Ejercicios del Cobach Norte 3 de diciembre 2016.

I.Clasificar y graficar los siguientes sistemas.
1.
$$ x+y=1 $$ $$ 2x-y=4 $$

• Primero se ve que es evidente que la segunda no se puede obtener de la primera, es decir, no es un sistema incompatible.
• Entonces se procede a graficar. Para ello primero despejamos \(y\) de la primera ecuación y le llamaremos \(y_1\), enseguida despejamos \(y\) de la segunda ecuación y le llamaremos \(y_2\) y
• Finalmente hacemos una tabla en la que le damos valores a \(x\) y calculamos el valor de \(y_1\) y \(y_2\) para graficar cada línea.

$$y_1=1-x $$
$$ y_2=2x-4 $$ y los valores que tomará \(x\)
$$ x=\{-1,0,1\} $$

\(x\)	\(y_1\)
-1	2
0	1
1	0

\(x\)	\(y_2\)
-1	-6
0	-4
1	-2

y graficamos cuidando que quede muy bonito

2.

$$ 3x-2y=6 $$ $$ 6x-4y=12 $$ como vimos en el ejercicio de la semana pasada, y repetimos en la clase de hoy, una manera de saber si las líneas son paralelas es calcular su pendiente o inclinación
$$ m_1=\frac{y_1}{x_1}=\frac{-2}{3}$$ $$ m_2=\frac{y_2}{x_2}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} $$ y como tienen la misma inclinación resultan paralelas razón por la cual no tienen un punto en común y el sistema es incompatible.

Despejamos \(y\) de la primera ecuación y le llamaremos \(y_1\), enseguida despejamos \(y\) de la segunda ecuación y le llamaremos \(y_2\) y finalmente hacemos una tabla en la que le damos valores a \(x\) y calculamos el valor de \(y_1\) y \(y_2\) para graficar cada línea.

$$ y_1=\frac{6-3x}{-2} $$ $$ y_2=\frac{-12-6x}{-4} $$

y los valores que tomará \(x\)
$$ x=\{-1,0,1\} $$

\(x\)	\(y_1\)
-1	-9/2
0	-3
1	-3/2

\(x\)	\(y_2\)
-1	3/2
0	3
1	9/2

y graficamos

3. $$ 2x+4y=-8 $$ $$ x+y=-4 $$ inmediatamente vemos que el sistema es compatible y por tanto las rectas comparten un punto. Despejamos \(y\) de la primera ecuación y le llamaremos \(y_1\); despejamos \(y\) de la segunda ecuación y le llamaremos \(y_2\); y hacemos la tabla en la que le damos valores a \(x\) y calculamos el valor de \(y_1\) y \(y_2\) para graficar. Si se divide la primera ecuación entre 2 queda más simple \(x+2y=-4\)

$$y_1=\frac{-4-x}{2} $$
$$ y_2=-4-x $$ y los valores que tomará \(x\)
$$ x=\{-1,0,1\} $$

\(x\)	\(y_1\)
-1	-3/2
0	-2
1	-5/2

\(x\)	\(y_2\)
-1	-3
0	-4
1	-5

II. Resuelve los siguientes sistemas por el método de suma o resta y determinantes.

4. $$ x+y=7 $$ $$ -2x-4y=-22 $$ para resolverlos por suma (o eliminación) multiplico la primer ecuación por 2 para luego sumar.
$$ 2x+2y=14 $$ $$ -2x-4y=-22 $$ $$ \overline{\hspace{10mm}-2y=-8} $$ $$ y=4 $$ ahora tomamos la primera ecuación para sustituir el valor de \(y\) y encontrar \(x\). $$ x+(4)=7 \Rightarrow x=3 $$ lo que nos da el punto \((3,4)\) como solución.

Luego por determinantes:

Como vimos en clase, necesitamos 3 determinantes: el de \(x\), el de \(y\) y el del sistema que llamaremos repectivamente \(Det_x\), \(Det_y\) y \(Det_s\). Para calcular el determinante del sistema \(Det_s\) se agrupan los coeficientes en dos renglones y dos columnas y se calcula como sigue
\[
Det_s =
\left[ {\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array} } \right]
\]
$$=a_{11}\times a_{22}-(a_{12}\times a_{21})$$

donde \(a_{11}\) es el coeficiente de \(x\) en la primer ecuación, \(a_{12}\) es el coeficiente de \(y\) en la primer ecuación, \(a_{21}\) es el coeficiente de \(x\) en la segunda ecuación y \(a_{22}\) es el coeficiente de \(y\) en la primer ecuación.

La variable \(x\) se calcula $$ \frac{Det_x}{Det_s} $$ y la \(y\) se calcula $$ \frac{Det_y}{Det_s} $$
Para calcular \(Det_x\) se sustituyen los valores de \(x\) en \(Det_s\) por los valores de los términos independientes y para calcular \(Det_y\) se sustituyen los valores de \(y\) en \(Det_s\) por los valores de los términos independientes.

Ahora que quedó todo tan claro vamos a resolver el ejercicio 4 —que acabamos de resolver arriba— por el método de determinantes.

$$x=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
7 & 1 \\
-22 & -4
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-2 & -4
\end{array} } \right]
}$$

$$ =\frac{-6}{-2}=3 $$ ahora vamos por \(y\)

$$y=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
1 & 7 \\
-2 & -22
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-2 & -4
\end{array} } \right]
}$$
$$ =\frac{-8}{-2}=4 $$ con lo que tenemos el punto \((3,4)\) como solución.

5. $$ 4x-3y=-2 $$ $$ -5x+2y=-1 $$ si multiplico la primer ecuación por 2 y la segunda por 3 puedo sumar y eliminar.
$$ 8x-6y=-4 $$ $$ -15x+6y=-3 $$ $$ \overline{-7x\hspace{10mm}=-7} $$ $$ x=1 $$ ahora tomamos la primera ecuación para sustituir el valor de \(x\) y encontrar \(y\). $$ 4(1)-3y=-2 \rightarrow y=2 $$ lo que nos da el punto \((1,2)\) como solución.

Luego por determinantes:

$$x=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
-2 & -3 \\
-1 & 2
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
4 & -3 \\
-5 & 2
\end{array} } \right]
}$$

$$ =\frac{-7}{-7}=1 $$ ahora vamos por \(y\)

$$y=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
4 & -2 \\
-5 & -1
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
4 & -3 \\
-5 & 2
\end{array} } \right]
}$$
$$ =\frac{-14}{-7}=2 $$ con lo que tenemos el punto \((1,2)\) nuevamente como solución.

6. $$ 8x+5y=39 $$ $$6x-5y=3 $$ en este caso puedo sumar y eliminar de inmediato.
$$ 8x+5y=39 $$ $$ 6x-5y=3 $$ $$ \overline{14x\hspace{10mm}=42} $$ $$ x=3 $$ ahora tomamos la segunda ecuación para sustituir el valor de \(x\) y encontrar \(y\). $$ 6(3)-5y=3 \rightarrow y=3 $$ lo que nos da el punto \((3,3)\) como solución.

Luego por determinantes:

$$x=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
39 & 5 \\
3 & -5
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
8 & 5 \\
6 & -5
\end{array} } \right]
}$$

$$ =\frac{-210}{-70}=3 $$ ahora vamos por \(y\)

$$y=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
8 & 39 \\
6 & 3
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
8 & 5 \\
6 & -5
\end{array} } \right]
}$$
$$ =\frac{-210}{-70}=3 $$ con lo que tenemos el punto \((3,3)\) nuevamente como solución.

