Ejercicios Cobach Norte 1 de octubre de 2016.

El primer ejercicio era sobre polinomios y preferí empezar con algo de teoría:

Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan variables de un solo término. Si hubiera una suma o una resta sería un binomio. Y asi la suma de 3 monomios es un trinomio y de 4 monomios es un cuatrinomio.

Un polinomio (del griego polys “muchos” y nomos “regla”) es una expresión matemática compuesta de variables y constantes, utilizando únicamente las operaciones de suma, resta, multiplicación y exponentes enteros positivos. Es una sucesión de sumas y restas de monomios de potencias enteras de una o varias variables.

El grado de un monomio es el exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

Referencia

• Khan Academy

I. Simplifica las siguientes expresiones:

1. $$2x+3y-5z-z+y-x+4x-5y-y+9z=$$
Como hicimos la semana pasada, podemos usar la propiedad conmutativa y la asociativa de la suma. Primero acomodamos los términos y después los agrupamos entre paréntesis para poder sumarlos más fácilmente. $$(2x-x+4x)+(3y+y-5y-y)+(-5z-z+9z)=$$ luego hacemos las operaciones dentro de los paréntesis $$(5x)+(-2y)+(3z) =$$ finalmente se pueden quitar los paréntesis siempre que se tenga cuidado con los signos y en este caso para quitar el paréntesis de enmedio primero multiplicamos (mas por menos = menos) $$5x-2y+3z$$
2. $$\frac{1}{2}-\frac{3}{4}xy+\frac{5}{2}-xy^2+x^2y-\frac{7}{2}+\frac{1}{3}x^2y-\frac{1}{6}xy^2 =$$
Otra vez se pueden acomodar y luego agrupar los términos $$\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-\frac{7}{2}\right)+\left(-\frac{3}{4}xy\right)+\left(-xy^2-\frac{1}{6}xy^2\right)+\left(x^2y+\frac{1}{3}x^2y\right)$$ en los dos primeros paréntesis no tenemos duda porque el primero es una suma de quebrados y el segundo es un término único que vamos a dejar igual. Pero en los dos últimos paréntesis que parecen complicados se puede hacer uso de la propiedad distributiva que dice: $x(a+b)=xa+xb$ y aplicado a los últimos dos paréntesis nos permite sacar las variables como factores comunes $$\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-\frac{7}{2}\right)+\left(-\frac{3}{4}xy\right)+\left(\left[-1-\frac{1}{6}\right]xy^2\right)+\left(\left[1+\frac{1}{3}\right]x^2y\right)$$ ahora se resuelven las operaciones dentro de cada paréntesis y corchete. $$\left(\frac{-1}{2}\right)+\left(-\frac{3}{4}xy\right)+\left(\left[\frac{-7}{6}\right]xy^2\right)+\left(\left[\frac{4}{3}\right]x^2y\right)$$ y se quitan los paréntesis y corchetes sin olvidar que sumar un número negativo es lo mismo que restar ese mismo número pero positivo: c+(-d)=c-d $$\frac{-1}{2}-\frac{3}{4}xy-\frac{7}{6}xy^2+\frac{4}{3}x^2y$$
3. $$5\sqrt{2}-2\sqrt{5}-7\sqrt{5}+9\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{2} =$$
se acomodan y agrupan los términos $$(5\sqrt{2}+9\sqrt{2}-\sqrt{2})+(-2\sqrt{5}-7\sqrt{5}+\sqrt{5}) =$$ aquí también puede aplicarse la propiedad distributiva sacando el factor común en los dos paréntesis: $$(\left[ 5+9-1\right]\sqrt{2})+(\left[-2-7+1\right]\sqrt{5}) =$$ se resuelven las operaciones dentro de los corchetes y se eliminan los corchetes $$(13\sqrt{2}) +(-8\sqrt{5})$$ y se quitan los paréntesis $$13\sqrt{2}-8\sqrt{5}$$
4. $$2(x-1)^3-3 (x-1)^3+\frac{2}{3}(x-1)^3+\frac{5}{2}(x-1)^3-(x-1)^3=$$
aquí no necesitamos acomodar ni agrupar porque todos los términos son de la misma clase, es decir, que tienen el factor común $(x-1)^3$. Esto quiere decir que podemos hacer el siguiente arreglo: $$\left[ 2-3+\frac{2}{3}+\frac{5}{2}-1 \right](x-1)^3 =$$ se resuelve lo que está dentro de los corchetes para lo que primero sumamos los enteros (2-3-1=-2), luego resolvemos el quebrado ($\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{4+15}{6}=\frac{19}{6}$ ) y finalmente convertimos los enteros a fracciones ($-2=\frac{-12}{6}$ ) para poder sumarlos con la fracción que queda: $$\left[ -2+\frac{2}{3}+\frac{5}{2} \right](x-1)^3 =$$ $$\left[ -2+\frac{19}{6}\right](x-1)^3 =$$ $$\left[ \frac{-12}{6}+\frac{19}{6}\right](x-1)^3 =\left[ \frac{7}{6}\right](x-1)^3=$$ y ya podemos eliminar los corchetes $$\frac{7}{6}(x-1)^3$$
5. $$cos (x)- sen (y) +cos (y)- sen (x)+\frac{1}{5} cos(x) -\frac{5}{4}sen(x) +\frac{7}{3}sen (y) -\frac{5}{6}cos (y)=$$ lo mismo que en los anteriores, acomodamos los elementos de manera que puedan sumarse los que son de la misma clase, se saca el denominador común, se resuelven las operaciones dentro de los paréntesis y finalmente pueden eliminarse los paréntesis, siempre cuidando no cometer errores con los signos $$\left(cos(x)+\frac{1}{5} cos(x)\right)+\left(- sen(y)+\frac{7}{3}sen(y)\right)+\left(cos(y)-\frac{5}{6}cos(y)\right)+\left(- sen(x)-\frac{5}{4}sen(x) \right)=$$ $$\left(\left[1+\frac{1}{5}\right] cos(x)\right)+\left(\left[-1 +\frac{7}{3}\right]sen(y)\right)+\left(\left[1 -\frac{5}{6}\right]cos(y)\right)+\left(\left[-1 -\frac{5}{4}\right]sen(x)\right)=$$ $$\left(\frac{6}{5} cos (x)\right)+\left(\frac{4}{3}sen(y) \right)+\left(\frac{1}{6}cos (y)\right)+\left(-\frac{9}{4}sen (x)\right)=$$ $$\frac{6}{5} cos (x)+\frac{4}{3}sen (y) +\frac{1}{6}cos (y)-\frac{9}{4}sen (x)$$

