div 6 \right]$$ para lo cual empezamos por resolver las multiplicaciones y divisiones dentro del corchete y finalmente las sumas y restas dentro del corchete. Vamos a poner entre paréntesis las operaciones a realizar, luego vamos a resolver los paréntesis, y finalmente la resta de los paréntesis. $$\left[ ( 17 \times 3)- (150\div 6) \right]=\left[ ( 51)- (25) \right]=\left[ 26 \right]$$ Ahora nos regresamos a la operación (1) y en lugar del corchete ponemos nuestro resultado $$\lbrace 31-\left[ 26 \right]+9 \times2\rbrace \div 23$$ ahora vamos a resolver lo que está dentro de la llave y vemos que queda una suma, una resta y una multiplicación. Resolvemos, como se dijo antes, primero la multiplicación. Podemos ponerla entre paréntesis. Después de resolver la multiplicación solo quedará una suma que se resuelve como ya sabemos $$\lbrace 31-\left[ 26 \right]+(9 \times2)\rbrace =\lbrace 31-\left[ 26 \right]+(18)\rbrace = \lbrace 31- 26+18\rbrace =\lbrace 23 \rbrace$$ nos regresamos nuevamente a la operación (1) y en lugar de la llave ponemos el resultado y hacemos la operación $$\lbrace 23 \rbrace \div 23 = 23 \div 23= 1$$
2. Hallar la respuesta de la siguiente suma de fracciones $$\frac{-19}{5}+\frac{19}{9}-\frac{17}{3}+\frac{23}{15}-\frac{2}{45} \hspace{3cm}\cdots (2)$$ recordemos que para sumar o restar fracciones primero debemos hacer que las fracciones tengan el mismo denominador (común denominador). La palabra denominador viene de "dar nombre". Vamos a sumar — o restar — cosas que tienen el mismo nombre: medios, cuartos quinceavos, octavos, etc. Como nos decía la maestra en la primaria, "no podemos sumar peras con manzanas". Esta es la razón por la que queremos un común denominador que nos permita sumar cosas que se llamen igual. Para encontrar un común denominador necesitamos encontrar un número que se pueda dividir entre todos los denominadores que tenemos, es decir, que sea un múltiplo común de nuestros denominadores. Pero también queremos que sea el más chico de los múltiplos comunes, es decir que sea el mínimo común múltiplo.

   Si analizamos los denominadores que tenemos en esta operación, $5,9,3,15,45$ y escogemos el mayor para ver si puede dividirse exactamente entre el resto vemos que sí. Eso hace que podamos elegir el 45 como el mínimo común múltiplo que necesitamos.

   Lo anterior quiere decir que decidimos hacer una suma de 45avos para lo que necesitamos convertir cada una de nuestras fracciones a 45avos. ¿y cómo se hace eso?

   Recordemos que una propiedad de los enteros es que cualquier número $a$ multiplicado por 1 es igual al mismo número $a$, es decir $1 \times a = a$. Pero también tienen la propiedad de que $a \div a =1$.

   Ahora ya sabemos qué se puede hacer para convertir cada una de las fracciones. Tomo la primera fracción $\frac{-19}{5}$ y para convertir los quintos en 45avos debería multiplicar $5 \times 9$, pero también necesito que la fracción siga siendo la misma y no otra. Entonces solo puedo multiplicarla por $1=\frac{9}{9}$ para lo que hago lo siguiente: $$\frac{-19}{5}\times \frac{9}{9}=\frac{-171}{45}$$ y así tenemos la primer fracción convertida en 45avos.

   Si seguimos haciendo la misma operación con las otras cuatro fracciones tendremos el siguiente resultado: $$\frac{19}{9}\times \frac{5}{5}=\frac{95}{45}$$ $$\frac{-17}{3}\times \frac{15}{15}=\frac{-255}{45}$$ $$\frac{23}{15}\times \frac{3}{3}=\frac{69}{45}$$ y la última fracción la dejamos igual porque ya está convertida a 45avos.

   Si nos regresamos a la operación (2) y en lugar de las fracciones iniciales ponemos sus equivalentes convertidos a 45avos tendremos: $$\frac{-171}{45}+\frac{95}{45}-\frac{255}{45}+\frac{69}{45}-\frac{2}{45}$$ ahora que todas las fracciones tienen el mismo denominador, es decir, que se llaman igual, podemos sumarlas; y como tienen el mismo denominador podemos escribirlas así $$\frac{-171+95-255+69-2}{45}=\frac{-264}{45}$$

3. La familia Restrepo consumió el domingo $\frac{1}{2}$ de una pizza y el lunes consumió $\frac{2}{7}$ del resto de la pizza. ¿cuánta cantidad de pizza les falta por consumir?