7. $$ 6x-9y=48 $$ $$ -7x+4y=-43 $$ primero voy a dividir la primera ecuación entre 3 para que me queden números más chicos.
$$ * 2x-3y=16 $$ $$ -7x+4y=-43 $$
Voy a multiplicar la primera por 4 y la segunda por 3. Luego voy a sumar las ecuaciones para eliminar un término.
$$ 8x-12y=64 $$ $$ -21x+12y=-129 $$ $$ \overline{-13x\hspace{10mm}=-65} $$ $$ x=5 $$ ahora tomamos la ecuación \(*\) para sustituir el valor de \(x\) y encontrar \(y\). $$ 2(5)-3y=16 \rightarrow y=-2 $$ lo que nos da el punto \((5,-2)\) como solución.

Luego por determinantes:

$$x=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
16 & -3 \\
-43 & 4
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
2 & -3 \\
-7 & 4
\end{array} } \right]
}$$

$$ =\frac{-65}{-13}=5 $$ ahora vamos por \(y\)

$$y=\frac{
\left[ {\begin{array}{cc}
2 & 16 \\
-7 & -43
\end{array} } \right]
}{
\left[ {\begin{array}{cc}
2 & -3 \\
-7 & 4
\end{array} } \right]
}$$
$$ =\frac{26}{-13}=-2 $$ con lo que tenemos el punto \((5,-2)\) nuevamente como solución.

8. $$ \frac{2}{3}x+\frac{1}{4}y=3 $$ $$ -\frac{4}{3}x-\frac{5}{4}y=-9 $$ si multiplico la primera ecuación por 5 ya puedo sumar y eliminar.
$$ \frac{10}{3}x+\frac{5}{4}y=15 $$ $$ -\frac{4}{3}x-\frac{5}{4}y=-9 $$ $$ \overline{\frac{6}{3}x\hspace{10mm}=6} $$ $$2x=6 \Rightarrow x=3 $$ ahora tomamos la primera ecuación para sustituir el valor de \(x\) y encontrar \(y\). $$ \frac{2}{3}(3)+\frac{1}{4}y=3 \Rightarrow \frac{1}{4}y=1 \Rightarrow y=4 $$ lo que nos da el punto \((3,4)\) como solución.

Ahora resuélvanlo ustedes por determinantes:

III Plantea y resuelve los siguientes problemas

9.Si se resta 4 al numerador y se suma 3 al denominador de una fracción, su valor resulta \(\frac{1}{2}\). Si se suma 2 tanto al numerador como al denominador, el valor es \(\frac{2}{3}\). Hallar la fracción.

Escribo una fracción y al denominador le llamo \(x\) y al denominador le llamo \(y\) y sigo las instucciones de sumar y restar lo que el problema indica.

$$ \frac{x-4}{y+3}=\frac{1}{2} $$ $$\frac{x+2}{y+2}=\frac{2}{3} $$ y ahora tengo un sistema de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas pero vamos a acomodarlas de una manera que nos sea más familiar. Para eso voy a pasar los términos del denominador al otro lado del signo de igualdad, en ambos lados de la igualdad y en ambas ecuaciones.
$$ 2(x-4)=y+3 $$ $$ 3(x+2)=2(y+2) $$ ahora necesito quitar los paréntesis $$ 2x-8=y+3 $$ $$ 3x+6=2y+4 $$ acomodar las variables a un lado y las constantes al otro lado del signo de igualdad
$$ 2x-y=11 $$ $$ 3x-2y=-2 $$ y para resolver multiplico la primera por -2 y sumo $$ -4x+2y=-22 $$ $$ 3x-2y=-2 $$ $$ \overline{-x \hspace{8mm}=-24} $$ $$ x=24 $$ puede usarse la primer ecuación para sustituir el valor de \(x\) y encontrar el valor de \(y\). $$ 2(24)-y=11 \Rightarrow y=37 $$

10.El triple de un número supera en 1 a otro, mientras que el quíntuplo del primero es 4 unidades menor que el doble del segundo. Encontrar los números.

Vamos a ponerle nombre para que sea más fácil.

El triple de \(x\) supera en 1 a \(y\), mientras que el quíntuplo de \(x\) es 4 unidades menor que el doble de \(y\).

Ahora, si el triple de \(x\) supera en 1 a \(y\), entonces si le resto 1 al triple de \(x\) ahora es igual a \(y\). Y tenemos la primera ecuación $$ 3x-1=y $$ además si el quíntuplo de \(x\) es 4 unidades menor que el doble de \(y\) entonces le sumo 4 al quíntuplo de \(x\) y será igual al doble de \(y\); y tenemos la segunda ecuación $$ 5x+4=2y $$
Igual que en el ejercicio 9, acomodo las dos ecuaciones de la forma que ya conocemos para formar un sistema y resolver
$$ 3x-y=1 $$ $$ 5x-2y=-4 $$ multiplico la primer ecuación por -2, sumo, elimino y despejo $$ -6x+2y=-2 $$ $$ 5x-2y=-4 $$ $$ \overline{-x\hspace{8mm}=-6}$$ $$x=6 $$ sustituyo el valor de \(x\) en la primer ecuación para calcular el valor de \(y\). \(3(6)-y=1 \Rightarrow y=17 \).

11.La suma de dos números es 50 y su diferecia es 6. Hallar los números.

Si los números son \(x\) y \(y\) entonces \(x+y=50\) y \(x-y=6\) y ya tenemos el sistema de ecuaciones simultáneas.
$$ x+y=50 $$ $$ x-y=6 $$ $$\overline{2x\hspace{5mm}=56}$$ $$ x=28 $$ $$ 28+y=50 \Rightarrow y=22 $$

12.Hace 5 años la edad de un muchacho era un quinto de la que tenía su padre, y dentro de 10 años el hijo tendrá la mitad de la edad de su padre. Determine las edades actuales.

La primera ecuación será la que representa la edad del muchacho en relación con la del padre, de hace 5 años.$$ m=\frac{p}{5} \Rightarrow 5m=p $$ donde \(m\) representa la edad del muchacho y \(p\) la edad del padre.

La segunda ecuación tiene que representar la edad del muchacho con respecto a la del padre dentro de 10 años, es decir que sumando los 5 años que ya pasaron ambos tendrán 15 años más. $$ m+15=\frac{p+15}{2} \Rightarrow 2m+30=p+15 $$ y se tienen dos ecuaciones que pueden acomodarse de la manera usual con las variables a un lado y las constantes al otro lado del signo de igualdad, y una encima de la otra para resolver el sistema. $$ 5m-p=0 $$ $$ -2m+p=15 $$ $$ \overline{3m \hspace{5mm}=15} $$ $$ m=5 $$ se sustituye el valor de \(m\) en la primer ecuación \(5m=p \Rightarrow p=25 \).

Ahora se sabe que la edad del muchacho hace 5 años era 5 y la del padre en la misma fecha era 25. Pero como la pregunta es la edad actual, le sumamos 5 a cada uno y las edades serán 10 y 30 para el muchacho y el papá respectivamente.

