1. Se va a construir una caja rectangular abierta con base cuadrada y un volumen de 32000 \(cm^3\). Encuentra las dimensiones que requieran la menor cantidad de material.
Conocemos el dato del volumen y las dimensiones que lo componen, es decir \(V=x^2y=32000\). También sabemos cómo calcular la superficie de la caja que se compone de una base cuadrada de área \(x^2\) y cuatro caras rectangulares de área \(xy\) dando una superficie total de \(x^2+4xy\). Esta es una función porque su valor cambia cuando cambiamos las medidas de las variables, es decir, el ancho y el alto de la caja.
De la fórmula del volumen se puede despejar la \(y\) y sustituirla en la función para que dependa solo de una variable: \(y=\frac{32000}{x^2}\).
$$ s(x)=x^2+\frac{128000}{x} $$ ahora se puede derivar, igualar a cero y calcular las soluciones
$$ s'(x)=2x-\frac{128000}{x^2}=0 $$ $$ 2x=\frac{128000}{x^2} \Rightarrow x^3=64000 $$ Por lo tanto \( x=40\) y \( y=20\). Puede verificarse que cuando se toma un valor un poco más grande o un poco más chico para \( x\) la superficie de la caja mide más. Pero eso les toca a ustedes.
2. Un ranchero tiene 3000 pies de cerca. Determina las dimensiones de un corral rectangular que abarque la mayor área.
En este ejercicio tenemos el dato del perímetro que se quiere, \( P=2x+2y=3000\); el área será \( A=xy\) pero se despeja una variable del perímetro y se sustituye en la función del área. \( y=1500-x\)...(*) por lo que $$ A=1500x-x^2 $$ ahora se deriva, se iguala a cero y se buscan soluciones $$ A'(x)=1500-2x=0 \Rightarrow 1500=2x $$ por lo que \( x=750\) y despejando de (*) se tiene que \( y=750\). Como en el ejemplo anterior puede verificarse que el área sea la mayor modificando el valor de \( x\) para calcularla.
Y para terminar les dejo un texto con algunos problemas resueltos a partir de la página 166 como los que les puso el maestro de tarea. Encontré el del cilindro, el del rancho, el de la cajita y el de la ventana. Solo tendrán que cambiar las medidas pero todo lo demás es igual. Agradezco a Luis Castro Pérez de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo por el documento. Suerte.
