Ejercicios del Cobach Norte 3 de diciembre 2016.

I.Clasificar y graficar los siguientes sistemas.
1.
$$x+y=1$$ $$2x-y=4$$

• Primero se ve que es evidente que la segunda no se puede obtener de la primera, es decir, no es un sistema incompatible.
• Entonces se procede a graficar. Para ello primero despejamos $y$ de la primera ecuación y le llamaremos $y_1$, enseguida despejamos $y$ de la segunda ecuación y le llamaremos $y_2$ y
• Finalmente hacemos una tabla en la que le damos valores a $x$ y calculamos el valor de $y_1$ y $y_2$ para graficar cada línea.

$$y_1=1-x$$
$$y_2=2x-4$$ y los valores que tomará $x$
$$x=\{-1,0,1\}$$

$x$	$y_1$
-1	2
0	1
1	0

$x$	$y_2$
-1	-6
0	-4
1	-2

y graficamos cuidando que quede muy bonito

2.

$$3x-2y=6$$ $$6x-4y=12$$ como vimos en el ejercicio de la semana pasada, y repetimos en la clase de hoy, una manera de saber si las líneas son paralelas es calcular su pendiente o inclinación
$$m_1=\frac{y_1}{x_1}=\frac{-2}{3}$$ $$m_2=\frac{y_2}{x_2}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3}$$ y como tienen la misma inclinación resultan paralelas razón por la cual no tienen un punto en común y el sistema es incompatible.

Despejamos $y$ de la primera ecuación y le llamaremos $y_1$, enseguida despejamos $y$ de la segunda ecuación y le llamaremos $y_2$ y finalmente hacemos una tabla en la que le damos valores a $x$ y calculamos el valor de $y_1$ y $y_2$ para graficar cada línea.

$$y_1=\frac{6-3x}{-2}$$ $$y_2=\frac{-12-6x}{-4}$$

y los valores que tomará $x$
$$x=\{-1,0,1\}$$

$x$	$y_1$
-1	-9/2
0	-3
1	-3/2

$x$	$y_2$
-1	3/2
0	3
1	9/2

y graficamos

3. $$2x+4y=-8$$ $$x+y=-4$$ inmediatamente vemos que el sistema es compatible y por tanto las rectas comparten un punto. Despejamos $y$ de la primera ecuación y le llamaremos $y_1$; despejamos $y$ de la segunda ecuación y le llamaremos $y_2$; y hacemos la tabla en la que le damos valores a $x$ y calculamos el valor de $y_1$ y $y_2$ para graficar. Si se divide la primera ecuación entre 2 queda más simple $x+2y=-4$

$$y_1=\frac{-4-x}{2}$$
$$y_2=-4-x$$ y los valores que tomará $x$
$$x=\{-1,0,1\}$$

$x$	$y_1$
-1	-3/2
0	-2
1	-5/2

$x$	$y_2$
-1	-3
0	-4
1	-5

II. Resuelve los siguientes sistemas por el método de suma o resta y determinantes.

4. $$x+y=7$$ $$-2x-4y=-22$$ para resolverlos por suma (o eliminación) multiplico la primer ecuación por 2 para luego sumar.
$$2x+2y=14$$ $$-2x-4y=-22$$ $$\overline{\hspace{10mm}-2y=-8}$$ $$y=4$$ ahora tomamos la primera ecuación para sustituir el valor de $y$ y encontrar $x$. $$x+(4)=7 \Rightarrow x=3$$ lo que nos da el punto $(3,4)$ como solución.

Luego por determinantes:

Como vimos en clase, necesitamos 3 determinantes: el de $x$, el de $y$ y el del sistema que llamaremos repectivamente $Det_x$, $Det_y$ y $Det_s$. Para calcular el determinante del sistema $Det_s$ se agrupan los coeficientes en dos renglones y dos columnas y se calcula como sigue
$$Det_s = \left[ {\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} } \right]$$
$$=a_{11}\times a_{22}-(a_{12}\times a_{21})$$

donde $a_{11}$ es el coeficiente de $x$ en la primer ecuación, $a_{12}$ es el coeficiente de $y$ en la primer ecuación, $a_{21}$ es el coeficiente de $x$ en la segunda ecuación y $a_{22}$ es el coeficiente de $y$ en la primer ecuación.

La variable $x$ se calcula $$\frac{Det_x}{Det_s}$$ y la $y$ se calcula $$\frac{Det_y}{Det_s}$$
Para calcular $Det_x$ se sustituyen los valores de $x$ en $Det_s$ por los valores de los términos independientes y para calcular $Det_y$ se sustituyen los valores de $y$ en $Det_s$ por los valores de los términos independientes.

Ahora que quedó todo tan claro vamos a resolver el ejercicio 4 —que acabamos de resolver arriba— por el método de determinantes.

$$x=\frac{ \left[ {\begin{array}{cc} 7 & 1 \\ -22 & -4 \end{array} } \right] }{ \left[ {\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -2 & -4 \end{array} } \right] }$$

$$=\frac{-6}{-2}=3$$ ahora vamos por $y$

$$y=\frac{ \left[ {\begin{array}{cc} 1 & 7 \\ -2 & -22 \end{array} } \right] }{ \left[ {\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -2 & -4 \end{array} } \right] }$$
$$=\frac{-8}{-2}=4$$ con lo que tenemos el punto $(3,4)$ como solución.

5. $$4x-3y=-2$$ $$-5x+2y=-1$$ si multiplico la primer ecuación por 2 y la segunda por 3 puedo sumar y eliminar.
$$8x-6y=-4$$ $$-15x+6y=-3$$ $$\overline{-7x\hspace{10mm}=-7}$$ $$x=1$$ ahora tomamos la primera ecuación para sustituir el valor de $x$ y encontrar $y$. $$4(1)-3y=-2 \rightarrow y=2$$ lo que nos da el punto $(1,2)$ como solución.

Luego por determinantes:

$$x=\frac{ \left[ {\begin{array}{cc} -2 & -3 \\ -1 & 2 \end{array} } \right] }{ \left[ {\begin{array}{cc} 4 & -3 \\ -5 & 2 \end{array} } \right] }$$

$$=\frac{-7}{-7}=1$$ ahora vamos por $y$

$$y=\frac{ \left[ {\begin{array}{cc} 4 & -2 \\ -5 & -1 \end{array} } \right] }{ \left[ {\begin{array}{cc} 4 & -3 \\ -5 & 2 \end{array} } \right] }$$
$$=\frac{-14}{-7}=2$$ con lo que tenemos el punto $(1,2)$ nuevamente como solución.

6. $$8x+5y=39$$ $$6x-5y=3$$ en este caso puedo sumar y eliminar de inmediato.
$$8x+5y=39$$ $$6x-5y=3$$ $$\overline{14x\hspace{10mm}=42}$$ $$x=3$$ ahora tomamos la segunda ecuación para sustituir el valor de $x$ y encontrar $y$. $$6(3)-5y=3 \rightarrow y=3$$ lo que nos da el punto $(3,3)$ como solución.

Luego por determinantes:

$$x=\frac{ \left[ {\begin{array}{cc} 39 & 5 \\ 3 & -5 \end{array} } \right] }{ \left[ {\begin{array}{cc} 8 & 5 \\ 6 & -5 \end{array} } \right] }$$

$$=\frac{-210}{-70}=3$$ ahora vamos por $y$

$$y=\frac{ \left[ {\begin{array}{cc} 8 & 39 \\ 6 & 3 \end{array} } \right] }{ \left[ {\begin{array}{cc} 8 & 5 \\ 6 & -5 \end{array} } \right] }$$
$$=\frac{-210}{-70}=3$$ con lo que tenemos el punto $(3,3)$ nuevamente como solución.

7. $$6x-9y=48$$ $$-7x+4y=-43$$ primero voy a dividir la primera ecuación entre 3 para que me queden números más chicos.
$$* 2x-3y=16$$ $$-7x+4y=-43$$
Voy a multiplicar la primera por 4 y la segunda por 3. Luego voy a sumar las ecuaciones para eliminar un término.
$$8x-12y=64$$ $$-21x+12y=-129$$ $$\overline{-13x\hspace{10mm}=-65}$$ $$x=5$$ ahora tomamos la ecuación $*$ para sustituir el valor de $x$ y encontrar $y$. $$2(5)-3y=16 \rightarrow y=-2$$ lo que nos da el punto $(5,-2)$ como solución.

Luego por determinantes:

$$x=\frac{ \left[ {\begin{array}{cc} 16 & -3 \\ -43 & 4 \end{array} } \right] }{ \left[ {\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -7 & 4 \end{array} } \right] }$$

$$=\frac{-65}{-13}=5$$ ahora vamos por $y$

$$y=\frac{ \left[ {\begin{array}{cc} 2 & 16 \\ -7 & -43 \end{array} } \right] }{ \left[ {\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -7 & 4 \end{array} } \right] }$$
$$=\frac{26}{-13}=-2$$ con lo que tenemos el punto $(5,-2)$ nuevamente como solución.

8. $$\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}y=3$$ $$-\frac{4}{3}x-\frac{5}{4}y=-9$$ si multiplico la primera ecuación por 5 ya puedo sumar y eliminar.
$$\frac{10}{3}x+\frac{5}{4}y=15$$ $$-\frac{4}{3}x-\frac{5}{4}y=-9$$ $$\overline{\frac{6}{3}x\hspace{10mm}=6}$$ $$2x=6 \Rightarrow x=3$$ ahora tomamos la primera ecuación para sustituir el valor de $x$ y encontrar $y$. $$\frac{2}{3}(3)+\frac{1}{4}y=3 \Rightarrow \frac{1}{4}y=1 \Rightarrow y=4$$ lo que nos da el punto $(3,4)$ como solución.

Ahora resuélvanlo ustedes por determinantes:

III Plantea y resuelve los siguientes problemas

9.Si se resta 4 al numerador y se suma 3 al denominador de una fracción, su valor resulta $\frac{1}{2}$. Si se suma 2 tanto al numerador como al denominador, el valor es $\frac{2}{3}$. Hallar la fracción.

Escribo una fracción y al denominador le llamo $x$ y al denominador le llamo $y$ y sigo las instucciones de sumar y restar lo que el problema indica.

$$\frac{x-4}{y+3}=\frac{1}{2}$$ $$\frac{x+2}{y+2}=\frac{2}{3}$$ y ahora tengo un sistema de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas pero vamos a acomodarlas de una manera que nos sea más familiar. Para eso voy a pasar los términos del denominador al otro lado del signo de igualdad, en ambos lados de la igualdad y en ambas ecuaciones.
$$2(x-4)=y+3$$ $$3(x+2)=2(y+2)$$ ahora necesito quitar los paréntesis $$2x-8=y+3$$ $$3x+6=2y+4$$ acomodar las variables a un lado y las constantes al otro lado del signo de igualdad
$$2x-y=11$$ $$3x-2y=-2$$ y para resolver multiplico la primera por -2 y sumo $$-4x+2y=-22$$ $$3x-2y=-2$$ $$\overline{-x \hspace{8mm}=-24}$$ $$x=24$$ puede usarse la primer ecuación para sustituir el valor de $x$ y encontrar el valor de $y$. $$2(24)-y=11 \Rightarrow y=37$$

10.El triple de un número supera en 1 a otro, mientras que el quíntuplo del primero es 4 unidades menor que el doble del segundo. Encontrar los números.

Vamos a ponerle nombre para que sea más fácil.

El triple de $x$ supera en 1 a $y$, mientras que el quíntuplo de $x$ es 4 unidades menor que el doble de $y$.

Ahora, si el triple de $x$ supera en 1 a $y$, entonces si le resto 1 al triple de $x$ ahora es igual a $y$. Y tenemos la primera ecuación $$3x-1=y$$ además si el quíntuplo de $x$ es 4 unidades menor que el doble de $y$ entonces le sumo 4 al quíntuplo de $x$ y será igual al doble de $y$; y tenemos la segunda ecuación $$5x+4=2y$$
Igual que en el ejercicio 9, acomodo las dos ecuaciones de la forma que ya conocemos para formar un sistema y resolver
$$3x-y=1$$ $$5x-2y=-4$$ multiplico la primer ecuación por -2, sumo, elimino y despejo $$-6x+2y=-2$$ $$5x-2y=-4$$ $$\overline{-x\hspace{8mm}=-6}$$ $$x=6$$ sustituyo el valor de $x$ en la primer ecuación para calcular el valor de $y$. $3(6)-y=1 \Rightarrow y=17$.

11.La suma de dos números es 50 y su diferecia es 6. Hallar los números.

Si los números son $x$ y $y$ entonces $x+y=50$ y $x-y=6$ y ya tenemos el sistema de ecuaciones simultáneas.
$$x+y=50$$ $$x-y=6$$ $$\overline{2x\hspace{5mm}=56}$$ $$x=28$$ $$28+y=50 \Rightarrow y=22$$

12.Hace 5 años la edad de un muchacho era un quinto de la que tenía su padre, y dentro de 10 años el hijo tendrá la mitad de la edad de su padre. Determine las edades actuales.