13.La edad de Juan es 23 años menos que la edad de su papá. Si entre las dos edades suman 47, ¿qué edad tiene cada uno? Otra vez se establece una ecuación que represente la primer parte del problema donde la edad de Juan \(j\) es 23 años menos que edad de su papá \(p\). $$ j=p-23 $$ y un ecuación que represente la segunda parte del problema donde la suma de las edades es 47. $$ j+p=47 $$ y se resuelve
$$ j-p=-23 $$ $$ j+p=47 $$ $$ \overline{2j \hspace{5mm}=24} $$ \(j=12 \Rightarrow p=35 \).

Vamos con un poco de geometría analítica.

Un problema que puso el maestro en el exámen de geometría analítica es:
Relaciona la forma ordinaria de la parábola con el tipo que le corresponde.

1.\((x-4)^2=-16(y-2)\) \(\hspace{30mm}\) A. Vertical con apertura hacia arriba
2.\((y-2)^2=8(x+2)\) \(\hspace{35mm}\) B. Horizontal con apertura hacia la izquierda
3.\((y+4)^2=-12(x-5)\) \(\hspace{30mm}\) C. Vertical con apertura hacia abajo
4.\((x-4)^2=6(y+2)\) \(\hspace{35mm}\) D. Horizontal con apertura hacia la derecha

Aquí se pueden simplificar mucho las cosas si tomamos en cuenta solo los términos que importan para la pregunta. Según la teoría que se vió en clase las parábolas pueden ser verticales y horizontales. Son verticales si el término cuadrático es \(x\) y son horizontales si el término cuadrático es \(y\). Por otro lado, son hacia arriba o hacia la derecha si el término cuadrático tiene el mismo signo que el término lineal. Y son hacia abajo o hacia la izquierda si el término cuadrático y el lineal tienen signos contrarios.

En la lista vemos que en el número 1 y el número 4 el término cuadrático es \(x\) porque forma parte del binomio que está elevado al cuadrado. Entonces son parábolas verticales. En el número 2 y el número 3 el término cuadrático es \(y\) porque forma parte del binomio que está elevado al cuadrado. Entonces son parábolas horizontales.

Ahora nos fijamos en el otro lado de la igualdad. En el binomio lineal (que no está elevado al cuadrado) el número 1 y el numero 3 están multiplicados por un número negativo, entonces se abre hacia abajo o hacia la izquierda. El número 2 y el número 4 están multiplicados por un número positivo, entonces se abren hacia arriba o hacia la derecha.

Juntando la información de las dos caracterísiticas tenemos que :
La parábola del número 1 tiene como término cuadrático la \(x\) entonces es vertical; y el signo de la variable cuadrada \(x^2\) es contrario al signo de la variable lineal \(-16y\) entonces abre hacia abajo. Luego la respuesta correcta es C.

La parábola del número 2 tiene \(y^2\) y \(8x\), entonces es horizontal hacia la derecha: respuesta D.

La parábola del número 3 tiene \(y^2\) y \(-12x\), entonces es horizontal hacia la izquierda: respuesta B.

La parábola del número 4 tiene \(x^2\) y \(6y\), entonces es vertical hacia arriba: respuesta A.

Otro problema que puso el maestro en el exámen de geometría analítica es:

La ecuación de la parábola que tiene como vértice \(V(2,-2)\) y como foco \(F(-1,-2)\) es:

• a.\(\hspace{5mm}y^2-12x-4y-44=0\)
• b.\(\hspace{5mm}y^2+12x+4y-20=0\)
• c.\(\hspace{5mm}y^2+16x+2y-41=0\)
• d.\(\hspace{5mm}y^2-16x+2y-8=0\)

Lo primero que podemos hacer es graficar el vértice y el foco. Así sabremos de inmediato qué tipo de parábola es: horizontal o vertical y hacia dónde está abierta. Como el vértice está a la derecha del foco, sabemos que es una parábola horizontal que abre hacia la izquierda. Y si nos fijamos en el ejercicio anterior, en la forma ordinaria los signos de la variable cuadrática y lineal deben ser contrarios, pero cuando pasamos la variable lineal al otro lado del signo de igualdad, en esta otra forma —que no es la ordinaria—, los signos de la variable cuadrática y lineal son iguales. Ahora sabemos que las opciones a y d no son correctas porque son ecuaciones de parábolas que abren hacia la derecha.

También sabemos que \(p\) es la distancia del vértice al foco, que en este caso es 3. Además conocemos la fórmula para una parábola con vértice en \(V(h,k)\) y foco en \(F(h-p,k)\), que es este caso. $$ (y-k)^2=-4p(x-h) $$ solo queda sustituir \(V(2,-2)\) en \(V(h,k)\) y desarrollar $$ (y+2)^2=-4(3)(x-2)= $$ $$ y^2+4y+4= -12x+24 $$ y acomodamos igualando la ecuación a cero. $$ y^2+12x+4y-20=0 $$ que es el inciso b.

Foto del Malecón de La Paz, B.C.S.

Ejercicios Cobach Norte 26 de noviembre 2016.

Solución de un sistema de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas

Dos ecuaciones son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas. Así, las ecuaciones $$ x+y=5 $$ $$ x-y=1 $$
son simultáneas porque el punto donde \(x=3\) y \(y=2\) satisface ambas ecuaciones.

Dos ecuaciones son equivalentes cuando una se obtiene de la otra. Así, las ecuaciones $$ x+y=4 $$ $$ 2x+2y=8 $$ son equivalentes porque multiplicando por 2 la primera se obtiene la segunda.

Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Las ecuaciones independientes no se obtienen una de la otra y cuando tienen una solución común son simultáneas. Las ecuaciones \(x+y=5\) y \(x-y=1\) son independientes porque no se obtiene una de la otra y son simultáneas porque tienen un único par de valores que satisface ambas ecuaciones.

La solución de un sistema de ecuaciones es el conjunto de valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema. Un sistema es compatible cuando tiene una solución y es incompatible cuando tiene infinitas soluciones.
Para resolver un sistema de ecuaciones existen varios métodos. Aquí vamos a ver: eliminación, sustitución y método gráfico.

Ahora vamos a tomar los 4 sistemas de ecuaciones que vimos en el salón de clase y vamos a resolver por los 3 métodos y veremos un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones simultáneas con tres incógnitas.

a. $$ x+2y=2 $$ $$ 2x+4y=4 $$

En este caso es muy claro que si multiplicamos la primera ecuación por 2 se obtiene la segunda ecuación. Esto quiere decir que son equivalentes y por lo tanto el sistema es incompatible.

b. $$ 2x+y=4 $$ $$ x+2y=5 $$

* ELIMINACIÓN.

Queremos eliminar una de las dos incógnitas para lo que empezamos por encontrar un número por el que se multiplicará una de las dos ecuaciones para que al sumarlas podamos eliminar una incógnita y poder encontrar el valor de la otra. En este caso multiplicamos la primera ecuación por -2 y las sumamos.

$$ -4x-2y=-8 $$ $$ x+2y=5 $$ $$ \overline{-3x+0=-3} $$ $$ x=\frac{-3}{-3}=1 $$ Ahora tenemos el primer valor \(x=1\) que podemos sustituir en cualquiera de las ecuaciones del sistema para obtener el valor de la otra incógnita, entonces en lugar de \(x\) pongo 1 que es su valor
$$ [1]+2y=5 $$ luego paso el 1 restando al otro lado del signo de igualdad $$ 2y=4 $$ y finalmente despejo la \(y\) $$ y=\frac{4}{2}=2 $$ quedando la solución en el punto (1,2).

*SUSTITUCIÓN.