   Aquí el secreto está en poner atención a la información que nos dan: el lunes consumió $\frac{2}{7}$ del resto de la pizza. Porque el resto de la pizza era $\frac{1}{2}$ que había quedado después de que el domingo se comieron $\frac{1}{2}$. Por lo tanto tenemos que calcular $\frac{2}{7}$ de $\frac{1}{2}$ $$\frac{2}{7}\times \frac{1}{2}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$$ entonces el lunes consumieron $\frac{1}{7}$ y el domingo consumieron $\frac{1}{2}$. Si sumamos los dos consumos tenemos $$\frac{1}{7}+\frac{1}{2}=\frac{2+7}{14}=\frac{9}{14}$$ y como la pizza entera tiene $\frac{14}{14}$ concluímos que les quedan $\frac{5}{14}$ por consumir.

4. Realiza las siguientes operaciones, simplifica el resultado.
   • a) $$4+8+3+12+2+3=$$ este ejercicio podemos resolverlo de la manera usual, o podemos usar las propiedades de la suma, por ejemplo, primero cambiando los sumandos de lugar, luego agrupando con paréntesis y finalmente resolviendo $$(4+3+3)+(8+2)+12=(10)+(10)+12=32$$
   • b) $$-6+2+23-18-42+7=$$ $$(-6-18-42)+(2+23+7)=(-66)+(32)=-34$$
   • c) $$-\frac{3}{4}+\frac{5}{2}-\frac{1}{6}=$$

     como explicamos antes, necesitamos encontrar un denominador común que sea el mínimo común múltiplo. Si multiplicamos $6 \times 4=24$ tenemos un común múltiplo, pero no es el mínimo. En cambio si multiplicamos $6 \times 2=12$ ahora sí tenemos el mínimo común múltiplo, porque no podremos encontrar otro menor que éste.

     Luego resolvemos como se hizo anteriormente y tendremos $$\frac{-9+30-2}{12}=\frac{19}{12}$$

   • d) $$-\frac{5}{6}+\frac{3}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{8}=$$ aquí nuevamente buscamos el mínimo común múltiplo que será el 24 y resolvemos $$\frac{-20+36-16+3}{24}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}$$

5. En una paletería se utilizan 6 litros de nieve para hacer 100 conos. ¿cuántos litros de nieve se requieren para hacer 325 conos?

   La primera opción que se nos ocurre usar es la regla de 3. $$\frac{6 litros}{ 100 conos }\propto \frac{ X litros }{ 325 conos}$$ y se resuelve multiplicando los extremos diagonales conocidos y dividiendo entre el término de la diagonal donde tenemos la incógnita. En este caso sería $\frac{6 \times 325}{100}=19.5$.

   También, como alguien sugirió en clase, podemos tomar dos razones quivalentes con una incógnita $$\frac{6}{100}=\frac{X}{325}$$ despejamos la incógnita $$X=\frac{6\times 325}{100}=19.5$$

   O, según otra sugerencia, podemos hacer una tabla: si con 6 litros hacemos 100 conos, entonces necesitamos 18 litros para hacer 300 conos, y la cuarta parte de 100 conos, es decir 25 conos podremos hacerlos con la cuarta parte de 6 litros, es decir $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ que es un litro y medio que sumados a los 18 nos dan 19.5 litros con los que hacemos 325 conos.

6. Un automóvil tiene un rendimiento de 19 km por litro de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina necesita para recorrer 220 km?

   Igual que en el anterior problema podemos usar la regla de 3. $$\frac{19 km}{ 1 L }\propto \frac{ 220 km}{ X L}$$ que se resuelve $$\frac{220 \times 1}{19}=11.57$$

7. Realiza las siguientes operaciones eliminando los símbolos de agrupación

   • $$(-7)- \lbrace 9-\left[ (-7)+(-13)-(-5) \right]+\left[23-(18)+(-6) \right]\rbrace=\cdots (a)$$ si resolvemos el primer corchete $$\left[(-7)+(-13)-(-5)\right] = \left[-7-13+5\right]=\left[-15\right]$$ en el paso anterior primero eliminamos los paréntesis poniendo atención a los signos, y luego resolvemos. Regresando a la operación (a) se puede resolver el segundo corchete $$\left[23-(18)+(-6) \right]=\left[23-18-6 \right] =-1$$ y ya se pueden sustituir, en la operación (a), los corchetes por los resultados que se obtuvieron $$(-7)- \lbrace 9-\left[ -15\right]+\left[ -1 \right]\rbrace=$$ ahora puede resolverse la suma que está dentro de las llaves y después de eso lo que queda fuera de las llaves $$(-7)- \lbrace 9+15 -1 \rbrace= -7-\lbrace 23 \rbrace =-7-23=-30$$
   • $$\left[2+(-3)\right]+(-5)=$$ primero quitamos el paréntesis que está dentro del corchete; segundo resolvemos el corchete; tercero quitamos el paréntesis que está fuera del corchete y finalmente resolvemos la operación. $$\left[2-3\right]+(-5)=\left[ -1\right]+(-5)=\left[ -1\right]-5=-6$$ siempre poniendo atención a los signos.

Foto de MarcusL