La primera ecuación será la que representa la edad del muchacho en relación con la del padre, de hace 5 años. $$m=\frac{p}{5} \Rightarrow 5m=p$$ donde $m$ representa la edad del muchacho y $p$ la edad del padre.

La segunda ecuación tiene que representar la edad del muchacho con respecto a la del padre dentro de 10 años, es decir que sumando los 5 años que ya pasaron ambos tendrán 15 años más. $$m+15=\frac{p+15}{2} \Rightarrow 2m+30=p+15$$ y se tienen dos ecuaciones que pueden acomodarse de la manera usual con las variables a un lado y las constantes al otro lado del signo de igualdad, y una encima de la otra para resolver el sistema. $$5m-p=0$$ $$-2m+p=15$$ $$\overline{3m \hspace{5mm}=15}$$ $$m=5$$ se sustituye el valor de $m$ en la primer ecuación $5m=p \Rightarrow p=25$.

Ahora se sabe que la edad del muchacho hace 5 años era 5 y la del padre en la misma fecha era 25. Pero como la pregunta es la edad actual, le sumamos 5 a cada uno y las edades serán 10 y 30 para el muchacho y el papá respectivamente.

13.La edad de Juan es 23 años menos que la edad de su papá. Si entre las dos edades suman 47, ¿qué edad tiene cada uno? Otra vez se establece una ecuación que represente la primer parte del problema donde la edad de Juan $j$ es 23 años menos que edad de su papá $p$. $$j=p-23$$ y un ecuación que represente la segunda parte del problema donde la suma de las edades es 47. $$j+p=47$$ y se resuelve
$$j-p=-23$$ $$j+p=47$$ $$\overline{2j \hspace{5mm}=24}$$ $j=12 \Rightarrow p=35$.

Vamos con un poco de geometría analítica.

Un problema que puso el maestro en el exámen de geometría analítica es:
Relaciona la forma ordinaria de la parábola con el tipo que le corresponde.

1.$(x-4)^2=-16(y-2)$ $\hspace{30mm}$ A. Vertical con apertura hacia arriba
2.$(y-2)^2=8(x+2)$ $\hspace{35mm}$ B. Horizontal con apertura hacia la izquierda
3.$(y+4)^2=-12(x-5)$ $\hspace{30mm}$ C. Vertical con apertura hacia abajo
4.$(x-4)^2=6(y+2)$ $\hspace{35mm}$ D. Horizontal con apertura hacia la derecha

Aquí se pueden simplificar mucho las cosas si tomamos en cuenta solo los términos que importan para la pregunta. Según la teoría que se vió en clase las parábolas pueden ser verticales y horizontales. Son verticales si el término cuadrático es $x$ y son horizontales si el término cuadrático es $y$. Por otro lado, son hacia arriba o hacia la derecha si el término cuadrático tiene el mismo signo que el término lineal. Y son hacia abajo o hacia la izquierda si el término cuadrático y el lineal tienen signos contrarios.

En la lista vemos que en el número 1 y el número 4 el término cuadrático es $x$ porque forma parte del binomio que está elevado al cuadrado. Entonces son parábolas verticales. En el número 2 y el número 3 el término cuadrático es $y$ porque forma parte del binomio que está elevado al cuadrado. Entonces son parábolas horizontales.

Ahora nos fijamos en el otro lado de la igualdad. En el binomio lineal (que no está elevado al cuadrado) el número 1 y el numero 3 están multiplicados por un número negativo, entonces se abre hacia abajo o hacia la izquierda. El número 2 y el número 4 están multiplicados por un número positivo, entonces se abren hacia arriba o hacia la derecha.

Juntando la información de las dos caracterísiticas tenemos que :
La parábola del número 1 tiene como término cuadrático la $x$ entonces es vertical; y el signo de la variable cuadrada $x^2$ es contrario al signo de la variable lineal $-16y$ entonces abre hacia abajo. Luego la respuesta correcta es C.

La parábola del número 2 tiene $y^2$ y $8x$, entonces es horizontal hacia la derecha: respuesta D.

La parábola del número 3 tiene $y^2$ y $-12x$, entonces es horizontal hacia la izquierda: respuesta B.

La parábola del número 4 tiene $x^2$ y $6y$, entonces es vertical hacia arriba: respuesta A.

Otro problema que puso el maestro en el exámen de geometría analítica es:

La ecuación de la parábola que tiene como vértice $V(2,-2)$ y como foco $F(-1,-2)$ es:

• a.$\hspace{5mm}y^2-12x-4y-44=0$
• b.$\hspace{5mm}y^2+12x+4y-20=0$
• c.$\hspace{5mm}y^2+16x+2y-41=0$
• d.$\hspace{5mm}y^2-16x+2y-8=0$

Lo primero que podemos hacer es graficar el vértice y el foco. Así sabremos de inmediato qué tipo de parábola es: horizontal o vertical y hacia dónde está abierta. Como el vértice está a la derecha del foco, sabemos que es una parábola horizontal que abre hacia la izquierda. Y si nos fijamos en el ejercicio anterior, en la forma ordinaria los signos de la variable cuadrática y lineal deben ser contrarios, pero cuando pasamos la variable lineal al otro lado del signo de igualdad, en esta otra forma —que no es la ordinaria—, los signos de la variable cuadrática y lineal son iguales. Ahora sabemos que las opciones a y d no son correctas porque son ecuaciones de parábolas que abren hacia la derecha.

También sabemos que $p$ es la distancia del vértice al foco, que en este caso es 3. Además conocemos la fórmula para una parábola con vértice en $V(h,k)$ y foco en $F(h-p,k)$, que es este caso. $$(y-k)^2=-4p(x-h)$$ solo queda sustituir $V(2,-2)$ en $V(h,k)$ y desarrollar $$(y+2)^2=-4(3)(x-2)=$$ $$y^2+4y+4= -12x+24$$ y acomodamos igualando la ecuación a cero. $$y^2+12x+4y-20=0$$ que es el inciso b.

Foto del Malecón de La Paz, B.C.S.

Ejercicios Cobach Norte 26 de noviembre 2016.

Solución de un sistema de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas

Dos ecuaciones son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas. Así, las ecuaciones $$x+y=5$$ $$x-y=1$$
son simultáneas porque el punto donde $x=3$ y $y=2$ satisface ambas ecuaciones.

Dos ecuaciones son equivalentes cuando una se obtiene de la otra. Así, las ecuaciones $$x+y=4$$ $$2x+2y=8$$ son equivalentes porque multiplicando por 2 la primera se obtiene la segunda.

Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Las ecuaciones independientes no se obtienen una de la otra y cuando tienen una solución común son simultáneas. Las ecuaciones $x+y=5$ y $x-y=1$ son independientes porque no se obtiene una de la otra y son simultáneas porque tienen un único par de valores que satisface ambas ecuaciones.

La solución de un sistema de ecuaciones es el conjunto de valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema. Un sistema es compatible cuando tiene una solución y es incompatible cuando tiene infinitas soluciones.
Para resolver un sistema de ecuaciones existen varios métodos. Aquí vamos a ver: eliminación, sustitución y método gráfico.

Ahora vamos a tomar los 4 sistemas de ecuaciones que vimos en el salón de clase y vamos a resolver por los 3 métodos y veremos un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones simultáneas con tres incógnitas.

a. $$x+2y=2$$ $$2x+4y=4$$

En este caso es muy claro que si multiplicamos la primera ecuación por 2 se obtiene la segunda ecuación. Esto quiere decir que son equivalentes y por lo tanto el sistema es incompatible.

b. $$2x+y=4$$ $$x+2y=5$$

* ELIMINACIÓN.

Queremos eliminar una de las dos incógnitas para lo que empezamos por encontrar un número por el que se multiplicará una de las dos ecuaciones para que al sumarlas podamos eliminar una incógnita y poder encontrar el valor de la otra. En este caso multiplicamos la primera ecuación por -2 y las sumamos.

$$-4x-2y=-8$$ $$x+2y=5$$ $$\overline{-3x+0=-3}$$ $$x=\frac{-3}{-3}=1$$ Ahora tenemos el primer valor $x=1$ que podemos sustituir en cualquiera de las ecuaciones del sistema para obtener el valor de la otra incógnita, entonces en lugar de $x$ pongo 1 que es su valor
$$[1]+2y=5$$ luego paso el 1 restando al otro lado del signo de igualdad $$2y=4$$ y finalmente despejo la $y$ $$y=\frac{4}{2}=2$$ quedando la solución en el punto (1,2).

*SUSTITUCIÓN.

Despejamos una incógnita de la primera ecuación y la sustituímos en a segunda ... o despejamos una incógnita de la segunda ecuación y la sustituímos en la primera. Aquí parece más fácil despejar la $x$ de la segunda ecuación
$$x=5-2y \hspace{15mm}...(1)$$ y este valor de $x$ lo sustituímos en la primera ecuación
$$2[5-2y] +y=4$$ resolviendo y despejando $$[10-4y]+y=4$$ $$-3y=-6$$ $$y=\frac{-6}{-3}=2$$ y se obtiene el primer valor $y=2$ que se sustituye en (1) para obtener $x$. $$x=5-2[2]=1$$ por lo que nuevamente tenemos el punto (1,2) de solución.

*MÉTODO GRAFICO.

$$(a) .... 2x+y=4$$
$$(b) .... x+2y=5$$
para resolver por el método gráfico pues graficamos. En el plano cartesiano graficamos 2 puntos (o mas) de cada ecuación y vemos dónde se encuentra el punto que tienen en común, es decir, en dónde se cruzan. Para graficar, como vimos en clase, le damos valores a la $x$ y encontramos los valores de $y$ mediante la ecuación. Acuérdense que la ecuación es como una maquinita donde yo meto una $x$ y me va a resultar en un valor de $y$. Y si meto otra $x$ me va a resultar en otro valor de $y$. Entonces, para $x=1$ en la ecuación (a) tendré $2(1)+y=4$, y si paso el 2 restando al otro lado del = resulta que $y=2$ por lo que tengo el punto (1,2). Para $x=2$ en la ecuación (a) tendré $2(2)+y=4$; paso el 4 restando al otro lado del = resulta que $y=0$ por lo que tengo el punto (2,0), y para $x=0$ hago la misma operación y resulta $y=4$. Ahora tengo 3 puntos de la ecuación (a).
Luego, para $x=1$ en la ecuación (b) tendré $(1)+2y=5$, y despejando resulta que $y=2$ por lo que tengo el punto (1,2). Para $x=2$ en la ecuaión (b) tendré $(2)+2y=5$, y despejando resulta que $y=3/2$ por lo que tengo el punto (2,3/2), y para $x=0$ hago la misma operación y resulta $y=5/2$. Ahora tengo 3 puntos de la ecuación (b).

Hacemos una tablita con los valores para cada ecuación:

x	y
1	2
2	0
0	4

x	y
1	2
2	3/2
0	5/2

Acto seguido me traslado de inmediato al plano cartesiano y grafico los tres puntos de la ecuación (a) y los tres puntos de la ecuación (b) para obtener...

donde aparece señalado el punto común o punto solución.

c. $$x+y=2 \hspace{6mm}...(c)$$ $$2x+2y=3 \hspace{6mm}...(d)$$ Si nos fijamos un poco en este ejercicio vemos que aunque la primera ecuación no puede obtenerse de la segunda, sí sucede que para usar el método de eliminación podemos multiplicar la primera por -2 y quedaría un resultado absurdo... vamos a ver

$$-2x-2y=-4$$ $$2x+2y=3$$ $$\overline{\hspace{6mm}0=-1}$$ entonces podemos sospechar que aunque no sean ecuaciones equivalentes, pueden ser paralelas, que nunca se cruzarán por lo que no tendrán un punto común. ¿y cómo podemos saber que son paralelas? porque tienen la misma inclinación ¿y cómo sabemos que tienen la misma inclinación? calculando la pendiente, que es la tangente del ángulo de inclinación ¿y cómo se calcula la pendiente? muy fácil: $pendiente=\frac{coeficiente-y}{coeficiente -x}$

El coeficiente es el número (o constante) que acompaña a la letra (o variable), y se tiene $pendiente(c)=\frac{1}{1}=1$ y $pendiente(d)=\frac{2}{2}=1$ mostrando que ambas ecuaciones tienen la misma pendiente o inclinación. ¿lo dudan? pues a graficar...

d. $$2x-4y=6$$ $$x-2y=3$$

En este caso también se ve que si multiplicamos la segunda ecuación por 2 se obtiene la primera ecuación. Esto quiere decir que son equivalentes y por lo tanto el sistema es incompatible.

e.