Despejamos una incógnita de la primera ecuación y la sustituímos en a segunda ... o despejamos una incógnita de la segunda ecuación y la sustituímos en la primera. Aquí parece más fácil despejar la \(x\) de la segunda ecuación
$$ x=5-2y \hspace{15mm}...(1) $$ y este valor de \(x\) lo sustituímos en la primera ecuación
$$ 2[5-2y] +y=4 $$ resolviendo y despejando $$ [10-4y]+y=4 $$ $$ -3y=-6 $$ $$ y=\frac{-6}{-3}=2 $$ y se obtiene el primer valor \(y=2\) que se sustituye en (1) para obtener \(x\). $$ x=5-2[2]=1 $$ por lo que nuevamente tenemos el punto (1,2) de solución.

*MÉTODO GRAFICO.

$$(a) .... 2x+y=4 $$
$$(b) .... x+2y=5 $$
para resolver por el método gráfico pues graficamos. En el plano cartesiano graficamos 2 puntos (o mas) de cada ecuación y vemos dónde se encuentra el punto que tienen en común, es decir, en dónde se cruzan. Para graficar, como vimos en clase, le damos valores a la \(x\) y encontramos los valores de \(y\) mediante la ecuación. Acuérdense que la ecuación es como una maquinita donde yo meto una \(x\) y me va a resultar en un valor de \(y\). Y si meto otra \(x\) me va a resultar en otro valor de \(y\). Entonces, para \(x=1\) en la ecuación (a) tendré \(2(1)+y=4\), y si paso el 2 restando al otro lado del = resulta que \(y=2\) por lo que tengo el punto (1,2). Para \(x=2\) en la ecuación (a) tendré \(2(2)+y=4\); paso el 4 restando al otro lado del = resulta que \(y=0\) por lo que tengo el punto (2,0), y para \(x=0\) hago la misma operación y resulta \(y=4\). Ahora tengo 3 puntos de la ecuación (a).
Luego, para \(x=1\) en la ecuación (b) tendré \((1)+2y=5\), y despejando resulta que \(y=2\) por lo que tengo el punto (1,2). Para \(x=2\) en la ecuaión (b) tendré \((2)+2y=5\), y despejando resulta que \(y=3/2\) por lo que tengo el punto (2,3/2), y para \(x=0\) hago la misma operación y resulta \( y=5/2\). Ahora tengo 3 puntos de la ecuación (b).

Hacemos una tablita con los valores para cada ecuación:

x	y
1	2
2	0
0	4

x	y
1	2
2	3/2
0	5/2

Acto seguido me traslado de inmediato al plano cartesiano y grafico los tres puntos de la ecuación (a) y los tres puntos de la ecuación (b) para obtener...

donde aparece señalado el punto común o punto solución.

c. $$ x+y=2 \hspace{6mm}...(c) $$ $$ 2x+2y=3 \hspace{6mm}...(d) $$ Si nos fijamos un poco en este ejercicio vemos que aunque la primera ecuación no puede obtenerse de la segunda, sí sucede que para usar el método de eliminación podemos multiplicar la primera por -2 y quedaría un resultado absurdo... vamos a ver

$$-2x-2y=-4 $$ $$ 2x+2y=3 $$ $$ \overline{\hspace{6mm}0=-1} $$ entonces podemos sospechar que aunque no sean ecuaciones equivalentes, pueden ser paralelas, que nunca se cruzarán por lo que no tendrán un punto común. ¿y cómo podemos saber que son paralelas? porque tienen la misma inclinación ¿y cómo sabemos que tienen la misma inclinación? calculando la pendiente, que es la tangente del ángulo de inclinación ¿y cómo se calcula la pendiente? muy fácil: \(pendiente=\frac{coeficiente-y}{coeficiente -x}\)

El coeficiente es el número (o constante) que acompaña a la letra (o variable), y se tiene \(pendiente(c)=\frac{1}{1}=1\) y \(pendiente(d)=\frac{2}{2}=1\) mostrando que ambas ecuaciones tienen la misma pendiente o inclinación. ¿lo dudan? pues a graficar...

d. $$ 2x-4y=6 $$ $$ x-2y=3 $$

En este caso también se ve que si multiplicamos la segunda ecuación por 2 se obtiene la primera ecuación. Esto quiere decir que son equivalentes y por lo tanto el sistema es incompatible.

e.

Ahora vamos a ver el ejemplo que nos muestra el Sr. Baldor en la página 341 de su tan famoso libro.
Resolver el sistema $$ x+4y-z=6 \hspace{10mm}(1) $$ $$ 2x+5y-7z=-9 \hspace{6mm}(2) $$ $$ 3x-2y+z=2 \hspace{10mm}(3) $$
Combinamos las ecuaciones (1) y (2) y vamos a eliminar la \(x\). Multiplicando la ecuación (1) por -2 se tiene
$$ -2x-8y+2z=-12 $$ $$ 2x+5y-7z=-9 $$ $$\overline{\hspace{6mm}-3y-5z=-21} \hspace{6mm} (4) $$
Combinamos la ecuación (3) con cualquiera de las otras dos ecuaciones. Vamos a combinarla con (1) para eliminar la \(x\). Multiplicando (1) por -3 tenemos:
$$ -3x-12y+3z=-18 $$ $$ 3x-2y+z=2 $$ $$\overline{\hspace{6mm}-14y+4z=-16} \hspace{6mm} $$ y puede simplificarse dividiendola entre 2 $$ -7y+2z=-8 \hspace{6mm} (5) $$
Ahora tomamos (4) y (5) para formar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que ya sabemos cómo resolver
$$ -3y-5z=-21 \hspace{6mm} (4) $$ $$ -7y+2z=-8 \hspace{6mm} (5) $$
Vamos a eliminar \(z\) multiplicando (4) por 2 y (5) por 5:
$$ -6y-10z=-42 $$ $$ -35y+10z=-40 $$ $$ \overline{-41y\hspace{4mm}=-82} $$ $$ y=2 $$ Sustituyendo \(y=2\) en (5) se tiene:
$$ -7[2]+2z=-8 $$ $$ 2z= -8+14=6 $$ $$ z=3 $$
Sustituyendo \(y=2\) y \(z=3\) en cualquiera de las tres ecuaciones del sistema, por ejemplo en (1), se tiene:
$$ x+4[2]-3=6 $$ $$x=6+3-8=1 $$
Solución: \(x=1\), \(y=2\), \(z=3\).

f. Ahora vamos con derivadas:

$$g(x)=\frac{(1-2x)^6}{(x-4)^4} $$
Si queremos analizar la función veremos en primer lugar que es un cociente; en segundo lugar que los términos del cociente están elevados a potencias y en tercer lugar que los términos del cociente que están elevados a potencias son funciones. Y así es como se aplica a regla de la cadena.

