¿Hay diferencia entre dos muestras? (2 de 5)

Este es un resumen de un artículo de Richard A. Amstrong y Frank Eperjesi dirigido al personal de optometría que requiera conocimientos básicos de estadística para analizar datos.

La lógica de las tablas estadísticas.

Para juzgar si el valor de \(t\) es estadísticamente significativo, es llevado a una tabla estadística de la distribución \(t\). El cálculo de \(t\) usando computadora brinda un valor de probabilidad \(p\) correspondiente al valor de \(t\). Para entender el significado de \(p\), sin embargo, es necesario entender la lógica de las tablas \(t\). Todas las tablas estadísticas tienen esencialmente la misma estructura y la misma lógica básica.

• Hay una columna de cifras, generalmente a la izquierda de la tabla, que representa los grados de libertad \(gl\) de los datos. Esto permite conectar correctamente el renglón basado en el número de observaciones que se tienen. El concepto de grados de libertad será explicado con mayor detalle en un artículo posterior. Todas las pruebas estadísticas tienen una regla que determina cómo se usará la tabla.
• En el cuerpo de la tabla hay columnas de valores de un estadístico, como \(t\), todos los cuales pueden obtenerse solo por casualidad, es decir, cuando no hay verdaderas diferencias involucradas.
• El primer renglón de la tabla muestra las probabilidades \(\alpha\) de que los valores del estadístico en una columna particular pudieran obtenerse por casualidad. Por lo tanto, hay una probabilidad de 10%, es decir \(p=0.10\) (o 1 en 10) de que los valores en la columna del 10% pudieran obtenerse solo por casualidad y hay 1% de probabilidad, \(p=0.01\) (1 en 100) de que los valores en la columna de 1% pudieran obtenerse por casualidad.

Como se describió anteriormente, los estadísticos usan la columna del \(p=0.05\) (o 1 en 20) para juzgar qué tan improbable tiene que ser un evento antes de que se crea que es improbable de obtenerse por casualidad y de que hay una verdadera diferencia entre las medias muestrales. Por lo tanto, si el estadístico calculado cae en una columna en la cual la probabilidad es menos de 0.05, es improbable que se haya obtenido por casualidad y si cae en una columna en la cual la probabilidad es mayor que 0.05, es más probable que se haya obtendio por casualidad. Notemos que el nivel de probabilidad de 0.05 es arbitrario y no debería ser aplicado a problemas estadísticos indiscriminadamente. Todos los efectos experimentales que resulten en valores \(t\) un poco por debajo o por arriba del 5% deberían ser considerados como efectos posibles y discutirse apropiadamente.

Aplicación a los datos en la Tabla 1 (de la entrada anterior).

1. Calcular el valor de \(t\) usando la fórmula en la ecuación 1 (de la entrada anterior).
2. Determinar el renglón en el cual la tabla \(t\) se ingresa, aplicando la regla de que los grados de libertad \(gl=n_1+n_2-2=4\). Esta regla aplica solo en el caso de este tipo particular de prueba \(t\) y otras pruebas estadísticas pueden tener diferentes reglas para ingresar la tabla.
3. El valor de \(t\) al nivel de 5% de probabilidad para 4 grados de libertad tomados de la tabla \(t\) es 2.78. El programa de cómputo brindará el p valor. El valor de \(t\) obtenido en el experimento fué 3.82 y es más grande que el valor de \(t\) en \(p=0.05\). La probabilidad de obtener un valor de \(t\) de 3.82 por casualidad, cuando no hay diferencia significativa entre las medias, es menor que el 5% y por lo tanto, concluiríamos que es más probable que \(t\) no se haya obtenido por casualidad.

Así los datos se oponen a la hipótesis nula y hay un efecto del medicamento en la dilatación pupilar.

Explicación.

Para entender la lógica detrás de la prueba \(t\), es necesario examinar la distribución de \(t\) y el renglón particular de la distribución \(t\) representado por los datos que tienen 4 grados de libertad. Cuando \(t\) es calculada, la diferencia entre las dos medias es convertida para que se vuelva un miembro de esta distribución. Pequeñas diferencias entre las medias, que son más probables de obtenerse por casualidad, resultan en valores de \(t\) que están más cerca de la media de la distribución (es decir \(t=0\)). Diferencias más grandes de las medias resultan en valores \(t\) más lejanos, en las colas de la distribución. Cuando \(t\) es igual o más grande que 2.78 (el valor de \(p=0.05\)) para 4 grados de libertad, el valor está en la zona de la distribución que incluye el 5% de los valores más extremos. Este es un valor de \(t\) que es poco probable que se obtuviera por casualidad y por lo tanto concluímos que hay una real diferencia entre las dos medias.