Ahora vamos a ver el ejemplo que nos muestra el Sr. Baldor en la página 341 de su tan famoso libro.
Resolver el sistema $$x+4y-z=6 \hspace{10mm}(1)$$ $$2x+5y-7z=-9 \hspace{6mm}(2)$$ $$3x-2y+z=2 \hspace{10mm}(3)$$
Combinamos las ecuaciones (1) y (2) y vamos a eliminar la $x$. Multiplicando la ecuación (1) por -2 se tiene
$$-2x-8y+2z=-12$$ $$2x+5y-7z=-9$$ $$\overline{\hspace{6mm}-3y-5z=-21} \hspace{6mm} (4)$$
Combinamos la ecuación (3) con cualquiera de las otras dos ecuaciones. Vamos a combinarla con (1) para eliminar la $x$. Multiplicando (1) por -3 tenemos:
$$-3x-12y+3z=-18$$ $$3x-2y+z=2$$ $$\overline{\hspace{6mm}-14y+4z=-16} \hspace{6mm}$$ y puede simplificarse dividiendola entre 2 $$-7y+2z=-8 \hspace{6mm} (5)$$
Ahora tomamos (4) y (5) para formar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que ya sabemos cómo resolver
$$-3y-5z=-21 \hspace{6mm} (4)$$ $$-7y+2z=-8 \hspace{6mm} (5)$$
Vamos a eliminar $z$ multiplicando (4) por 2 y (5) por 5:
$$-6y-10z=-42$$ $$-35y+10z=-40$$ $$\overline{-41y\hspace{4mm}=-82}$$ $$y=2$$ Sustituyendo $y=2$ en (5) se tiene:
$$-7[2]+2z=-8$$ $$2z= -8+14=6$$ $$z=3$$
Sustituyendo $y=2$ y $z=3$ en cualquiera de las tres ecuaciones del sistema, por ejemplo en (1), se tiene:
$$x+4[2]-3=6$$ $$x=6+3-8=1$$
Solución: $x=1$, $y=2$, $z=3$.

f. Ahora vamos con derivadas:

$$g(x)=\frac{(1-2x)^6}{(x-4)^4}$$
Si queremos analizar la función veremos en primer lugar que es un cociente; en segundo lugar que los términos del cociente están elevados a potencias y en tercer lugar que los términos del cociente que están elevados a potencias son funciones. Y así es como se aplica a regla de la cadena.

$$g'(x)=\frac{(x-4)^4\left[(1-2x)^6\right]'-(1-2x)^6\left[(x-4)^4\right]'}{\left[(x-4)^4\right]^2} \hspace{10mm} (1)$$

pero si llamamos $h(x)=(1-2x)^6$ y $j(x)=(x-4)^4$ podemos resolver las derivadas $h'(x)$ y $j'(x)$ y las sustituimos en (1).
$$h'(x)=6(1-2x)^5(-2)$$ noten que el -2 es la derivada de la función $1-2x$
$$j'(x)=4(x-4)^3$$ se sustituye y se simplifica, poniendo las constantes juntas y eliminando los factores comunes.
$$g'(x)=\frac{(x-4)^46(1-2x)^5(-2)-(1-2x)^64(x-4)^3}{(x-4)^8}=$$
$$\frac{-12(x-4)^4(1-2x)^5-4(1-2x)^6(x-4)^3}{(x-4)^8}$$ y podemos tomar $(x-4)^3$ como factor común y eliminarlo en cada término del numerados y también en el denominador.
$$\frac{-12(x-4)(1-2x)^5-4(1-2x)^6}{(x-4)^5}$$ ya si quieren verse muy listos pueden tomar $(1-2x)^5$ como factor común
$$\frac{(1-2x)^5\left(-12x+48-4(1-2x)\right)}{(x-4)^5}=$$
$$\frac{(1-2x)^5[-12x+48-4+8x]}{(x-4)^5}=$$
$$\frac{(1-2x)^5[44-4x]}{(x-4)^5}$$

g.
$$l(x)=\frac{(4x^2+12x+9)^3}{(4x^2-9)^3}$$ Si vemos detenidamente se nota primero que tanto el numerador como el denominador están elevados a la misma potencia, entonces podemos meterlos en un gran paréntesis y sacar la potencia. En segundo lugar notamos que el término del numerador es un trinomio cuadrado perfecto y el del denominador es una diferencia de cuadrados. Entonces podemos ponerlos en una forma más simple.
$$l(x)=\left[\frac{(4x^2+12x+9)}{(4x^2-9)}\right]^3=$$
$$\left[\frac{(2x+3)^2}{(2x+3)(2x-3)}\right]^3=$$ y hasta podemos eliminar un factor
$$\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]^3$$ parece más fácil, ¿no?

Ahora podemos empezar a derivar
$$l'(x)=3\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]^2\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]'$$ ahora vamos a calcular $$\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]'=\frac{2(2x-3)-2(2x+3)}{(2x-3)^2}$$ ahora simplificamos el numerador y quitamos los signos $$2(2x-3)-2(2x+3)=2[(2x-3)-(2x+3)]=2[2x-3-2x-3]=2[-6]=-12$$ por lo que tenemos
$$l'(x)=3\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]^2\left(\frac{-12}{(2x-3)^2}\right)$$ y podemos simplicar $$\frac{-36(2x+3)^2}{(2x-3)^4}$$ y si no estamos seguros de que es correcto buscamos la respuesta en el Wolfram Alpha.

h. $$y=\frac{(x^6-8x^3+16)^3}{(x^3-4)^2}$$ a estas alturas ya somos muy observadores y notamos que nuevamente el numerador es un trinomio cuadrado perfecto y se procede a expresarlo
$$y=\frac{((x^3-4)^2)^3}{(x^3-4)^2}$$ a partir de aquí todo va muy fácil porque solo solucionamos los asuntos de los exponentes y finalmente derivamos $$y=\frac{(x^3-4)^6}{(x^3-4)^2}= (x^3-4)^4$$
$$y'=4(x^3-4)^3(3x^2)=12x^2(x^3-4)^3$$

i. $$g(x)=\frac{1}{\sqrt{2-x}}$$ si le damos tratamiento como cualquier función elevada a cualquier potencia se puede acomodar de otra forma
$$g(x)=(2-x)^{-1/2}$$ y se procede a derivar
$$g'(x)=(-\frac{1}{2})(2-x)^{-3/2}(-1)$$ es decir, bajamos el exponente como coeficiente, le restamos uno al exponente y lo multiplicamos por la derivada de la función de adentro. Finalmente $$g'(x)= \frac{1}{2(2-x)^{3/2}}$$

j. $$t(x)=\frac{\sqrt{x-9}}{\sqrt{x^2-81}}$$ como ya somos expertos en productos notables pues notamos que en el denominador hay una diferencia de cuadrados y procedemos a mostrarla, además sabemos que podemos cambiar la fracción de radicales en el radical de una fracción y finalmente simplificar... después de todo eso la derivada casi se resuelve sola.
$$t(x)=\left[\frac{x-9}{(x-9)(x+9)}\right]^{1/2}=\frac{1}{(x+9)^{1/2}} =(x+9)^{-1/2}$$ resolviendo la deriada de acuerdo a su exponente
$$t'(x)=-\frac{1}{2}(x+9)^{-3/2}=\frac{-1}{2(x+9)^{3/2}}$$

k. $$g(x)=\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]^7$$ en este ejercicio no parece que podamos simplificar de modo que vale más empezar porque parece largo
$$g'(x)=7\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]^6\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]'$$ y podemos resolver por separado y después sustituír
$$\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]'=\frac{(x^3+5)(6x^5)-(x^6-2)3x^2}{(x^3+5)^2}=$$ $$\frac{6x^8+30x^5-3x^8+6x^2}{(x^3+5)^2}= \frac{3x^8+30x^5+6x^2}{(x^3+5)^2}=$$ $$\frac{3x^2(x^6+10x^3+2)}{(x^3+5)^2}$$ ahora vamos a poner este resultado en la $g'(x)$
$$g'(x)=7\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]^6 \frac{3x^2(x^6+10x^3+2)}{(x^3+5)^2} = \frac{21x^2(x^6+10x^3+2)(x^6-2)^6}{(x^3+5)^8}$$

l. $$m(x)=-\frac{5}{(x^2-4)^7}$$ solo hay que cuidar los signos
$$m(x)=-5(x^2-4)^{-7}$$ y derivar $$m'(x)=35(x^2-4)^{-8}(2x)=\frac{70x}{(x^2-4)^8}$$

Referencia

• Álgebra de Baldor

Foto de la Escuela de Agricultura de la Unison.

El efecto de los lentes de color en la lectura: una revisión sistemática de la literatura.

El siguiente es una resumen del artículo "The effect of coloured overlays and lenses on reading: a systematic review of the literature", escrito por: Philip G. Griffiths, Robert H. Taylor, Lisa M. Henderson and Brendan T. Barrett y publicado en Ophthalmic & Physiological Optics.

El objetivo es presentar los resultados de una revisión sistemática de la literatura y examinar la calidad de la evidencia usada para publicar reportes de investigación que avalan el uso de lentes de color para mejorar la habilidad lectora. El resultado muestra que la mayoría de los estudios tienen un sesgo en uno o más aspectos claves del diseño o del resultado. Se ofrecen sugerencias acerca de cómo conducir futuras pruebas.

Cada publicación fué evaluada de acuerdo al riesgo para la validez interna y externa, de acuerdo con el Cochrane Collaboration para evaluar el sesgo. La validez interna se refiere al riesgo de sesgo en el diseño del estudio y el reporte de los resultados. La validez externa se refiere al grado en que los resultados -aunque tengan validez interna- puedan ser generalizados a diferentes poblaciones.

El Wilkins Rate of Reading Test (WRRT) incluye pasajes con palabras de alta frecuencia ordenadas aleatoriamente, impresas en una fuente pequeña. El texto está diseñado para ser abarrotado y visualmente aversivo. El resultado es el número de palabras por minuto leído correctamente. Debido a la gran variabilidad en la velocidad lectora de los niños, no está claro cuál es la velocidad normal para un grupo de edad particular y no es posible determinar el rango de mejora usando el sobrepuesto de color.

El análisis de las publicaciones indica que en algunos casos no se reportan datos cuantitativos detallados como medias, desviaciones estándar, intervalos de confianza y tamaño del efecto.

Muchos estudios fueron revisados confiando en el p-valor para apoyar sus resultados; por ejemplo asegurando que el resultado fué estadísticamente significativo si el p fué <0.05. Sin embargo, es importante recordar que el p-valor es el paso final en el diseño y ejecución de un estudio. En la práctica, las decisiones anteriores, en el diseño experimental o en el análisis de los datos son más importantes para el resultado y la idea de una herramienta de "riesgo de sesgo" dará mayor peso al comportamiento y prácticas estadísticas.

Es importante subrayar que la falta de evidencia que hemos identificado no prueba por sí misma que el color no tiene efecto en la lectura; la falta de evidencia no es evidencia de falta de efectividad.

Por encima, esta afirmación podría ser interpretada como un tácito apoyo para continuar con la práctica de seguir usando filtros coloreados mientras se consigue la evidencia necesaria. Sin embargo, el principal hallazgo es que la calidad de la evidencia disponible es suficientemente baja para que, a pesar de las muchas anécdotas y testimonios de los pacientes, se tengan serias reservas acerca de esta práctica.

La mayoría de los estudios no estaban bien diseñados, había poca evidencia de un protocolo pre-estudio, los estudios fueron con frecuencia de baja potencia y todos tenían áreas de sesgo. Muchas publicaciones tuvieron errores entre las tablas y el texto, y se observó con frecuencia un análisis estadístico sospechoso incluyendo la ausencia de un enfoque estadístico específico previo, tamaño del efecto no reportado y estadística descriptiva faltante.

Algunos investigadores dijeron que pudiera no ser ético incluir un grupo de control placebo. Esto indica que consideran de antemano que el tratamiento con lentes de color es efectivo. La presente revisión muestra que en los estudios que fueron bien enmascarados hubo tanto mejoría en el grupo control de placebo como en el grupo experimental. Por lo tanto no se considera no ético incluir un grupo de control placebo. De hecho, la ética de organizar puebas posteriores con un alto riesgo de sesgo debido a la falta de un grupo de control placebo debería ser analizada.

Una perspectiva es que, incluso si el beneficio de color en la lectura se debe solo al efecto placebo, el aspecto más importante es que la lectura mejora, y la fuente de ese mejoramiento es de importancia menor.

Mientras entendemos esta lógica, no estamos de acuerdo en que las terapias con lentes de colores puedan tener un costo sustancial para el paciente o sus padres, y puedan retrasar la identificación de las verdaderas razones de la reducción de la habilidad lectora y detener el enfoque adecuado de remediación y manejo.

Los participantes reclutados en clínicas especializadas pueden no ser representativos de la población general.

Referencia

• Ophthalmic & Physiological Optics 36 (2016) 519–544

Foto de BryanHanson

Relatos varios

El periódico La Jornada publica escritos de varios autores, adecuados para que practiquen la lectura niños de quinto y sexto de primaria.

• Con quién quieres hablar, amo?
• Cocina ñañu

Ejercicios Cobach Norte 12 de noviembre de 2016.