$$ g'(x)=\frac{(x-4)^4\left[(1-2x)^6\right]'-(1-2x)^6\left[(x-4)^4\right]'}{\left[(x-4)^4\right]^2} \hspace{10mm} (1) $$

pero si llamamos \(h(x)=(1-2x)^6\) y \(j(x)=(x-4)^4\) podemos resolver las derivadas \(h'(x)\) y \(j'(x)\) y las sustituimos en (1).
$$ h'(x)=6(1-2x)^5(-2) $$ noten que el -2 es la derivada de la función \(1-2x\)
$$ j'(x)=4(x-4)^3 $$ se sustituye y se simplifica, poniendo las constantes juntas y eliminando los factores comunes.
$$ g'(x)=\frac{(x-4)^46(1-2x)^5(-2)-(1-2x)^64(x-4)^3}{(x-4)^8}= $$
$$ \frac{-12(x-4)^4(1-2x)^5-4(1-2x)^6(x-4)^3}{(x-4)^8} $$ y podemos tomar \((x-4)^3\) como factor común y eliminarlo en cada término del numerados y también en el denominador.
$$ \frac{-12(x-4)(1-2x)^5-4(1-2x)^6}{(x-4)^5} $$ ya si quieren verse muy listos pueden tomar \((1-2x)^5\) como factor común
$$ \frac{(1-2x)^5\left(-12x+48-4(1-2x)\right)}{(x-4)^5}= $$
$$ \frac{(1-2x)^5[-12x+48-4+8x]}{(x-4)^5}= $$
$$ \frac{(1-2x)^5[44-4x]}{(x-4)^5} $$

g.
$$ l(x)=\frac{(4x^2+12x+9)^3}{(4x^2-9)^3} $$ Si vemos detenidamente se nota primero que tanto el numerador como el denominador están elevados a la misma potencia, entonces podemos meterlos en un gran paréntesis y sacar la potencia. En segundo lugar notamos que el término del numerador es un trinomio cuadrado perfecto y el del denominador es una diferencia de cuadrados. Entonces podemos ponerlos en una forma más simple.
$$ l(x)=\left[\frac{(4x^2+12x+9)}{(4x^2-9)}\right]^3= $$
$$\left[\frac{(2x+3)^2}{(2x+3)(2x-3)}\right]^3= $$ y hasta podemos eliminar un factor
$$\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]^3 $$ parece más fácil, ¿no?

Ahora podemos empezar a derivar
$$ l'(x)=3\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]^2\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]' $$ ahora vamos a calcular $$ \left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]'=\frac{2(2x-3)-2(2x+3)}{(2x-3)^2} $$ ahora simplificamos el numerador y quitamos los signos $$2(2x-3)-2(2x+3)=2[(2x-3)-(2x+3)]=2[2x-3-2x-3]=2[-6]=-12 $$ por lo que tenemos
$$ l'(x)=3\left[\frac{(2x+3)}{(2x-3)}\right]^2\left(\frac{-12}{(2x-3)^2}\right) $$ y podemos simplicar $$ \frac{-36(2x+3)^2}{(2x-3)^4} $$ y si no estamos seguros de que es correcto buscamos la respuesta en el Wolfram Alpha.

h. $$ y=\frac{(x^6-8x^3+16)^3}{(x^3-4)^2} $$ a estas alturas ya somos muy observadores y notamos que nuevamente el numerador es un trinomio cuadrado perfecto y se procede a expresarlo
$$ y=\frac{((x^3-4)^2)^3}{(x^3-4)^2} $$ a partir de aquí todo va muy fácil porque solo solucionamos los asuntos de los exponentes y finalmente derivamos$$ y=\frac{(x^3-4)^6}{(x^3-4)^2}= (x^3-4)^4 $$
$$y'=4(x^3-4)^3(3x^2)=12x^2(x^3-4)^3 $$

i. $$g(x)=\frac{1}{\sqrt{2-x}} $$ si le damos tratamiento como cualquier función elevada a cualquier potencia se puede acomodar de otra forma
$$g(x)=(2-x)^{-1/2} $$ y se procede a derivar
$$g'(x)=(-\frac{1}{2})(2-x)^{-3/2}(-1) $$ es decir, bajamos el exponente como coeficiente, le restamos uno al exponente y lo multiplicamos por la derivada de la función de adentro. Finalmente $$ g'(x)= \frac{1}{2(2-x)^{3/2}} $$

j. $$t(x)=\frac{\sqrt{x-9}}{\sqrt{x^2-81}} $$ como ya somos expertos en productos notables pues notamos que en el denominador hay una diferencia de cuadrados y procedemos a mostrarla, además sabemos que podemos cambiar la fracción de radicales en el radical de una fracción y finalmente simplificar... después de todo eso la derivada casi se resuelve sola.
$$ t(x)=\left[\frac{x-9}{(x-9)(x+9)}\right]^{1/2}=\frac{1}{(x+9)^{1/2}} =(x+9)^{-1/2} $$ resolviendo la deriada de acuerdo a su exponente
$$ t'(x)=-\frac{1}{2}(x+9)^{-3/2}=\frac{-1}{2(x+9)^{3/2}} $$

k.$$ g(x)=\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]^7 $$ en este ejercicio no parece que podamos simplificar de modo que vale más empezar porque parece largo
$$g'(x)=7\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]^6\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]' $$ y podemos resolver por separado y después sustituír
$$ \left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]'=\frac{(x^3+5)(6x^5)-(x^6-2)3x^2}{(x^3+5)^2}= $$ $$ \frac{6x^8+30x^5-3x^8+6x^2}{(x^3+5)^2}= \frac{3x^8+30x^5+6x^2}{(x^3+5)^2}= $$ $$ \frac{3x^2(x^6+10x^3+2)}{(x^3+5)^2} $$ ahora vamos a poner este resultado en la \(g'(x)\)
$$ g'(x)=7\left[\frac{x^6-2}{x^3+5}\right]^6 \frac{3x^2(x^6+10x^3+2)}{(x^3+5)^2} = \frac{21x^2(x^6+10x^3+2)(x^6-2)^6}{(x^3+5)^8} $$

l.$$ m(x)=-\frac{5}{(x^2-4)^7} $$ solo hay que cuidar los signos
$$ m(x)=-5(x^2-4)^{-7} $$ y derivar $$ m'(x)=35(x^2-4)^{-8}(2x)=\frac{70x}{(x^2-4)^8} $$

Referencia

• Álgebra de Baldor

Foto de la Escuela de Agricultura de la Unison.

El efecto de los lentes de color en la lectura: una revisión sistemática de la literatura.

El siguiente es una resumen del artículo "The effect of coloured overlays and lenses on reading: a systematic review of the literature", escrito por: Philip G. Griffiths, Robert H. Taylor, Lisa M. Henderson and Brendan T. Barrett y publicado en Ophthalmic & Physiological Optics.

El objetivo es presentar los resultados de una revisión sistemática de la literatura y examinar la calidad de la evidencia usada para publicar reportes de investigación que avalan el uso de lentes de color para mejorar la habilidad lectora. El resultado muestra que la mayoría de los estudios tienen un sesgo en uno o más aspectos claves del diseño o del resultado. Se ofrecen sugerencias acerca de cómo conducir futuras pruebas.

Cada publicación fué evaluada de acuerdo al riesgo para la validez interna y externa, de acuerdo con el Cochrane Collaboration para evaluar el sesgo. La validez interna se refiere al riesgo de sesgo en el diseño del estudio y el reporte de los resultados. La validez externa se refiere al grado en que los resultados -aunque tengan validez interna- puedan ser generalizados a diferentes poblaciones.

El Wilkins Rate of Reading Test (WRRT) incluye pasajes con palabras de alta frecuencia ordenadas aleatoriamente, impresas en una fuente pequeña. El texto está diseñado para ser abarrotado y visualmente aversivo. El resultado es el número de palabras por minuto leído correctamente. Debido a la gran variabilidad en la velocidad lectora de los niños, no está claro cuál es la velocidad normal para un grupo de edad particular y no es posible determinar el rango de mejora usando el sobrepuesto de color.