Prueba de una y dos colas.

En el experimento que hemos descrito es posible proponer dos diferentes hipótesis nulas. En la primera podemos suponer que la aplicación del medicamento en cuestión no tiene efecto en la dilatación pupilar. Esta hipótesis no especifica si un incremento o una disminución en la dilatación pupilar refutaría la hipótesis nula. En este caso, una prueba de dos colas sería apropiada, es decir, ambas colas de la distribución \(t\) son usadas como muestra la Tabla 6 en la Figura, para probar la hipótesis de que hay un incremento o una disminución en el diámetro pupilar.

Segundo, podemos solo suponer que la aplicación del medicamento no incrementaría la dilatación pupilar dado que se sabe que no la disminuye significativamente. Este tipo de hipótesis especifica si es necesario un efecto positivo o negativo para refutar la hipótesis y por lo tanto, sería apropiada una prueba de una cola. Algunas tablas estadísticas pueden indicar las probabilidades de una y dos colas correspondientes a una columna particular. La mayoría de las tablas estadísticas, con algunas excepciones, solo indican las probabilidades de dos colas. Para encontrar las probabilidades de una cola en las tablas de dos colas, se parte la probabilidad, es decir, el 5% de las probabidades de una cola serían encontradas en la columna de 10% de dos colas.

Referencia

• Optometry Today

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¿Hay diferencia entre dos muestras? (1 de 5)

Este es un resumen de un artículo de Richard A. Amstrong y Frank Eperjesi dirigido al personal de optometría que requiera conocimientos básicos de estadística para analizar datos.

En una entrada anterior, se mostró que muchas variables en optometría pueden ser descritas como paramétricas o normalmente distribuídas. Si una variable viene de una población normalmente distribuída, entonces la población misma puede ser descrita por su media (la localización de la tendencia central de la distribución) y la desviación estándar (el grado de dispersión de la distribución).

Además, se describieron dos procedimientos estadísticos basados en esta información. Primero, determinamos si una medida individual, por ejemplo, la presión intraocular de un paciente a cierta edad, fué típica o atípica de la población de esa edad. Segundo, se mostró que la media de una pequeña muestra de medidas individuales viene de una población de medias muestrales que también se distribuye normalmente. El grado de dispersión de esta distrubución puede ser descrito por el error estándar de la media. Esta información fué usada para calcular un intervalo de confianza para la media muestral, es decir el grado de error asociado a una media muestral como un estimador de la verdadera media de la población.

En este artículo, esas ideas estadísticas se extienden al problema de probar si hay una diferencia real entre dos muestras de medidas.

Primero, se mostrará que la diferencia entre las medias de dos muestras viene de una problación de tales diferencias que se distrubuyen normalmente. Segundo, la distribución \(t\), una de las más importantes en estadística, será aplicada a una prueba de la diferencia entre dos medias usando un conjunto simple de datos tomado de un experiemnto clínico en optometría. Tercero, al hacer una prueba \(t\), se hace un juicio estadístico acerca de si hay una diferencia significativa entre las medias de dos muestras.

Antes del uso extendido de programas estadísticos, este juicio era hecho con referencia a una tabla estadística. Incluso si esas tablas no son usadas, es útil entender su estructura lógica y cómo usarlas. Finalmente, será descrito el análisis de los datos que son conocidos por estar muy separados de la distribución normal.

En las siguientes secciones, los métodos de análisis de datos descritos son ilustrados con simples conjuntos de datos. Estos datos son usados solo para ilustrar la metodología, y los efectos experimentales revelados pueden no ser necesariamente indicativos de los resultados que serían obtenidos por experimentos más detallados.

La diferencia entre pares de medias muestrales.