Factoriza

1. $$9x^2y^2-27x^3y^4z+3xyz+18x^5y^2z=$$

Explica el Sr. Baldor, en su libro de Álgebra, pag.144, el caso I de descomposición de un polinomio en dos o más factores: cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Del polinomio de arriba tomamos el factor común $3xy$ que es el mayor factor común a cada término del polinomio. Luego dividimos cada término del polinomio entre el factor común y escribimos el resultado entre paréntesis al lado del factor común.

$$3xy(3xy-9x^2y^3z+z+6x^4yz)$$

2. $$\frac{28}{25}m^4n+\frac{14}{15}mn^4p-\frac{7}{30}m^5n^5p^5-\frac{21}{5}m^6p^6$$
El mayor factor común de los numeradores es el 7 y de los denominadores es el 5, de las letras $m$, entonces tenemos $\frac{7}{5}m$ como el factor entre el que vamos a dividir cada término del polinomio.
$$\frac{7}{5}m\left(\frac{4}{5}m^3n+\frac{2}{3}n^4p-\frac{1}{6}m^4n^5p^5-3m^5p^6 \right)$$

3. $$22cosx+44cos^2x-cos^3x+11cos^5x=$$
Como vimos en clase podemos resolverlo de dos formas: tomando el $11 cosx$ como factor o solo $cosx$ . En el primer caso tendremos
$$11cosx(2+4cosx-\frac{1}{11}cos^2x+cos^4x)$$
en el segundo caso tendremos
$$cosx(22+44cosx-cos^2x+11cos^4x)$$

4. $$5xy(x+y)-2y(x+y)-(x+y)-15x(x+y)=$$
En este caso se ve claramente que el factor que es común es $(x+y)$ y se procede
$$(x+y)(5xy-2y-1-15x)$$

5. $$x^4-36$$ Como les dije éste es de los más fáciles que tendrán que resolver en su ... larga vida como estudiantes porque es una diferencia de cuadrados y se factoriza con la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
$$x^4-36=(x^2+6)(x^2-6)$$
6. $$m^2-121=(m+11)(m-11)$$
7. $$\frac{25}{49}x^6-1=(\frac{5}{7}x^3+1)(\frac{5}{7}x^3-1)$$
8. $$x^2-x+90$$ En este caso estuvimos buscando, para factorizar como nos enseñaron, dos números que multiplicados dieran 90 y sumandos dieran -1, pero no los encontramos. Entonces nos acordamos de la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado... aquella que dice:
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
si $b^2< 4ac$ el resultado no será un número real porque se tendrá la raíz cuadrada de un número negativo, que es imaginario. En este ejercicio $\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{1-360}=\sqrt{-359}$ por eso no pudimos resolverlo como queríamos.

9. $$m^2-7m+12$$ Aquí sí podemos usar la fórmula que nos enseñaron: buscar dos números que multiplicados den 12 y sumados den -7. Y esos números son -4 y -3 y resolvemos.
$$m^2-7m+12=(m-4)(m-3)$$

10. $$x^2-9xy+20y^2$$ dos números que multiplicados den 20 y sumados den -9 y que son -4 y -5. Pero en este ejercicio también se tiene una $y^2$ que se incluye al final.
$$x^2-9xy+20y^2=(x-4y)(x-5y)$$

11. $$9x^2-30xy^2+25y^4$$ En la página 163 el Sr. Baldor nos enseña cómo descomponer en factores un trinomio de la forma $ax^2+bx+c$

• primero multiplicamos y dividimos por el coeficiente de $x^2$ y dejamos indicado el producto del segundo término
• ahora como en el caso anterior se ponen las raíces del primer término del trinomio en cada paréntesis; se buscan dos números que multiplicados den el último término del nuevo trinomio y que sumados den el segundo término (que se dejó sin multiplicar).
• finalmente se busca de qué manera dividir cada factor para no tener fracciones.

¿claro como el agua? Vamos a resolver
$$9x^2-30xy^2+25y^4 =\frac{9(9x^2-30xy^2+25y^4)}{9}=\frac{81x^2-30xy(9)+225}{9}$$
$$(9x+[] )(9x+[] )$$ se buscan dos números que multiplicados den 225 y sumados den -30 y son -15 y -15, entonces se descompone sin olvidar que al final queda una $y^4$
$$9x^2-30xy^2+25y^4 =\frac{(9x-15 y^2)(9x-15y^2 ) }{9}= \frac{(9x-15 y^2)(9x-15y^2 ) }{3\times 3} =$$ $$(3x-5 y^2)(3x-5y^2 ) =(3x-5y^2)^2$$

12. $$10x^2-13x-3=\frac{10(10x^2-13x-3)}{10}=\frac{100x^2-13x(10)-30)}{10} =$$ dos números que multiplicados den -30 y sumados den -13, y son -15 y 2
$$\frac{(10x-15)(10x+2) }{10} = \frac{(10x-15)(10x+2) }{5\times 2}=(2x-3)(5x+1)$$

13. $$6y^2-17y+5= \frac{6(6y^2-17y+5)}{6}=\frac{36y^2-17y(6)+30}{6}$$
dos números que multiplicados den 30 y sumados den -17 y son -15 y -2
$$\frac{(6y-15)(6y-2)}{3\times 2}=(2y-5)(3y-1)$$

14. $$4x^2-4xy-3y^2 =\frac{4(4x^2-4xy-3y^2)}{4}=\frac{16x^2-4xy(4)-12y^2}{4}$$
dos números que multiplicados den -12 y sumados den -4 y son -6 y 2.
$$\frac{(4x-6y)(4x+2y)}{2\times 2}=(2x-3y)(2x+y)$$
15. $$2m^2-mn-n^2 =\frac{2(2m^2-mn-n^2 )}{2}=\frac{4m^2-mn(2)-2n^2}{2}=$$
dos números que multiplicados den -2 y sumados den -1 y son -2 y 1.
$$\frac{(2m-2n)(2m+n)}{2}=(m-n)(2m+n)$$

16. $$7x^2-6x-1=\frac{7(7x^2-6x-1)}{7}=\frac{49x^2-6x(7)-7}{7}$$ dos números que multiplicados den -7 y sumados den -6 y son -7 y 1.
$$\frac {(7x-7)(7x+1)}{7} =(x-1)(7x+1)$$

17. $$8x^2-6xy+y^2=\frac{8(8x^2-6xy+y^2)}{8}=\frac{64x^2-6xy(8)+8y^2}{8}$$
dos números que multiplicados den 8 y sumados den -6 y son -4 y -2.
$$\frac {(8x-4y)(8x-2y)}{4\times 2} =(2x-y)(4x-y)$$

18. $$16x^2+40x+25$$
En la página 149 de su libro, el Sr. Baldor nos dice la regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto: i. Cuando el primer y tercer término tienen raíz cuadrada exacta y son positivos, ii. El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos. Así que en este ejercicio se cumple el inciso i porque $\sqrt{16x^2}=4x$ y $\sqrt{25}=5$; y se cumple el inciso ii porque $2(4\times 5)=40$. Luego para factorizar se extraen las raíces cuadradas del primero y tercer término y se separan por el signo del segundo término.
$$16x^2+40x+25 =(4x+5)(4x+5)=(4x+5)^2$$

Referencia

• Álgebra, Baldor

Foto de Matei

Conceptos básicos para optometristas. 4/4

La distribución normal estándar.

La distribución normal estándar tiene una media de cero y una SD de 1 (se denota $N(0,1)$) y es la base de muchas pruebas estadísticas útiles. Por ejemplo, puede ser importante determinar si una observación $x$ es un miembro típico o atípico de una población.

Una medida de un parámetro visual se hace en un individuo y se quiere determinar si este valor es típico de la población completa. Para hacer esta prueba, la observación original $x$ tiene que convertirse para que sea parte de la distribución normal estándar $Z$, es decir $Z=\pm(x-\mu)/\sigma$.

Esta fórmula convierte a $x$, un miembro de la distribución original $N(\mu,\sigma)$, en miembro de $Z$, $(N(0,1))$. Las tablas de la distribución normal estándar pueden entonces ser usadas para determinar dónde está localizada $z$ con respecto a su media, es decir, ¿cae cerca de la media de la distribución (valor típico), o lejos en una de las colas de la distribución (un valor atípico)?

Una cuestión importante es qué tan atípica tiene que ser la observación $z$ antes de que consideremos que es atípica. Mediante la conversión, consideraremos a $x$ un miembro típico de la población a menos que esté localizado en las colas de la distribución que incluye el 5% de los valores más extremos.

El valor de $Z$ que separa los valores típicos (95% de la distribución) de los atípicos (5% de la distribución) es en realidad 1.96. Así, si nuestro valor calculado de $z$ es igual o mayor que 1.96, consideraríamos el parámetro visual medido en el sujeto como atípico. Tales pruebas son útiles en un contexto clínico donde puede ser necesario juzgar si un parámetro visual medido en un paciente cae dentro o fuera del rango normal.

Variación de las medias muestrales.

En muchos estudios, las observaciones individuales pueden no ser de un interés supremo y puede ser que estemos más interesados en la media $\bar{x}$ de una muestra de medidas.

Por ejemplo, quisiéramos determinar la presión intraocular de individuos de 80 años, mediríamos una muestra de unos 10 pacientes de esa edad, y reportamos la media de la muestra con su SD. Sin embargo, si repetimos el estudio con varios grupos de 10 personas de 80 años no necesariamente obtendríamos el mismo valor de la media, es decir, las medias de las muestras también muestran variabilidad.

En este caso queremos saber qué tan bien representa un estimado de la media muestral a la media poblacional. Contestar esta pregunta requiere del conocimiento de cómo varían las medias de una distribución normal.

Para entender este concepto, es necesario recurrir a un importante resultado estadístico llamado el Teorema del Límite Central. Este teorema establece que las medias de una distribución normal $N(\mu,\sigma)$ se distribuyen, ellas mismas, normalmente con media $\mu$ y SD $\sigma/\sqrt{n}$, donde $n$ es el número de observaciones de la muestra.

Además, las medias de distribuciones no normales se distribuirán normalmente si las muestras son lo suficientemente grandes. También es importante que la cantidad $\sigma/\sqrt{n}$, la desviación estándar de la población de las medias muestrales o “error estándar de la media” se distinga de $\sigma$ o $s$ la SD de la población o la muestra de medidas individuales.

Intervalo de confianza para la media de una muestra.

El error estándar de la media puede ser usado para calcular el grado de error involucrado en estimar la media poblacional. Este error con frecuencia es graficado como un “intervalo de confianza” que indica el grado de confianza que tenemos en nuestra media muestral como un estimador de la media poblacional.

Este error es calculado como sigue:
a. Si una observación individual $x$ viene de una distribución normal entonces la probabilidad es 95% (p=0.95) de que $x$ esté localizada en algún lugar de la distribución entre $\mu\pm 1.96\sigma$.
b. Similarmente, si una media muestral $\bar{x}$ viene de una población normal de medias muestrales entonces p=0.95 de que $\bar{x}$ esté entre $\mu\pm 1.96\sigma/ \sqrt{n}$ .

Nótese que en esta ecuación, el error estándar de la media $\sigma/ \sqrt{n}$ es sustituido por $\sigma$ porque estamos interesados en la variación de las medias muestrales y no de las observaciones individuales.
c. Así, podemos escribir p=0.95 de que $\mu$ esté entre $\bar{x}\pm 1.96\sigma/ \sqrt{n}$.

Hay dos problemas con este enfoque. Primero, en la mayoría de los estudios, la media muestral $\bar{x}$ se basa en una pequeña muestra de medidas. Así que no sabemos el valor de $\sigma$ sino solo la SD muestral $s$. Entonces sustituímos $s$ por $\sigma$. Segundo si sustituímos $s$ por $\sigma$, no podemos estar seguros acerca de la forma exacta de la distribución ni si el valor de Z=1.96 es suficientemente preciso para juzgar si una media muestral es atípica de la población.

En lugar de eso usamos un valor diferente, que es más preciso en describir el comportamiento de muestras pequeñas, que se toma de una distribución relacionada llamada la distribución “t”.
d. Luego, un intervalo de confianza (CI) al 95% de una media muestral está dado por $$CI=\bar{x}\pm t (p=0.05,DF=n-1)s/ \sqrt{n}$$

Podemos concluir que estamos 95% seguros de que la media poblacional caerá entre los límites calculados.

Referencia

• Optometry Today

Imagen de Wikipedia

Conceptos básicos para optometristas. 3/4

Distribución Normal.
Muchas de las pruebas estadísticas más útiles están basadas en la suposición de que la variabilidad natural de una medida particular es predecible. Por ejemplo, si una muestra de medidas de una variable $x$, digamos, la longitud axial de una muestra de ojos, es graficada como una distribución de frecuencias, las medidas estarán distribuidas simétricamente alrededor de una tendencia central o valor promedio. Una distribución de frecuencias es construida dividiendo la variable $x$ en clases y graficando el número de medidas f(x) que caen dentro de cada clase. Si el número de medidas se incrementa y los intervalos de clases de la distribución se reducen a cero, los datos estarán muy próximos a una curva con forma de campana llamada distribución normal (también llamada distribución Gaussiana). Muchas medidas en las biociencias siguen esta distribución o no se desvían mucho de ella (Figura).

La distribución normal puede ser descrita por dos cantidades:
a. La “tendencia central” de la distribución descrita por el promedio o media aritmética de la población $$\mu=\frac{\sum x}{n}$$ .

Nótese que la media de una muestra de medidas tomadas de esta población es designada como $\overline{x}$.

b. La desviación estándar (SD) de la población, es decir, la distancia de la media al punto de máxima pendiente de la curva $$SD=\sqrt{\frac{\sum(\mu-x)^2}{n}}$$ Así, la SD describe qué tan cerca se agrupan los datos alrededor de la medida de tendencia central. Nótese que la SD de una población se designa como $\sigma$ mientras la de una muestra se designa con $s$.