El análisis de las publicaciones indica que en algunos casos no se reportan datos cuantitativos detallados como medias, desviaciones estándar, intervalos de confianza y tamaño del efecto.

Muchos estudios fueron revisados confiando en el p-valor para apoyar sus resultados; por ejemplo asegurando que el resultado fué estadísticamente significativo si el p fué <0.05. Sin embargo, es importante recordar que el p-valor es el paso final en el diseño y ejecución de un estudio. En la práctica, las decisiones anteriores, en el diseño experimental o en el análisis de los datos son más importantes para el resultado y la idea de una herramienta de "riesgo de sesgo" dará mayor peso al comportamiento y prácticas estadísticas.

Es importante subrayar que la falta de evidencia que hemos identificado no prueba por sí misma que el color no tiene efecto en la lectura; la falta de evidencia no es evidencia de falta de efectividad.

Por encima, esta afirmación podría ser interpretada como un tácito apoyo para continuar con la práctica de seguir usando filtros coloreados mientras se consigue la evidencia necesaria. Sin embargo, el principal hallazgo es que la calidad de la evidencia disponible es suficientemente baja para que, a pesar de las muchas anécdotas y testimonios de los pacientes, se tengan serias reservas acerca de esta práctica.

La mayoría de los estudios no estaban bien diseñados, había poca evidencia de un protocolo pre-estudio, los estudios fueron con frecuencia de baja potencia y todos tenían áreas de sesgo. Muchas publicaciones tuvieron errores entre las tablas y el texto, y se observó con frecuencia un análisis estadístico sospechoso incluyendo la ausencia de un enfoque estadístico específico previo, tamaño del efecto no reportado y estadística descriptiva faltante.

Algunos investigadores dijeron que pudiera no ser ético incluir un grupo de control placebo. Esto indica que consideran de antemano que el tratamiento con lentes de color es efectivo. La presente revisión muestra que en los estudios que fueron bien enmascarados hubo tanto mejoría en el grupo control de placebo como en el grupo experimental. Por lo tanto no se considera no ético incluir un grupo de control placebo. De hecho, la ética de organizar puebas posteriores con un alto riesgo de sesgo debido a la falta de un grupo de control placebo debería ser analizada.

Una perspectiva es que, incluso si el beneficio de color en la lectura se debe solo al efecto placebo, el aspecto más importante es que la lectura mejora, y la fuente de ese mejoramiento es de importancia menor.

Mientras entendemos esta lógica, no estamos de acuerdo en que las terapias con lentes de colores puedan tener un costo sustancial para el paciente o sus padres, y puedan retrasar la identificación de las verdaderas razones de la reducción de la habilidad lectora y detener el enfoque adecuado de remediación y manejo.

Los participantes reclutados en clínicas especializadas pueden no ser representativos de la población general.

Referencia

• Ophthalmic & Physiological Optics 36 (2016) 519–544

Foto de BryanHanson

Relatos varios

El periódico La Jornada publica escritos de varios autores, adecuados para que practiquen la lectura niños de quinto y sexto de primaria.

• Con quién quieres hablar, amo?
• Cocina ñañu

Ejercicios Cobach Norte 12 de noviembre de 2016.

Factoriza

1. $$9x^2y^2-27x^3y^4z+3xyz+18x^5y^2z=$$

Explica el Sr. Baldor, en su libro de Álgebra, pag.144, el caso I de descomposición de un polinomio en dos o más factores: cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Del polinomio de arriba tomamos el factor común \(3xy\) que es el mayor factor común a cada término del polinomio. Luego dividimos cada término del polinomio entre el factor común y escribimos el resultado entre paréntesis al lado del factor común.

$$3xy(3xy-9x^2y^3z+z+6x^4yz)$$

2. $$\frac{28}{25}m^4n+\frac{14}{15}mn^4p-\frac{7}{30}m^5n^5p^5-\frac{21}{5}m^6p^6 $$
El mayor factor común de los numeradores es el 7 y de los denominadores es el 5, de las letras \(m\), entonces tenemos \(\frac{7}{5}m\) como el factor entre el que vamos a dividir cada término del polinomio.
$$ \frac{7}{5}m\left(\frac{4}{5}m^3n+\frac{2}{3}n^4p-\frac{1}{6}m^4n^5p^5-3m^5p^6 \right) $$

3. $$22cosx+44cos^2x-cos^3x+11cos^5x=$$
Como vimos en clase podemos resolverlo de dos formas: tomando el \(11 cosx \) como factor o solo \( cosx \) . En el primer caso tendremos
$$ 11cosx(2+4cosx-\frac{1}{11}cos^2x+cos^4x) $$
en el segundo caso tendremos
$$ cosx(22+44cosx-cos^2x+11cos^4x)$$

4. $$ 5xy(x+y)-2y(x+y)-(x+y)-15x(x+y)= $$
En este caso se ve claramente que el factor que es común es \((x+y)\) y se procede
$$(x+y)(5xy-2y-1-15x) $$

5. $$ x^4-36 $$ Como les dije éste es de los más fáciles que tendrán que resolver en su ... larga vida como estudiantes porque es una diferencia de cuadrados y se factoriza con la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).
$$ x^4-36=(x^2+6)(x^2-6) $$
6. $$ m^2-121=(m+11)(m-11) $$
7. $$ \frac{25}{49}x^6-1=(\frac{5}{7}x^3+1)(\frac{5}{7}x^3-1) $$
8. $$ x^2-x+90 $$ En este caso estuvimos buscando, para factorizar como nos enseñaron, dos números que multiplicados dieran 90 y sumandos dieran -1, pero no los encontramos. Entonces nos acordamos de la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado... aquella que dice:
$$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
si \(b^2< 4ac\) el resultado no será un número real porque se tendrá la raíz cuadrada de un número negativo, que es imaginario. En este ejercicio \(\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{1-360}=\sqrt{-359}\) por eso no pudimos resolverlo como queríamos.

9. $$ m^2-7m+12 $$ Aquí sí podemos usar la fórmula que nos enseñaron: buscar dos números que multiplicados den 12 y sumados den -7. Y esos números son -4 y -3 y resolvemos.
$$ m^2-7m+12=(m-4)(m-3) $$

10. $$x^2-9xy+20y^2 $$ dos números que multiplicados den 20 y sumados den -9 y que son -4 y -5. Pero en este ejercicio también se tiene una \(y^2\) que se incluye al final.
$$x^2-9xy+20y^2=(x-4y)(x-5y) $$

11. $$ 9x^2-30xy^2+25y^4 $$ En la página 163 el Sr. Baldor nos enseña cómo descomponer en factores un trinomio de la forma \(ax^2+bx+c\)

• primero multiplicamos y dividimos por el coeficiente de \(x^2\) y dejamos indicado el producto del segundo término
• ahora como en el caso anterior se ponen las raíces del primer término del trinomio en cada paréntesis; se buscan dos números que multiplicados den el último término del nuevo trinomio y que sumados den el segundo término (que se dejó sin multiplicar).
• finalmente se busca de qué manera dividir cada factor para no tener fracciones.