II. Escribe en lenguaje algebraico

1. La suma de los cubos de dos números.
Aquí nos piden una suma $()+()$ de los cubos de dos números.... aquí tenemos el cubo de un número: $a^3$ ... luego tenemos el cubo de otro número $b^3$ ... y los ponemos en la suma.... $$a^3+b^3$$ En el salón nos confundimos y algunos contestamos así: $(a+b)^3$ .... que es el cubo de la suma de dos números. ¿Se ve la diferencia?
2. El cuadrado de la diferencia de dos números
El cuadrado .... $()^2$ ¿de qué? .... de la diferencia de dos números .... $(a-b)$ .... que luego acomodamos ... $$(a-b)^2$$ También aquí nos confundimos un poco y algunos escribimos.... $a^2-b^2$ ... que es la diferencia del cuadrado de dos números.... ¿Se ve la diferencia?
3. El cociente de un número aumentado en cinco y el mismo número disminuído en dos.
Primero tenemos un cociente ... $\frac{()}{()}$ ... luego tenemos un número aumentado en cinco (y+5) y el otro término del cociente es el mismo número disminuído en dos (y-2) , que se acomodan en el cociente. $$\frac{y+5}{y-2}$$
4. El producto de tres números enteros consecutivos
Primero el producto de tres números ... $()()()$... luego que sean consecutivos....x, x+1, x+2 .... que acomodamos en el producto... $$(x)(x+1)(x+2)$$

También aquí tuvimos una respuesta equivocada $(x)+(x+1)+(x+2)$ que es la suma de tres números consecutivos. ¿cuál es la diferencia? Los términos están separados por signos de +.

5. La raíz cuadrada de la diferencia de los cuadrados de dos números.

Primero una raíz cuadrada ... $\sqrt{()}$ .... luego una diferencia ... ()-().... y luego los cuadrados de dos números .... $c^2,d^2$ .... y ahora que tenemos las cosas claras los acomodamos....

$$\sqrt{c^2-d^2 }$$ Esta es una diferencia de cuadrados: $c^2-d^2$ y este es el cuadrado de una diferencia: $(c-d)^2$. ¿Se nota que no es lo mismo?

III. Escribe en lenguaje común.

1. $$(x)+(x+1)+(x+2)$$ Esto en primer lugar es una suma, y en segundo lugar los números son consecutivos, por lo tanto es la suma de tres números consecutivos.
2. $$a^2+b^2+c^2$$ Esto en primer lugar es una suma y en segundo lugar los números (o las variables) están elevados al cuadrado, por lo tanto es la suma de los cuadrados de 3 números.
3. $$2x-3y$$ Aquí tenemos una diferencia, y los números son el doble de uno y el triple de otro. Entonces es una diferencia del doble de un número y el triple de otro número.
4. $$(x)(x-5)$$ Primero es un producto, y el primer factor es un número x y el segundo factor es el mismo número x pero disminuído en 5. Entonces es el producto de un número por ese mismo número disminuído en cinco.
5. $$4x+7$$ Aquí se puede decir que se tiene el cuádruple de un número y aumentado en siete. O cuatro veces el número x y a esto le sumamos 7 unidades más. Pero cuidado con decir que tenemos el cuádruple de x mas siete porque puede interpretarse como 4(x+7) que no es lo mismo.

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