Para entender el significado de SD, puede verse de dónde sale. Un método para determinar la variabilidad de una población de valores es calcular su media $\mu$, restar cada observación $x$ de la media y sumar las desviaciones: $\sum(\mu-x)$.
Si los datos son altamente variables, las desviaciones de la media serán grandes y si los datos no son particularmente variables, estarán más agrupados alrededor de su media.

Sin embargo, debido a que aproximadamente la mitad de las observaciones serán mayores que la media y la mitad menores, la mitad de las desviaciones serán positivas y la mitad negativas y por lo tanto, su suma será cero. Así que para resolver este problema cada desviación se eleva al cuadrado antes de sumarla para dar una cantidad que se conoce como la suma de cuadrados es decir, la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones originales respecto a su media: $\sum(\mu-x)^2$.

Pero, la suma de los cuadrados de una cantidad depende del tamaño de la muestra $N$. Así que para describir la variabilidad de los datos y ser capaces de comparar la variabilidad de un conjunto de datos con otro que tiene diferente tamaño de muestra calculamos el promedio de la desviación dividiendo por N: $\sum(\mu-x)^2/N$.
Esta cantidad también es conocida como varianza. Dado que cada desviación de la media fué elevada al cuadrado antes de sumarla, tomamos la raíz cuadrada de la varianza para tener las misma unidades que las medidas originales. Esto nos da la desviación estandar (SD):
$$SD=\sqrt{\frac{ \sum(\mu-x)^2}{N}}$$
La desviación estándar describe el promedio de la desviación de las observaciones individuales $x$ de su media. Para calcular la SD necesitamos conocer $\mu$ la media de la población. Sin embargo, en muchas ocasiones deseamos calcular la SD de una pequeña muestra de medidas tomadas de una población más grande. En este caso, no conocemos el valor exacto de la media poblacional, pero podemos calcular la media de la muestra de medidas $\bar{ x }$.

Así, para calcular la SD de una muestra de medidas podemos usar la fórmula original para la SD pero con tres cambios:
a. La SD de la población $\sigma$ es reemplazada por $s$, la SD de la muestra.
b. $\mu$ es reemplazada por $\bar{ x }$, la media de la muestra.
c. “n” es reemplazada por “n-1”, una cantidad llamada grados de libertad.

Los grados de libertad o DF es un concepto importante en estadística. El cálculo de la SD incluye la resta de observaciones individuales de su media y sumar los resultados. Sin embargo, si hay N observaciones, una vez que N-1 observaciones han sido restadas de la media y sumadas, podemos inmediatamente calcular la última desviación de la media porque el total de desviaciones suman cero. En otras palabras N observaciones solo brindan N-1 estimados independientes de las desviaciones de su media. La cantidad N-1 es conocida como los DF. Como una regla general, los DF de una cantidad estadística es el número de observaciones que componen esa cantidad menos el número de parámetros que tienen que ser calculados de los datos para obtener la cantidad. Así que cuando calculamos la SD de N observaciones, los DF es N-1 porque tenemos que calcular un parámetro, la media de los datos, para calcular la suma de cuadrados.
Entonces, la fórmula para la SD de una muestra es dada como sigue:
$$s=\sqrt{\frac{ \sum(\bar{x}-x)^2}{n-1} }$$
Si varios estimados de una cantidad, como la presión intraocular de los individuos a la edad de 60, son calculados, es práctica común reportar la media y la desviación estándar de la muestra, es decir, $\bar{x}$, $s$.

Ecuación de la Distribución Normal.

La ecuación matemática que describe la curva con forma de campana de la distribución normal está dada como sigue:
$$F(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$$

Esta ecuación hace posible la frecuencia F(x), es decir, permite calcular la altura de la curva para cada valor individual de “x” siempre que $\mu$ y $\sigma$ sean conocidas, es decir, una distribución normal es definida completamente por su media y su desviación estándar. Esta ecuación también permite calcular la proporción de observaciones que están a una distancia dada de la media.

En cualquier distribución normal, 68% de las observaciones caerán a 1 SD arriba y abajo de la media. Así, la probabilidad es 68% o p=0.68 de que una medida de una distribución normal caerá en esos límites. Similarmente, la probabilidad es p=0.95 de que una medida caiga aproximadamente a 2 SD por arriba y debajo de la media.

Cada tipo de variable tiene su propia distribución normal de valores con una media y una SD. Sin embargo, las tablas estadísticas de la distribución normal, llamadas tablas Z, han sido calculadas para la distribución normal llamada “normal estándar”. Si queremos usar estas tablas en pruebas estadísticas, tenemos que convertir nuestras medidas para que formen parte de una distribución normal estándar.

Referencia

• Optometry Today

Imagen de Wolfram

Ejercicios Cobach Norte 5 noviembre 2016.

I. Simplificar la siguientes expresiones:

1. $$(-4a^3b^5)(7ab^5c^{-4})(2b^{-8}c^{-1})(a^{-5}b^4c^{-2})$$
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa del producto, podemos intercambiar y agrupar los factores para que sea más fácil simplificar :
$$(-4)(7)(2)(a^3aa^{-5})(b^5b^5b^{-8}b^4)(c^{-4}c^{-1}c^{-2})=$$
multiplicamos los coeficientes, cuidando los signos y se suman los exponentes
$$-56a^{-1}b^6c^{-7}$$
y finalmente convertimos los exponentes negativos en positivos, tomando su recíproco, es decir $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$.
$$\frac{-56b^6}{ac^7}$$

2. $$\frac{21m^9n^8p^6}{28m^5n^2p^3}$$
Si dividimos entre 7 el numerador y el denominador, la expresión no se altera y además se simplifica
$$\frac{(21/7)m^9n^8p^6}{(28/7)m^5n^2p^3}= \frac{3m^9n^8p^6}{4m^5n^2p^3}$$
y se resuelve
$$\frac{3}{4}m^4n^6p^3$$

3. $$\frac{36d^4e^6f^8}{24d^{-4}e^6f^{-12}}$$
puede ser más fácil si primero convierto los exponentes negativos a positivos
$$\frac{36d^4d^4e^6f^8f^{12}}{24e^6}$$
entonces resolvemos: divido entre 12 el numerador y el denominador, sumo los exponentes y simplifico porque $\frac{e^6}{e^6}=1$
$$\frac{(36/12)d^4d^4e^6f^8f^{12}}{(24/12)e^6}=(3/2)d^8f^{20}$$

4. $$\left( \frac{2}{7}p^3qr^{-5} \right) \left( \frac{21}{8}p^2q^4r^0 \right) \left( -\frac{16}{3}p^{-7}q^{-3}r^5 \right)=$$

aquí podemos intentar simplificar todo lo que se pueda las fracciones. Primero divido entre 8 el 16 del numerador del y el 8 del denominador para que las fracciones queden:
$$\left( \frac{2}{7}p^3qr^{-5} \right) \left( \frac{21}{1}p^2q^4r^0 \right) \left( -\frac{2}{3}p^{-7}q^{-3}r^5 \right)=$$
luego divido entre 7 el 7 del denominador y el 21 del numerador para que queden:
$$\left( \frac{2}{1}p^3qr^{-5} \right) \left( \frac{3}{1}p^2q^4r^0 \right) \left( -\frac{2}{3}p^{-7}q^{-3}r^5 \right)=$$
luego divido entre 3 el 3 del numerador y el 3 del denominador para que quede:
$$\left( \frac{2}{1}p^3qr^{-5} \right) \left( \frac{1}{1}p^2q^4r^0 \right) \left( -\frac{2}{1}p^{-7}q^{-3}r^5 \right)=$$
y finalmente multiplicamos las fracciones para que quede una sola, y resolvemos los exponentes.

$$-4p^{-2}q^2=\frac{-4q^2}{p^2}$$

5. $$\left[ \frac{(5m^{-3})^4(-8x^4)^2}{20m^5x^8} \right] ^0 =$$

todos querían resolver este problema cuando se dieron cuenta que no tenían que hacer ninguna operación porque “cualquier número elevado a la cero potencia es igual a uno”. Entonces
$$\left[ \frac{(5m^{-3})^4(-8x^4)^2}{20m^5x^8} \right] ^0 =1$$

6. $$(3x^{n+4})(-2x^{2n-1})(x^n)$$

aquí, como en los anteriores solo debemos multiplicar los coeficientes y sumar los exponentes
$$-6x^{n+4+2n-1+n}=-6x^{4n+3}$$

7. $(-2^3)(-2^4)(-2^{-5})(2^3)$ esta expresión que parece muy fácil tiene el detalle de que no podemos solo sumar los exponentes de los cuatro factores porque el último factor es 2 y no -2. Entonces resolvemos por separado $(-2^{3+4-5})(2^3)=(-2^2)(8)=32$.

8. $$(-3m^4n^{-1})^{-4} =$$ puede resolverse de dos maneras. Primero multiplicamos los exponentes y luego resolvemos que no queden negativos o viceversa. Yo escojo la segunda manera
$$(-3m^4n^{-1})^{-4} = \frac{1}{(-3m^4n^{-1})^4 }=\frac{1}{-3^4m^{16}n^{-4}}=\frac{n^4}{81m^{16}}$$

9.

$$\sqrt{25p^6q^{16}r^8}$$ aquí debemos tomar en cuenta que sacar raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado, es decir que $\sqrt{x^2}=x$. Entonces se quiere poner cada elemento en términos de potencia cuadrada para sacarlo del radical. Así, $\sqrt{25}= \sqrt{5^2}=5$.
$$\sqrt{5^2(p^3)^2(q^8)^2(r^4)^2}= 5p^3q^8r^4$$ se elimina el exponente cuadrado al sacarlo de la raíz.

10.

$$\sqrt[3]{64a^9b^{15}c^{18}}$$ siquiendo el procedimiento anterior tomamos en cuenta que la raíz cúbica es la inversa de elevar al cubo y se quiere poner cada elemento en términos de potencia cúbica para sacarlo del radical.
$$\sqrt[3]{64a^9b^{15}c^{18}} =\sqrt[3]{4^3(a^3)^3(b^5)^3(c^6)^3}= 4a^3b^5c^6$$

11.

$$\frac{(-3xyz^5)(-4x^5y^2z^{-5})(5xy^{-4}z)}{(10x^{-2}yz^{-1})(-2x^3y^{-7}z^2)}$$
uff!! ¿por dónde empezar? Creo que si multiplicamos el (-4) por 5 del numerador y luego el 10 por (-2) del denominador tendremos (-20/-20)=1 y todo se simplifica un poco
$$\frac{(-3xyz^5)(x^5y^2z^{-5})(xy^{-4}z)}{(x^{-2}yz^{-1})(x^3y^{-7}z^2)}$$
ahora pueden resolverse los exponentes del numerador y por separado los del denominador para simplificar un poco más
$$\frac{(-3x^7y^{-1}z)}{(xy^{-6}z)}$$ luego como ya sabemos, a los exponentes del numerador se restan los del denominador y se cambian a positivos los que no lo sean

$$-3x^6y^5$$

II. Realiza los siguientes productos

12.

$$5x^3y^2z(4x^{-1}yz^2+5xy^{-2}z^3-2z^{-4})=$$
como bien lo dijeron en el salón de clase, este es un producto de un monomio por un trinomio y se soluciona multiplicando el monomio por cada elemento del trinomio.
$$5x^3y^2z(4x^{-1}yz^2+5xy^{-2}z^3-2z^{-4})=20x^2y^3z^3+25x^4z^4-10x^3y^2\frac{1}{z^3}$$

13.

$$(2a-3b)(6c+3d)$$ este es el producto de dos binomios y se resuelve así (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
$$(2a-3b)(6c+3d)=12ac+6ad-18bc-9bd$$

14.

$$(2x^3y-2x^2z)(3yz+4x)$$ éste también es un producto de dos binomios, pero ahora de grado mayor.
$$(2x^3y-2x^2z)(3yz+4x)=6x^3y^2z+8x^4y-6x^2yz^2-8x^3z$$

15.

$$(5x-8)(4x+2) =40x^2+10x-32x-16=40x^2-22x-16$$

16.

$$(5m+3n)(5m+3n)$$ éste es un binomio al cuadrado y se resuelve igual que los anteriores, pero aquí podemos usar la fórmula: el cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. Aprenderse esta fórmula de memoria les facilitará mucho su vida de estudiantes.
$$(5m+3n)(5m+3n) =(5m+3n)^2=25m^2+30mn+9n^2$$

17.

$$(4x-7y)(4x+7y)$$
éste es el producto de la suma por la diferencia de dos términos y es tan famoso como el cuadrado del binomio, porque es muy fácil de resolver. El resultado es la diferencia de los cuadrados de cada término. También deberán aprenderla de memoria
$$(4x-7y)(4x+7y) =16x^2-49y^2$$
ahora podemos ver si es cierto si lo resolvemos como cualquier producto de binomios
$$(4x-7y)(4x+7y) = 16x^2+28xy-28xy-49y^2$$ y como puede verse los dos términos de enmedio se eliminan.