¿claro como el agua? Vamos a resolver
$$ 9x^2-30xy^2+25y^4 =\frac{9(9x^2-30xy^2+25y^4)}{9}=\frac{81x^2-30xy(9)+225}{9} $$
$$ (9x+[] )(9x+[] ) $$ se buscan dos números que multiplicados den 225 y sumados den -30 y son -15 y -15, entonces se descompone sin olvidar que al final queda una \(y^4\)
$$ 9x^2-30xy^2+25y^4 =\frac{(9x-15 y^2)(9x-15y^2 ) }{9}= \frac{(9x-15 y^2)(9x-15y^2 ) }{3\times 3} =$$ $$ (3x-5 y^2)(3x-5y^2 ) =(3x-5y^2)^2 $$

12. $$ 10x^2-13x-3=\frac{10(10x^2-13x-3)}{10}=\frac{100x^2-13x(10)-30)}{10} = $$ dos números que multiplicados den -30 y sumados den -13, y son -15 y 2
$$ \frac{(10x-15)(10x+2) }{10} = \frac{(10x-15)(10x+2) }{5\times 2}=(2x-3)(5x+1)$$

13. $$ 6y^2-17y+5= \frac{6(6y^2-17y+5)}{6}=\frac{36y^2-17y(6)+30}{6}$$
dos números que multiplicados den 30 y sumados den -17 y son -15 y -2
$$ \frac{(6y-15)(6y-2)}{3\times 2}=(2y-5)(3y-1) $$

14. $$ 4x^2-4xy-3y^2 =\frac{4(4x^2-4xy-3y^2)}{4}=\frac{16x^2-4xy(4)-12y^2}{4} $$
dos números que multiplicados den -12 y sumados den -4 y son -6 y 2.
$$ \frac{(4x-6y)(4x+2y)}{2\times 2}=(2x-3y)(2x+y) $$
15. $$ 2m^2-mn-n^2 =\frac{2(2m^2-mn-n^2 )}{2}=\frac{4m^2-mn(2)-2n^2}{2}= $$
dos números que multiplicados den -2 y sumados den -1 y son -2 y 1.
$$ \frac{(2m-2n)(2m+n)}{2}=(m-n)(2m+n) $$

16.$$ 7x^2-6x-1=\frac{7(7x^2-6x-1)}{7}=\frac{49x^2-6x(7)-7}{7} $$ dos números que multiplicados den -7 y sumados den -6 y son -7 y 1.
$$\frac {(7x-7)(7x+1)}{7} =(x-1)(7x+1) $$

17.$$ 8x^2-6xy+y^2=\frac{8(8x^2-6xy+y^2)}{8}=\frac{64x^2-6xy(8)+8y^2}{8} $$
dos números que multiplicados den 8 y sumados den -6 y son -4 y -2.
$$\frac {(8x-4y)(8x-2y)}{4\times 2} =(2x-y)(4x-y) $$

18.$$ 16x^2+40x+25 $$
En la página 149 de su libro, el Sr. Baldor nos dice la regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto: i. Cuando el primer y tercer término tienen raíz cuadrada exacta y son positivos, ii. El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos. Así que en este ejercicio se cumple el inciso i porque \(\sqrt{16x^2}=4x\) y \(\sqrt{25}=5\); y se cumple el inciso ii porque \(2(4\times 5)=40\). Luego para factorizar se extraen las raíces cuadradas del primero y tercer término y se separan por el signo del segundo término.
$$ 16x^2+40x+25 =(4x+5)(4x+5)=(4x+5)^2 $$

Referencia

• Álgebra, Baldor

Foto de Matei

Conceptos básicos para optometristas. 4/4

La distribución normal estándar.

La distribución normal estándar tiene una media de cero y una SD de 1 (se denota \(N(0,1)\)) y es la base de muchas pruebas estadísticas útiles. Por ejemplo, puede ser importante determinar si una observación \(x\) es un miembro típico o atípico de una población.

Una medida de un parámetro visual se hace en un individuo y se quiere determinar si este valor es típico de la población completa. Para hacer esta prueba, la observación original \(x\) tiene que convertirse para que sea parte de la distribución normal estándar \(Z\), es decir \(Z=\pm(x-\mu)/\sigma\).

Esta fórmula convierte a \(x\), un miembro de la distribución original \(N(\mu,\sigma)\), en miembro de \(Z\), \((N(0,1))\). Las tablas de la distribución normal estándar pueden entonces ser usadas para determinar dónde está localizada \(z\) con respecto a su media, es decir, ¿cae cerca de la media de la distribución (valor típico), o lejos en una de las colas de la distribución (un valor atípico)?

Una cuestión importante es qué tan atípica tiene que ser la observación \(z\) antes de que consideremos que es atípica. Mediante la conversión, consideraremos a \(x\) un miembro típico de la población a menos que esté localizado en las colas de la distribución que incluye el 5% de los valores más extremos.

El valor de \(Z\) que separa los valores típicos (95% de la distribución) de los atípicos (5% de la distribución) es en realidad 1.96. Así, si nuestro valor calculado de \(z\) es igual o mayor que 1.96, consideraríamos el parámetro visual medido en el sujeto como atípico. Tales pruebas son útiles en un contexto clínico donde puede ser necesario juzgar si un parámetro visual medido en un paciente cae dentro o fuera del rango normal.

Variación de las medias muestrales.

En muchos estudios, las observaciones individuales pueden no ser de un interés supremo y puede ser que estemos más interesados en la media \(\bar{x}\) de una muestra de medidas.

Por ejemplo, quisiéramos determinar la presión intraocular de individuos de 80 años, mediríamos una muestra de unos 10 pacientes de esa edad, y reportamos la media de la muestra con su SD. Sin embargo, si repetimos el estudio con varios grupos de 10 personas de 80 años no necesariamente obtendríamos el mismo valor de la media, es decir, las medias de las muestras también muestran variabilidad.

En este caso queremos saber qué tan bien representa un estimado de la media muestral a la media poblacional. Contestar esta pregunta requiere del conocimiento de cómo varían las medias de una distribución normal.

Para entender este concepto, es necesario recurrir a un importante resultado estadístico llamado el Teorema del Límite Central. Este teorema establece que las medias de una distribución normal \(N(\mu,\sigma)\) se distribuyen, ellas mismas, normalmente con media \(\mu\) y SD \(\sigma/\sqrt{n}\), donde \(n\) es el número de observaciones de la muestra.

Además, las medias de distribuciones no normales se distribuirán normalmente si las muestras son lo suficientemente grandes. También es importante que la cantidad \(\sigma/\sqrt{n}\), la desviación estándar de la población de las medias muestrales o “error estándar de la media” se distinga de \(\sigma\) o \(s\) la SD de la población o la muestra de medidas individuales.

Intervalo de confianza para la media de una muestra.

El error estándar de la media puede ser usado para calcular el grado de error involucrado en estimar la media poblacional. Este error con frecuencia es graficado como un “intervalo de confianza” que indica el grado de confianza que tenemos en nuestra media muestral como un estimador de la media poblacional.

Este error es calculado como sigue:
a. Si una observación individual \(x\) viene de una distribución normal entonces la probabilidad es 95% (p=0.95) de que \(x\) esté localizada en algún lugar de la distribución entre \(\mu\pm 1.96\sigma\).
b. Similarmente, si una media muestral \(\bar{x}\) viene de una población normal de medias muestrales entonces p=0.95 de que \(\bar{x}\) esté entre \(\mu\pm 1.96\sigma/ \sqrt{n}\) .

Nótese que en esta ecuación, el error estándar de la media \(\sigma/ \sqrt{n}\) es sustituido por \(\sigma\) porque estamos interesados en la variación de las medias muestrales y no de las observaciones individuales.
c. Así, podemos escribir p=0.95 de que \(\mu\) esté entre \(\bar{x}\pm 1.96\sigma/ \sqrt{n}\).

