Otros dos ejercicios del Cobach

1. Se va a construir una caja rectangular abierta con base cuadrada y un volumen de 32000 $cm^3$. Encuentra las dimensiones que requieran la menor cantidad de material.

Conocemos el dato del volumen y las dimensiones que lo componen, es decir $V=x^2y=32000$. También sabemos cómo calcular la superficie de la caja que se compone de una base cuadrada de área $x^2$ y cuatro caras rectangulares de área $xy$ dando una superficie total de $x^2+4xy$. Esta es una función porque su valor cambia cuando cambiamos las medidas de las variables, es decir, el ancho y el alto de la caja.

De la fórmula del volumen se puede despejar la $y$ y sustituirla en la función para que dependa solo de una variable: $y=\frac{32000}{x^2}$.

$$s(x)=x^2+\frac{128000}{x}$$ ahora se puede derivar, igualar a cero y calcular las soluciones

$$s'(x)=2x-\frac{128000}{x^2}=0$$ $$2x=\frac{128000}{x^2} \Rightarrow x^3=64000$$ Por lo tanto $x=40$ y $y=20$. Puede verificarse que cuando se toma un valor un poco más grande o un poco más chico para $x$ la superficie de la caja mide más. Pero eso les toca a ustedes.

2. Un ranchero tiene 3000 pies de cerca. Determina las dimensiones de un corral rectangular que abarque la mayor área.

En este ejercicio tenemos el dato del perímetro que se quiere, $P=2x+2y=3000$; el área será $A=xy$ pero se despeja una variable del perímetro y se sustituye en la función del área. $y=1500-x$...(*) por lo que

$$A=1500x-x^2$$ ahora se deriva, se iguala a cero y se buscan soluciones $$A'(x)=1500-2x=0 \Rightarrow 1500=2x$$ por lo que $x=750$ y despejando de (*) se tiene que $y=750$. Como en el ejemplo anterior puede verificarse que el área sea la mayor modificando el valor de $x$ para calcularla.

Y para terminar les dejo un texto con algunos problemas resueltos a partir de la página 166 como los que les puso el maestro de tarea. Encontré el del cilindro, el del rancho, el de la cajita y el de la ventana. Solo tendrán que cambiar las medidas pero todo lo demás es igual. Agradezco a Luis Castro Pérez de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo por el documento. Suerte.

gracias a quien me mandó la foto del encabezado.