18.

$$(-3m+5n)(3m+5n)$$
este ejercicio es igual que el anterior si acomodamos los términos de otra manera
$$(-3m+5n)(3m+5n) = (5n+3m)(5n-3m)=25n^2-9m^2$$

19.

$$(7x-2)^2$$ con la fórmula
$$(7x-2)^2 =49x^2-28x+4$$

20.

$$(5a+\frac{1}{2}b)^2=25a^2+5ab+\frac{1}{4}b^2$$

21.

$$(x-8)^3$$ cuando elevamos un binomio al cubo puede hacerse de dos formas. Primero lo elevamos al cuadrado y luego lo multiplicamos otra vez por él mismo $(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)$ o también puede usarse la fórmula $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. Este ejercicio lo resolvemos usando la primer forma y el siguiente la segunda.
$$(x-8)^3=(x-8)^2(x-8)=(x^2-16x+64)(x-8)=$$
$$x^3-8x^2-16x^2+128x+64x-512=x^3-24x^2+192x-512$$

22.

$$(2x+2y)^3=8x^3+24x^2y+24xy^2+8y^3$$

23.

$$(2x^3+3x+5)^2$$ cuando elevamos al cuadrado un trinomio puede hacerse de dos formas. Podemos asociar dos sumandos para convertir el trinomio en binomio y resolver con la fórmula que vimos antes, o podemos multiplicar cada uno de los términos del primer trinomio por cada uno de los del segundo:
$(a+b+c)^2=(a+b+c)(a+b+c)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$. Este ejercicio lo resolvemos usando la primer forma y el siguiente la segunda.
$$(2x^3+3x+5)^2= (2x^3+[3x+5])^2=4x^6+2(2x^3)(3x+5)+(3x+5)^2=$$
$$4x^6+2(6x^4+10x^3)+9x^2+30x+25=4x^6+12x^4+20x^3+9x^2+30x+25$$

24.

$$(3x^2y^3-2xy-1)^2=9x^4y^6+4x^2y^2+1-12x^3y^4-6x^2y^3+4xy$$

Foto de Diannehope

Conceptos básicos para optometristas. 2/4

El siguiente es un resumen del artículo de Richard Armstrong publicado en Optometry Today en junio de 2000

Tipos de variables y datos.
Hay muchos tipos de datos numéricos o puntajes que pueden ser recolectados en una investigación científica y la elección del análisis estadístico con frecuencia dependerá de la forma de los datos. Una distinción es dividir todas las variables en paramétricas y no paramétricas. Con variables paramétricas se asume que los datos vienen de una distribución con forma simetrica conocida como la distribución normal, mientras que las variables no paramétricas tienen una “distribución libre”, es decir, no se hacen suposiciones acerca de la forma de la distribución.

Aquí se considerarán tres tipos de datos:
a. Datos de atributos en los cuales las puntuaciones son frecuencias de eventos particulares, por ejemplo, la frecuencia de hombres y mujeres en un hospital con una enfermedad ocular particular, o la proporción de pacientes que murieron en un período de tiempo que fumaban o no fumaban. Hay un grupo específico de pruebas estadísticas que pueden ser usadas para analizar frecuencias y proporciones, y será expuesto posteriormente.

b. Datos de rango en los cuales un atributo particular es calificado en, digamos, una escala de 5 puntos, por ejemplo, el grado de incapacidad para leer experimentado por un paciente, que puede ser determinado por su respuesta a un cuestionario. Puede ser cuestionable, en muchos casos, si los datos de rango están distribuídos normalmente y esto también será expuesto posteriormente.

c. Medidas de variables que cumplen los requerimientos de una distribución normal. La mayoría de los datos biológicos continuos están normalmente distribuídos, por ejemplo, la altura y el peso de personas incluyendo algunas variables en optometría. No todas las medidas, sin embargo, pueden estar normalmente distribuídas y a veces puede se difícil estar seguro de si los datos están distribuídos así, pero la decisión raras veces es crítica, dado que pequeñas desviaciones de la normalidad no afectan la validez de las pruebas estadísticas. Además, muchas pruebas paramétricas pueden ser realizadas si la muestra es lo suficientemente grande. Vale la pena señalar que las pruebas diseñadas para ser usadas en datos distribuídos normalmente son las más sensible o eficientes de las disponibles.

Referencia

• Optometry Today

Foto de Middlewick

Conceptos básicos para optometristas 1/4

El siguiente es un resumen del artículo de Richard Armstrong publicado en Optometry Today en junio de 2000.

Los programas computacionales emplean una gran variedad de métodos de análisis de datos disponibles para los investigadores. La disponibilidad de estos programas, sin embargo, hace necesario que los optometristas entiendan los principios básicos de la estadística. El análisis estadístico de datos suele ser complejo, con muchos diferentes métodos de enfoque, cada uno de los cuales aplica en una circunstancia experimental particular. Así que es posible aplicar el método estadístico equivocado a los datos y sacar las conclusiones equivocadas de un experimento.

El conocimiento de la estadística es esencial por cuatro razones. Primero, es necesario para entender los datos estadísticos reportados en cantidades cada vez mayores en los reportes y artículos de investigación. Segundo, a fin de apreciar la información brindada por el análisis estadístico de los datos, es necesario entender la lógica con la cual se forman las bases de los procedimientos más comunes. Tercero, es necesario ser capaz de aplicar correctamente un rango de pruebas estadísticas comunes. Cuarto, bajo ciertas circunstancias, se necesitará el consejo de algún estadístico profesional con alguna experiencia en optometría. Así que será necesario ser capaz de comunicarse con el estadístico, pedir recomendaciones y entenderlas.

La estadística en la investigación.

El estudio científico de cualquier tema incluye tres aspectos básicos:

1. Recolectar las pruebas
2. Procesar las pruebas
3. Sacar conclusiones de las pruebas

El análisis estadístico es el paso más importante en procesar las pruebas para que pueda obtenerse una conclusión válida de los datos. Con frecuencia pueden hacerse dos tipos de preguntas en los estudios científicos. El primer tipo es la prueba de hipótesis, por ejemplo ¿poner un filtro de color frente a los ojos de una persona mayor afecta su habilidad para leer bien? La respuesta a esta pregunta puede ser “sí” o “no” y con frecuencia se diseña un experimento para obtener la respuesta.

Por convención, las hipótesis son establecidas generalmente como negativa o “hipótesis nula”, es decir, preferimos creer que no hay efecto del filtro de color en la habilidad para leer hasta que el experimento pruebe lo contrario. El segundo tipo de pregunta incluye la estimación de una cantidad. Puede establecerse que el filtro de color afecta la habilidad para leer en las personas mayores y puede diseñarse un experimento para cuantificar este efecto en un grupo de edad particular. El análisis estadístico de los datos permite probar la hipótesis nula y el error involucrado al estimar las cantidades a ser determinadas.

El requerimiento esencial para el análisis estadístico de los datos en las ciencias biológicas puede ser apreciado al estudiar un simple experimento hipotético. El objetivo es probar la hipótesis de que la vitamina A consumida en la dieta durante un período de tiempo mejora la agudeza visual de un sujeto.

Se seleccionan dos sujetos, a uno de los cuales se le da vitamina A (el individuo tratado o T) y al otro se le da un placebo (el individuo control o C). Se mide la agudeza visual al final del experimento y se comparan los dos sujetos. La diferencia entre los dos resultados (T-C) representa el posible efecto de la vitamina A. Sin embargo, hay algunos problemas en la interpretación de la cantidad T-C como un estimado del efecto del tratamiento (TE) en el experimento:

a. Hay una variación inherente en la agudeza visual entre individuos, estén tomando o no vitamina A. Así, la diferencia en la agudeza visual entre los dos pacientes puede reflejar esta variación natural más que el efecto del tratamiento. Llamaremos a este efecto un “efecto aleatorio” (RE) atribuíble a la variación natural en la agudeza visual en la población humana.

b. Se asume que las condiciones ambientales de los experimentos son exactamente reproducidas para todos los individuos participantes. Sin embargo, puede haber diferencias ambientales que influyan en la cantidad medida y afecten a los dos sujetos de manera diferente, por ejemplo, los dos pacientes pueden haber sido medidos a diferente hora y la agudeza visual podría depender de la hora del día. Más aún podrían haber sido medidos en clínicas separadas, por diferentes observadores o usando equipo diferente. A este efecto le llamaremos “efecto ambiental” (EV).

c. Puede haber errores al medir la agudeza visual (EM), es decir, medidas sucesivas en el mismo paciente pueden variar en algún grado. Un error de medida puede ser más grande para un paciente que, por ejemplo, fué menos complaciente que otro.

Se tiene que: T-C=TE+RE+EV+EM.

Así, en un experimento, necesitaríamos tomar en cuenta la variación natural en la agudeza visual (RE), la naturaleza de los errores de la medida (EM) e intentar controlar o eliminar la variación ambiental (EV) para tener confianza en que estamos estimando el efecto del tratamiento (TE) de manera precisa.

Para llevar a cabo esta investigación adecuadamente se requiere de un buen diseño experimental.

Referencia

• Optometry Today

Foto de Maggieau124

Cuentos Clásicos

Los cuentos clásicos para niños de segundo y tercero de primaria.

• Caperucita Roja
• el gato con botas
• Pinocho
• Los viajes de Gulliver

Foto de Kakisky

Ejercicios Cobach Norte 8 de octubre de 2016.

Ahora tocó un tema de derivadas.

La derivada de una función mide la rapidez con la que cambia la función $f(x)$ en la medida que cambia la variable independiente $x$.

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

El ejercicio pide encontrar la ecuación de la línea tangente a la curva en un punto:

1. $f(x)=x^2+1$ y el punto es $x=3$.
   Primero me gustaría saber cómo es la función, y dónde queda la tangente que me piden:
   
   
   

   En esta gráfica sacada del fooplot aparece la función cuadrática que tiene forma de parábola, y el punto rojo donde se conectan la parábola y la recta tangente.

   Vamos a llamar $m$ a la pendiente de la recta tangente, y además sabemos que el punto rojo, cuya primer coordenada es 3, pertenece a la parábola y también a la recta.

   Como se definió antes la derivada es la pendiente de la tangente a la curva en el punto pedido, entonces vamos a calcular la derivada mediante el límite.

   $$m=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$$ entonces ponemos la función $f$ como se definió antes
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{((x+h)^2+1-(x^2+1)}{h}=$$ y desarrollamos
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2+2xh+h^2+1-x^2-1}{h}=$$ simplificamos eliminando la $x^2$ y el 1
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh+h^2}{h}=$$ y seguimos simplificando eliminando algunas $h$s
   $$\lim_{h\rightarrow 0}2x+h= 2x$$
   cuando se evalúa en $x=3$ el resultado es 6. Entonces la pendiente de la tangente en $x=3$ es 6. Y en $x=3$ se tiene $f(3)=3^2+1=10$. Si a este punto le llamamos $p_0=(3,10)$ ahora tenemos un punto y la pendiente con lo que podemos calcular la ecuación de la recta tangente que nos pidieron. Para ello usaremos la fórmula
   $$(y-y_0)=m(x-x_0)$$ y sabemos que $y_0=10$ y $x_0=3$ porque son las coordenadas del punto $p_0$. Entonces
   $$(y-10)=6(x-3)$$ y se quiere despejar la $y$
   $$y=6x-18+10= 6x-8$$ y tenemos que la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x)$ es $y=6x-8$.

2. 
   

   $g(x)=3x^2-6x$ en el punto $x=\frac{1}{2}$. Empezamos por calcular la derivada, es decir, la pendiente de la recta tangente a la curva
   $$m=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x+h)^2-6(x+h)-(3x^2-6x)}{h}=$$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x^2+2xh+h^2)-6x-6h-3x^2+6x)}{h}=$$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^2+6xh+3h^2-6x-6h-3x^2+6x}{h}=$$ pueden eliminarse las $3x^2$, $6x$ y algunas $h$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}6x+3h-6=6x-6$$ que al evaluar en $x=\frac{1}{2}$ resulta $m=6(\frac{1}{2})-6=3-6=-3$.