Hay dos problemas con este enfoque. Primero, en la mayoría de los estudios, la media muestral \(\bar{x}\) se basa en una pequeña muestra de medidas. Así que no sabemos el valor de \(\sigma\) sino solo la SD muestral \(s\). Entonces sustituímos \(s\) por \(\sigma\). Segundo si sustituímos \(s\) por \(\sigma\), no podemos estar seguros acerca de la forma exacta de la distribución ni si el valor de Z=1.96 es suficientemente preciso para juzgar si una media muestral es atípica de la población.

En lugar de eso usamos un valor diferente, que es más preciso en describir el comportamiento de muestras pequeñas, que se toma de una distribución relacionada llamada la distribución “t”.
d. Luego, un intervalo de confianza (CI) al 95% de una media muestral está dado por $$ CI=\bar{x}\pm t (p=0.05,DF=n-1)s/ \sqrt{n} $$

Podemos concluir que estamos 95% seguros de que la media poblacional caerá entre los límites calculados.

Referencia

• Optometry Today

Imagen de Wikipedia

Conceptos básicos para optometristas. 3/4

Distribución Normal.
Muchas de las pruebas estadísticas más útiles están basadas en la suposición de que la variabilidad natural de una medida particular es predecible. Por ejemplo, si una muestra de medidas de una variable \(x\), digamos, la longitud axial de una muestra de ojos, es graficada como una distribución de frecuencias, las medidas estarán distribuidas simétricamente alrededor de una tendencia central o valor promedio. Una distribución de frecuencias es construida dividiendo la variable \(x\) en clases y graficando el número de medidas f(x) que caen dentro de cada clase. Si el número de medidas se incrementa y los intervalos de clases de la distribución se reducen a cero, los datos estarán muy próximos a una curva con forma de campana llamada distribución normal (también llamada distribución Gaussiana). Muchas medidas en las biociencias siguen esta distribución o no se desvían mucho de ella (Figura).

La distribución normal puede ser descrita por dos cantidades:
a. La “tendencia central” de la distribución descrita por el promedio o media aritmética de la población $$\mu=\frac{\sum x}{n}$$.

Nótese que la media de una muestra de medidas tomadas de esta población es designada como \(\overline{x}\).

b. La desviación estándar (SD) de la población, es decir, la distancia de la media al punto de máxima pendiente de la curva $$SD=\sqrt{\frac{\sum(\mu-x)^2}{n}}$$ Así, la SD describe qué tan cerca se agrupan los datos alrededor de la medida de tendencia central. Nótese que la SD de una población se designa como \(\sigma\) mientras la de una muestra se designa con \(s\).

Para entender el significado de SD, puede verse de dónde sale. Un método para determinar la variabilidad de una población de valores es calcular su media \(\mu\), restar cada observación \(x\) de la media y sumar las desviaciones: \(\sum(\mu-x)\).
Si los datos son altamente variables, las desviaciones de la media serán grandes y si los datos no son particularmente variables, estarán más agrupados alrededor de su media.

Sin embargo, debido a que aproximadamente la mitad de las observaciones serán mayores que la media y la mitad menores, la mitad de las desviaciones serán positivas y la mitad negativas y por lo tanto, su suma será cero. Así que para resolver este problema cada desviación se eleva al cuadrado antes de sumarla para dar una cantidad que se conoce como la suma de cuadrados es decir, la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones originales respecto a su media: \(\sum(\mu-x)^2\).

Pero, la suma de los cuadrados de una cantidad depende del tamaño de la muestra \(N\). Así que para describir la variabilidad de los datos y ser capaces de comparar la variabilidad de un conjunto de datos con otro que tiene diferente tamaño de muestra calculamos el promedio de la desviación dividiendo por N: \(\sum(\mu-x)^2/N\).
Esta cantidad también es conocida como varianza. Dado que cada desviación de la media fué elevada al cuadrado antes de sumarla, tomamos la raíz cuadrada de la varianza para tener las misma unidades que las medidas originales. Esto nos da la desviación estandar (SD):
$$ SD=\sqrt{\frac{ \sum(\mu-x)^2}{N}} $$
La desviación estándar describe el promedio de la desviación de las observaciones individuales \(x\) de su media. Para calcular la SD necesitamos conocer \(\mu\) la media de la población. Sin embargo, en muchas ocasiones deseamos calcular la SD de una pequeña muestra de medidas tomadas de una población más grande. En este caso, no conocemos el valor exacto de la media poblacional, pero podemos calcular la media de la muestra de medidas \(\bar{ x }\).

Así, para calcular la SD de una muestra de medidas podemos usar la fórmula original para la SD pero con tres cambios:
a. La SD de la población \(\sigma\) es reemplazada por \(s\), la SD de la muestra.
b. \(\mu\) es reemplazada por \(\bar{ x }\), la media de la muestra.
c. “n” es reemplazada por “n-1”, una cantidad llamada grados de libertad.

Los grados de libertad o DF es un concepto importante en estadística. El cálculo de la SD incluye la resta de observaciones individuales de su media y sumar los resultados. Sin embargo, si hay N observaciones, una vez que N-1 observaciones han sido restadas de la media y sumadas, podemos inmediatamente calcular la última desviación de la media porque el total de desviaciones suman cero. En otras palabras N observaciones solo brindan N-1 estimados independientes de las desviaciones de su media. La cantidad N-1 es conocida como los DF. Como una regla general, los DF de una cantidad estadística es el número de observaciones que componen esa cantidad menos el número de parámetros que tienen que ser calculados de los datos para obtener la cantidad. Así que cuando calculamos la SD de N observaciones, los DF es N-1 porque tenemos que calcular un parámetro, la media de los datos, para calcular la suma de cuadrados.
Entonces, la fórmula para la SD de una muestra es dada como sigue:
$$ s=\sqrt{\frac{ \sum(\bar{x}-x)^2}{n-1} } $$
Si varios estimados de una cantidad, como la presión intraocular de los individuos a la edad de 60, son calculados, es práctica común reportar la media y la desviación estándar de la muestra, es decir, \(\bar{x}\), \(s\).

Ecuación de la Distribución Normal.

La ecuación matemática que describe la curva con forma de campana de la distribución normal está dada como sigue:
$$ F(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} $$

Esta ecuación hace posible la frecuencia F(x), es decir, permite calcular la altura de la curva para cada valor individual de “x” siempre que \(\mu\) y \(\sigma\) sean conocidas, es decir, una distribución normal es definida completamente por su media y su desviación estándar. Esta ecuación también permite calcular la proporción de observaciones que están a una distancia dada de la media.

En cualquier distribución normal, 68% de las observaciones caerán a 1 SD arriba y abajo de la media. Así, la probabilidad es 68% o p=0.68 de que una medida de una distribución normal caerá en esos límites. Similarmente, la probabilidad es p=0.95 de que una medida caiga aproximadamente a 2 SD por arriba y debajo de la media.

Cada tipo de variable tiene su propia distribución normal de valores con una media y una SD. Sin embargo, las tablas estadísticas de la distribución normal, llamadas tablas Z, han sido calculadas para la distribución normal llamada “normal estándar”. Si queremos usar estas tablas en pruebas estadísticas, tenemos que convertir nuestras medidas para que formen parte de una distribución normal estándar.

Referencia

• Optometry Today

Imagen de Wolfram