   Ya tenemos la pendiente y ahora calculamos el punto que es común a la curva y a la recta, según vemos en la gráfica
   

   
   $$3\left(\frac{1}{2}\right)^2-6\left(\frac{1}{2}\right)= \frac{3}{4}-\frac{6}{2}=-\frac{9}{4}$$ luego el punto $p_0=(\frac{1}{2},-\frac{9}{4})$ y la pendiente $m=-3$ son los datos que se usarán para calcular la ecuación de la recta tangente $$y+\frac{9}{4}=-3(x-\frac{1}{2})$$ entonces $y= -3x-\frac{3}{4}$

3. 
   $f(x)=\sqrt{x-1}$ y el punto es $x=5$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+h-1}-\sqrt{x-1}}{h}$$ aquí vamos a hacer un movimiento mágico con el álgebra para desaparecer los radicales, para lo que usaremos la propiedad del producto de binomios conjugados según la cual $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
   
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+h-1}-\sqrt{x-1}}{h} \left[\frac{\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1}}\right] =$$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x+h-1-x+1}{h\left(\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1}\right)}$$
   el número que está entre corchetes es 1 porque es un número entre él mismo. Eso quiere decir que no alteramos la función límite porque la estamos multiplicando por 1. Luego, al multiplicar la diferencia de raíces por la suma de las mismas raíces se cumple que es un producto de binomios conjugados por lo que el resultado es una diferencia de cuadrados. Al elevar al cuadrado cada raíz, se elimina. Y ya se pueden eliminar algunos términos como x, 1 y h
   $$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1}}$$
   $$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$$
   entonces se tiene que $m=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$ y al evaluar en $x=5$ resulta $m=\frac{1}{2\sqrt{5-1}}=\frac{1}{4}$ y se buscará el punto $p_0=(x_0,y_0)$ que es común a la curva y a la recta tangente cuya gráfica aparece enseguida y que se toma del Wolfram
   
   
   
   
   $$f(5)=\sqrt{5-1}=2$$ entonces $p_0=(5,2)$
   luego usando la fórmula para calcular la ecuación de la recta
   $$y-2 =\frac{1}{4}(x-5)=\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}+2$$
   y la ecuación de la recta tangente es $y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}$
   
   
4. 
   $f(x)=x^2-4x+3$ en el punto $x=3$.
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2-4(x+h)+3-(x^2-4x+3)}{h}$$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2+2xh+h^2-4x-4h+3-x^2+4x-3}{h}$$ eliminamos algunos elementos como se hizo antes
   $$\lim_{h\rightarrow 0}2x+h-4=2x-4$$ evaluando en $x=3$ se tiene $m=2(3)-2x=2$ ahora vamos a buscar el valor de $f(3)=(3)^2-4(3)+3=0$ y el punto común es $p_0=(3,0)$
   $$(y-0)=2(x-3)$$ entonces $y=2x-6$
   
   
   
   

Foto de Koan

Ejercicios Cobach Norte 1 de octubre de 2016.

El primer ejercicio era sobre polinomios y preferí empezar con algo de teoría:

Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan variables de un solo término. Si hubiera una suma o una resta sería un binomio. Y asi la suma de 3 monomios es un trinomio y de 4 monomios es un cuatrinomio.

Un polinomio (del griego polys “muchos” y nomos “regla”) es una expresión matemática compuesta de variables y constantes, utilizando únicamente las operaciones de suma, resta, multiplicación y exponentes enteros positivos. Es una sucesión de sumas y restas de monomios de potencias enteras de una o varias variables.

El grado de un monomio es el exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

Referencia

• Khan Academy

I. Simplifica las siguientes expresiones:

1. $$2x+3y-5z-z+y-x+4x-5y-y+9z=$$
Como hicimos la semana pasada, podemos usar la propiedad conmutativa y la asociativa de la suma. Primero acomodamos los términos y después los agrupamos entre paréntesis para poder sumarlos más fácilmente. $$(2x-x+4x)+(3y+y-5y-y)+(-5z-z+9z)=$$ luego hacemos las operaciones dentro de los paréntesis $$(5x)+(-2y)+(3z) =$$ finalmente se pueden quitar los paréntesis siempre que se tenga cuidado con los signos y en este caso para quitar el paréntesis de enmedio primero multiplicamos (mas por menos = menos) $$5x-2y+3z$$
2. $$\frac{1}{2}-\frac{3}{4}xy+\frac{5}{2}-xy^2+x^2y-\frac{7}{2}+\frac{1}{3}x^2y-\frac{1}{6}xy^2 =$$
Otra vez se pueden acomodar y luego agrupar los términos $$\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-\frac{7}{2}\right)+\left(-\frac{3}{4}xy\right)+\left(-xy^2-\frac{1}{6}xy^2\right)+\left(x^2y+\frac{1}{3}x^2y\right)$$ en los dos primeros paréntesis no tenemos duda porque el primero es una suma de quebrados y el segundo es un término único que vamos a dejar igual. Pero en los dos últimos paréntesis que parecen complicados se puede hacer uso de la propiedad distributiva que dice: $x(a+b)=xa+xb$ y aplicado a los últimos dos paréntesis nos permite sacar las variables como factores comunes $$\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-\frac{7}{2}\right)+\left(-\frac{3}{4}xy\right)+\left(\left[-1-\frac{1}{6}\right]xy^2\right)+\left(\left[1+\frac{1}{3}\right]x^2y\right)$$ ahora se resuelven las operaciones dentro de cada paréntesis y corchete. $$\left(\frac{-1}{2}\right)+\left(-\frac{3}{4}xy\right)+\left(\left[\frac{-7}{6}\right]xy^2\right)+\left(\left[\frac{4}{3}\right]x^2y\right)$$ y se quitan los paréntesis y corchetes sin olvidar que sumar un número negativo es lo mismo que restar ese mismo número pero positivo: c+(-d)=c-d $$\frac{-1}{2}-\frac{3}{4}xy-\frac{7}{6}xy^2+\frac{4}{3}x^2y$$
3. $$5\sqrt{2}-2\sqrt{5}-7\sqrt{5}+9\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{2} =$$
se acomodan y agrupan los términos $$(5\sqrt{2}+9\sqrt{2}-\sqrt{2})+(-2\sqrt{5}-7\sqrt{5}+\sqrt{5}) =$$ aquí también puede aplicarse la propiedad distributiva sacando el factor común en los dos paréntesis: $$(\left[ 5+9-1\right]\sqrt{2})+(\left[-2-7+1\right]\sqrt{5}) =$$ se resuelven las operaciones dentro de los corchetes y se eliminan los corchetes $$(13\sqrt{2}) +(-8\sqrt{5})$$ y se quitan los paréntesis $$13\sqrt{2}-8\sqrt{5}$$
4. $$2(x-1)^3-3 (x-1)^3+\frac{2}{3}(x-1)^3+\frac{5}{2}(x-1)^3-(x-1)^3=$$
aquí no necesitamos acomodar ni agrupar porque todos los términos son de la misma clase, es decir, que tienen el factor común $(x-1)^3$. Esto quiere decir que podemos hacer el siguiente arreglo: $$\left[ 2-3+\frac{2}{3}+\frac{5}{2}-1 \right](x-1)^3 =$$ se resuelve lo que está dentro de los corchetes para lo que primero sumamos los enteros (2-3-1=-2), luego resolvemos el quebrado ($\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{4+15}{6}=\frac{19}{6}$ ) y finalmente convertimos los enteros a fracciones ($-2=\frac{-12}{6}$ ) para poder sumarlos con la fracción que queda: $$\left[ -2+\frac{2}{3}+\frac{5}{2} \right](x-1)^3 =$$ $$\left[ -2+\frac{19}{6}\right](x-1)^3 =$$ $$\left[ \frac{-12}{6}+\frac{19}{6}\right](x-1)^3 =\left[ \frac{7}{6}\right](x-1)^3=$$ y ya podemos eliminar los corchetes $$\frac{7}{6}(x-1)^3$$
5. $$cos (x)- sen (y) +cos (y)- sen (x)+\frac{1}{5} cos(x) -\frac{5}{4}sen(x) +\frac{7}{3}sen (y) -\frac{5}{6}cos (y)=$$ lo mismo que en los anteriores, acomodamos los elementos de manera que puedan sumarse los que son de la misma clase, se saca el denominador común, se resuelven las operaciones dentro de los paréntesis y finalmente pueden eliminarse los paréntesis, siempre cuidando no cometer errores con los signos $$\left(cos(x)+\frac{1}{5} cos(x)\right)+\left(- sen(y)+\frac{7}{3}sen(y)\right)+\left(cos(y)-\frac{5}{6}cos(y)\right)+\left(- sen(x)-\frac{5}{4}sen(x) \right)=$$ $$\left(\left[1+\frac{1}{5}\right] cos(x)\right)+\left(\left[-1 +\frac{7}{3}\right]sen(y)\right)+\left(\left[1 -\frac{5}{6}\right]cos(y)\right)+\left(\left[-1 -\frac{5}{4}\right]sen(x)\right)=$$ $$\left(\frac{6}{5} cos (x)\right)+\left(\frac{4}{3}sen(y) \right)+\left(\frac{1}{6}cos (y)\right)+\left(-\frac{9}{4}sen (x)\right)=$$ $$\frac{6}{5} cos (x)+\frac{4}{3}sen (y) +\frac{1}{6}cos (y)-\frac{9}{4}sen (x)$$

II. Escribe en lenguaje algebraico

1. La suma de los cubos de dos números.
Aquí nos piden una suma $()+()$ de los cubos de dos números.... aquí tenemos el cubo de un número: $a^3$ ... luego tenemos el cubo de otro número $b^3$ ... y los ponemos en la suma.... $$a^3+b^3$$ En el salón nos confundimos y algunos contestamos así: $(a+b)^3$ .... que es el cubo de la suma de dos números. ¿Se ve la diferencia?
2. El cuadrado de la diferencia de dos números
El cuadrado .... $()^2$ ¿de qué? .... de la diferencia de dos números .... $(a-b)$ .... que luego acomodamos ... $$(a-b)^2$$ También aquí nos confundimos un poco y algunos escribimos.... $a^2-b^2$ ... que es la diferencia del cuadrado de dos números.... ¿Se ve la diferencia?
3. El cociente de un número aumentado en cinco y el mismo número disminuído en dos.
Primero tenemos un cociente ... $\frac{()}{()}$ ... luego tenemos un número aumentado en cinco (y+5) y el otro término del cociente es el mismo número disminuído en dos (y-2) , que se acomodan en el cociente. $$\frac{y+5}{y-2}$$
4. El producto de tres números enteros consecutivos
Primero el producto de tres números ... $()()()$... luego que sean consecutivos....x, x+1, x+2 .... que acomodamos en el producto... $$(x)(x+1)(x+2)$$

También aquí tuvimos una respuesta equivocada $(x)+(x+1)+(x+2)$ que es la suma de tres números consecutivos. ¿cuál es la diferencia? Los términos están separados por signos de +.

5. La raíz cuadrada de la diferencia de los cuadrados de dos números.

Primero una raíz cuadrada ... $\sqrt{()}$ .... luego una diferencia ... ()-().... y luego los cuadrados de dos números .... $c^2,d^2$ .... y ahora que tenemos las cosas claras los acomodamos....

$$\sqrt{c^2-d^2 }$$ Esta es una diferencia de cuadrados: $c^2-d^2$ y este es el cuadrado de una diferencia: $(c-d)^2$. ¿Se nota que no es lo mismo?

III. Escribe en lenguaje común.

1. $$(x)+(x+1)+(x+2)$$ Esto en primer lugar es una suma, y en segundo lugar los números son consecutivos, por lo tanto es la suma de tres números consecutivos.
2. $$a^2+b^2+c^2$$ Esto en primer lugar es una suma y en segundo lugar los números (o las variables) están elevados al cuadrado, por lo tanto es la suma de los cuadrados de 3 números.
3. $$2x-3y$$ Aquí tenemos una diferencia, y los números son el doble de uno y el triple de otro. Entonces es una diferencia del doble de un número y el triple de otro número.
4. $$(x)(x-5)$$ Primero es un producto, y el primer factor es un número x y el segundo factor es el mismo número x pero disminuído en 5. Entonces es el producto de un número por ese mismo número disminuído en cinco.
5. $$4x+7$$ Aquí se puede decir que se tiene el cuádruple de un número y aumentado en siete. O cuatro veces el número x y a esto le sumamos 7 unidades más. Pero cuidado con decir que tenemos el cuádruple de x mas siete porque puede interpretarse como 4(x+7) que no es lo mismo.

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Estadística para optometristas: Cómo detectar errores en la literatura médica.

Este es un resumen del artículo Biostatistics: How to Detect, Correct and Prevent Errors in the Medical Literature escrito por Stanton A. Glantz, PH.D.

Aproximadamente la mitad de los artículos publicados en las revistas médicas que usan métodos estadísticos los usan incorrectamente. Estos errores son tan comunes que el presente sistema de revisión por pares no ha sido capaz de controlarlos. Este artículo intenta ayudar a identificar análisis estadísticos cuestionables.

Los errores en el diseño experimental y el uso incorrecto de las técnicas estadísticas elementales, es especialmente importante en estudios clínicos. Estos errores pueden llevar a los investigadores a reportar un tratamiento o una prueba diagnóstica como de valor estadísticamente demostrado cuando, de hecho, los datos no apoyan esa conclusión.

Los médicos que creen que un tratamiento ha probado ser efectivo, en base a la publicación en una revista acreditada, pueden usarlo para sus pacientes.

Los estudios científicos deben ser diseñados e interpretados correctamente para evitar los costos asociados con los errores: se gasta dinero, se sacrifican animales, y los humanos son puestos en riesgo para recabar datos que no son correctamente interpretados.

La mejor solución a este problema es mejorar la calidad del análisis estadístico en la investigación biomédica. Por mientras, hay algunas reglas de oro que el lector puede usar para detectar errores potenciales y estimar lo que el autor hubiera concluído si las técnicas estadísticas hubieran sido aplicadas a los datos correctamente. Estas son: 1) la diferencia entre la desviación estandar y el error estandar de la media; 2) el significado de p; y 3) errores comunes en el uso de la prueba t y cómo compensarlos.

La diferencia entre la desviación estandar y el error estandar de la media.

Los datos experimentales con frecuencia están resumidos como $media$, $\pm SD$, $SE$ o $SEM$. $SD$ se refiere a desviación estandar y $SE$ y $SEM$ a error estandar de la media. Estas dos cantidades no son equivalentes; cuantifican diferentes cosas.

Cuando la variable observada se comporta de manera tal que cualquier observación tiene la misma probabilidad de estar por arriba o por debajo de la media, y más probable de estar cerca de la media que lejos de ella, tiene sentido cuantificar la dispersión de los valores usando la desviación estandar. Bajo estas condiciones, la desviación estandar tiene la propiedad útil de que aproximadamente el 68% de las observaciones estarán dentro de una desviación estandar de la media y aproximadamente el 95% de las observaciones estarán dentro de 2 desviaciones estandar de la media. Esta propiedad hace que la desviación estandar sea una buena manera de resumir la variabilidad en los datos con un solo número.

Por ejemplo, un artículo reportando que la presión sanguínea diastólica (PSD) en adultos saludables es $78 \pm 6 mmHg (mean ± SD)$, implica que aproximadamente el 95% de todos los adultos saludables tienen una presión sanguínea diastólica en un intervalo de $2 \times 6 mmHg=12 mmHg$ alrededor de 78 mmHg, es decir, 66-90 mmHg.

La “regla de las 2 SD” es una buena regla de oro. Cuando es igualmente probable para las observaciones, estar por arriba o por debajo de la media y más probable estar cerca que lejos de la media, alrededor del 95% de ellas estará dentro de 2 desviaciones estandar a cada lado de la media.

Si un autor reporta el error estandar de la media y el tamaño de muestra, un lector puede calcular la SD usando la fórmula $$SD = SEM \times \sqrt{tamaño - muestra}$$

La confusión entre el error estándar de la media con la desviación estándar puede ser engañosa. Por ejemplo, si un artículo reporta que la PSD en 9 adultos saludables fué 78 ± 2 mmHg (mean ± SEM). ¿Cuál es el rango de presión diastólica que debería incluir aproximadamente el 95% de las observaciones? El error estandar de la media es 2 y el tamaño de muestra es 9, así que la $SD=2\times 3mmHg=6 mmHg$. La respuesta es 66-90 mmHg, como antes. Pero aplicar la “regla de las 2SD” con el error estandar de la media estimaría este rango en 74-82 mmHg, que es 16mmHg más angosto.

En un experimento un investigador raramente estudia todos los posibles miembros de una población, sino solo una pequeña muestra representativa. El valor medio calculado a partir de esa muestra es un estimado del valor medio real que sería calculado si fuera posible observar a todos los miembros de la población.

Debido a que la muestra usada para calcular la media consiste en individuos extraídos al azar de la población estudiada, no hay nada especial acerca de esta muestra o su media. En particular, habiendo podido tomar una muestra diferente se pudo obtener otra media. En cada caso se tiene una media y cada una de estas medias muestrales es un estimado de la verdadera media poblacional.

En teoría, uno podría calcular las medias de todas las posibles muestras conteniendo el número de observaciones que el investigador decida examinar. En general, cada una de estas medias muestrales será diferente de las otras, pero todas se agruparán alrededor del valor medio verdadero que sería calculado si fuera posible observar a todos los miembros de la población. La desviación estandar de todas las posibles medias muestrales es el error estandar de la media.

Así que el error estandar de la media no cuantifica la variabilidad de las observaciones, como lo hace la SD, sino la precisión con la cual una media muestral estima la media poblacional. Debido a que el error estandar de la media es la desviación estandar del conjunto de todas las posibles medias muestrales, podemos aplicar la “regla de las 2SD” para poder afirmar: hay aproximadamente un 95% de probabilidad de que la verdadera media de la problación de la cual se extrajo la muestra esté dentro de dos errores estandar del promedio de las medias muestrales. Esto es, el error estandar de la media cuantifica la certeza con la cual uno puede estimar la verdadera media poblacional a partir de una muestra.

Regresando al ejemplo de la PSD, la muestra de nueve adultos saludables le permite al lector tener un 95% de confianza de que la media de la PSD de todos los adultos saludables está en 74-82 mmHg. Mientras que este hecho es con frecuencia de interés, nada dice acerca de la variabilidad de los datos. La SD contiene esta información. Así, la desviación estandar y no el error estandar de la media, debería ser usado para resumir los datos.

El significado de p.

Además de resumir los datos, las técnicas estadísticas permiten a los investigadores probar si sus observaciones son consistentes con sus hipótesis. El resultado de tales procedimientos es llamado nivel de significancia o p-valor.

Para entender lo que significa p se requiere entender la lógica de la prueba de hipótesis estadística.

Por ejemplo, supongamos que un investigador quiere probar si un medicamento altera la agudeza visual. El experimento obvio es seleccionar dos grupos de personas similares, administrar un placebo a un grupo y el medicamento al otro, medir la agudeza visual en ambos grupos, entonces calcular la media y la desviación estandar de las agudezas visuales medidas en cada grupo. La respuesta media de los dos grupos probablemente será diferente, independientemente si el fármaco tiene un efecto, por la misma razón que diferentes muestras aleatorias tomadas de la misma población producen diferentes estimados de la media. Por lo tanto, la cuestión se vuelve: ¿la diferencia en la agueza visual media en los dos grupos se debe a una variación aleatoria o se debe al fármaco?

Para contestar, los estadísticos primero cuantifican la diferencia observada entre las dos muestras con un simple número llamado estadístico de prueba, tal como t. Mientras más grande la diferencia entre las muestras, más grande el valor del estadístico de prueba. Si la droga no tiene efecto, el estadístico de prueba será un número pequeño. Pero ¿qué es “pequeño”?

Para encontrar la frontera entre valor “pequeño” y “grande” del mejor estadístico, los estadísticos asumen que el fármaco no afecta la agudeza visual. Si esta suposición es correcta, los dos grupos de personas son simples muestras aleatorias de una sola población, donde todos reciben un placebo (porque el fármaco es en efecto un placebo). En teoría, el estadístico repite el experimento, usando todas las posibles muestras de personas, y calcula el estadístico de prueba para cada experimento hipotético. Así como la variación aleatoria produce diferentes valores de las medias de diferentes muestras, este procedimiento dará lugar a una gama de valores del estadístico de prueba. La mayoría de esos valores será relativamente pequeño, pero la pura mala suerte requiere que existan algunas muestras que no son representativas de la población. Estas muestras producirán valores relativamente grandes del estadístico de prueba, aún si el fármaco no tiene efecto. Este ejercicio produce solo algunos valores del estadístico de prueba, por decir 5% de ellos, arriba del punto de corte.

El estadístico de prueba es “grande” si es más grande que este punto de corte. Hay tablas que contienen los valores de estos puntos de corte en la mayoría de los libros de estadística. Habiendo determinado este punto de corte, realizamos un experimento en un fármaco con propiedades desconocidas y calculamos el estadístico de prueba. Es “grande”. Por lo tanto concluímos que hay menos del 5% de probabilidad de observar los datos que lleven a calcular el valor del estadístico de prueba si la suposición de que el fármaco no tiene efecto fuera verdadera.

Tradicionalmente, cuando las probabilidades de observar el estadístico de prueba calculado si la intervención no tiene efecto son de menos de 5%, uno rechaza la hipótesis de trabajo de que el fármaco no tiene efecto y afirma que el fármaco tiene un efecto. Existe, por supuesto, alrededor del 5% de probabilidad de que esta afirmación esté equivocada. Este 5% es el “p-valor” o “nivel de significancia”.

Precisamente el p-valor es la probabilidad de obtener un valor del estadístico de prueba tan grande o más grande que el calculado de los datos cuando en realidad no hay diferencias entre los diferentes tratamientos. En otras palabras, el p-valor es la probabilidad de estar equivocado cuando se asegura que existe una diferencia verdadera. Si uno asegura que hay diferencia cuando p< 0.05, uno acepta el hecho de que, a largo plazo, afirmar que hay una diferencia, será un error una de cada 20 veces.

Comúnmente se cree que el p-valor es la probabilidad de cometer un error. Obviamente hay dos maneras en que un investigador puede llegar a conclusiones equivocadas en base a los datos: puede reportar que el tratamiento tiene un efecto cuando en realidad no lo tiene, o puede reportar que el tratamiento no tiene un efecto cuando en realidad sí lo tiene. El p-valor solo cuantifica la probabilidad de cometer el error del primer tipo (error tipo I) concluyendo erróneamente que el tratamiento tiene un efecto cuando en realidad no lo tiene. Esto no da información acerca de la probabilidad de cometer el segundo tipo de error (error tipo II) concluyendo que el tratamiento no tiene efecto cuando en realidad sí tiene.

Errores comunes en el uso de la prueba t y cómo compensarlos.

La prueba t es usada para calcular la probabilidad de estar equivocado (el p-valor) cuando se asegura que la media de los valores de dos tratamientos es diferente. Puede probarse la hipótesis de que un fármaco no tiene efectos en la presión intraocular. La prueba t también es amplia pero erróneamente usada para probar diferencias entre más de dos grupos comparando todos los posibles pares de medias con pruebas t.

Por ejemplo, supongamos que un investigador mide la presión intraocular bajo una condición de control, en presencia del fármaco A y en presencia del fármaco B. Es común realizar 3 pruebas t en estos datos: una para comparar controles vs fármaco A, una para comparar controles vs fármaco B, y otra para comparar fármaco A vs fármaco B.

Esta práctica es incorrecta porque la verdadera probabilidad de concluir erróneamente que el fármaco afecta la presión intraocular más allá del nivel normal, digamos 5%, se utiliza cuando se busca el valor de corte "grande" del estadístico t en una tabla.

Para entender esto, reconsideremos el experimento descrito en el último párrafo. Si el valor del estadístico t calculado en una de las tres comparaciones descritas está en el 5% de los valores más extremos que ocurrirían si el fármaco realmente no tuviera efecto, rechazaremos la suposición y aseguraremos que el fármaco cambió la presión intraocular. Estaremos satisfechos si p<0.05, y estamos dispuestos a aceptar el hecho de que una declaración en 20 estará equivocada.

Por lo tanto cuando probamos control vs fármaco A, podemos afirmar erróneamente que existe una diferencia el 5% de las veces. Similarmente, cuando probamos control vs fármaco B, podemos erróneamente afirmar que tenemos una diferencia 5% de las veces, y cuando probamos fármaco A vs fármaco B, podemos erróneamente afirmar que hay una diferencia el 5% de las veces. Por lo tanto, cuando se consideran las tres pruebas como un grupo, esperamos concluir que al menos un par de los grupos difiere alrededor de 5%+5%+5%=15% de las veces, incluso si los fármacos no afectan la presión intraocular.

En general, simplemente sumando los p valores obtenidos en múltiples pruebas se produce un estimado realista y conservador del verdadero p-valor para el conjunto de comparaciones.

Terminamos la discusión de la prueba t con tres reglas de oro:

1. La prueba t debería ser usada para probar la hipótesis de que las medias de dos grupos no son diferentes.
2. Cuando el diseño experimental incluye múltiples grupos, deberían ser usadas otras pruebas, como el análisis de varianza o la generalización multigrupo de la prueba t.
3. Cuando la prueba t es usada para probar diferencias entre múltiples grupos, el lector puede estimar el verdadero p-valor multiplicando el p-valor reportado por el número de posibles pruebas t.

En el ejemplo anterior hubo tres pruebas t, así que un p-valor efectivo era alrededor de 3X0.05=0.15, o 15%. Cuando comparamos cuatro grupos hay seis posibles pruebas t (1vs2, 1vs3, 1vs4, 2vs3, 2vs4, 3vs4); así, si el autor concluye que hay una diferencia y reporta p < 0.05, el p-valor efectivo es alrededor de 6X0.05=0.30; hay alrededor de 30% de probabilidad de hacer al menos una afirmación incorrecta si se concluye que el tratamiento tiene un efecto.

Estas reglas de oro pueden ayudar a los lectores a detectar y corregir el uso equivocado de la estadística. Obviamente sería mejor mantener esos errores fuera de las publicaciones o, aún mejor, corregirlos durante la investigación.

¿Cómo pueden prevenirse estos errores?

Primero, los editores de las revistas deberían insistir en que se usen correctamente los métodos estadísticos. Segundo, los comités de investigación no deberían aprobar experimentos si el estudio propuesto está diseñado pobremente o los datos resultantes no serán analizados correctamente. Estas dos acciones obligarán a los investigadores médicos a aprender la suficiente estadística elemental para diseñar sus experimentos y analizar sus datos correctamente, y reconocer casos que requieran ayuda de un estadístico profesional.

Esto no es un llamado a que los clínicos se vuelvan estadísticos. Prácticamente todos los errores en cuestión tienen que ver con el mal uso del material discutido en la mayoría de los libros de texto introductorios de estadística. El rechazo de un artículo debería motivar a los investigadores a aprender estadística elemental.

Referencia

• Circulation

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