Para determinar si una medida individual es un miembro típico de la población entera se requiere conocer la variación de las medidas individuales, es decir, la desviación estándar de la población. Similarmente, para determinar el grado de error asociado con una media muestral se requiere conocer la variabilidad de las medias muestrales, es decir, el error estándar de la media. Por lo tanto, para determinar si hay una diferencia significativa entre las medias de dos muestras, se requiere saber el grado de variabilidad de la diferencia entre dos medias muestrales.

Consideremos dos poblaciones diferentes, la primera que sale de la medida de un parámetro visual en una muestra de individuos no tratados (grupo control) y la segunda después de tratar otra muestra de individuos con un medicamento diseñado para incrementar la dilatación pupilar (el grupo de tratamiento). Para cada muestra, se calcula la media, y la diferencia entre las medias \(\bar{C} – \bar{T}\) representa el efecto del tratamiento del experimento, es decir, el grado en que el medicamento incrementa la dilatación pupilar. Imaginemos que el experimento se repite muchas veces y se obtienen varios estimados de \(\bar{C} – \bar{T}\). La distribución de las medias muestrales representando el control y la población tratada se muestra en la figura de la izquierda, y la distribución de \(\bar{C} – \bar{T}\) se muestra en la figura de abajo.

Si las medias de los controles y los tratados, están distribuídas normalmente, entonces la distribución de las diferencias entre pares de medias tomadas de estas dos poblaciones también estará distribuída normalmente. Así, podemos usar la distribución normal estándar para probar si hay una diferencia real entre las dos medias en el experimento.

Comparando la diferencia entre dos medias.

Consideremos un experimento diseñado para probar la hipótesis nula de que una droga no tiene efecto en el grado de dilatación pupilar. Se reclutaron seis voluntarios y fueron asignados aleatoriamente a cada grupo, por ejemplo, el control \(C\) y el tratado \(T\), tres individuos a cada uno. Consecuentemente, se dice que el experimento tiene tres repeticiones. En realidad, tres repeticiones no sería un número adecuado para probar la hipótesis propuesta y se han usado por simplicidad. La cuestión de cuántos pacientes sería apropiado usar en esta y otras circunstancias será discutida en un artículo posterior. Los ojos del grupo control fueron tratados con un placebo que no tiene efectos en la dilatación pupilar. Al final del experimento los resultados obtenidos se enlistan en la Tabla 1.

\(repeticiones\)	\(grupo \hspace{2mm} control\)	\(grupo \hspace{2mm} tratado\)
1.	15	30
2.	19	27
3.	22	26
medias	18.7	27.7
desv.estan.	3.51	2.08

Al examinar el grupo de medias puede observarse que difieren por 9 unidades (ignoremos el signo), lo que sugiere que el efecto del medicamento incrementó el grado de dilatación pupilar. Hay variación, sin embargo, en el grado de dilatación mostrada por lo pacientes individuales que se incluyen en cada grupo. Así, la diferencia entre las medias podría ser atribuída al efecto del medicamento o a la variación aleatoria entre pacientes. Para decidir entre estas dos alternativas, comparamos el efecto del tratamiento \(\bar{C} – \bar{T}\) con el grado de variación conjunto de ambos grupos mediante una prueba \(t\). La fórmula para la prueba \(t\), uno de los procedimiento más comúnmente usados en el análisis de datos, es como sigue:

\[ t= \frac{\bar{C} – \bar{T} }{s \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \hspace{20mm}\dots (1) \]

donde \(s\) es un estimado de la desviación estándar basado en ambas muestras conjuntamente y \(n_1\) y \(n_2\) es el número de observaciones dentro de cada grupo. Así, el valor de \(t\) es el radio de la diferencia entre las medias y el grado de variación conjunta entre los pacientes de cada grupo. La variación conjunta (el denominador de la ecuación 1) es llamado el error estándar de la diferencia entre dos medias. Sustituyendo los datos de la tabla 1 en la ecuación 1 se tiene un valor de \(t=3.8\). Notemos que este cálculo es similar al que se obtuvo previamente cuando convertimos un valor individual \(x\) para que fuera miembro de la distribución normal estándar. En el presente ejemplo, la distribución \(t\) es usada en lugar de la distribución normal estándar porque \(t\) describe la variación de medias muestrales calculada de un pequeño número de observaciones con más exactitud. Por lo tanto, cuando \(t\) es calculada, la diferencia entre las medias \(\bar{C} – \bar{T}\) es convertida para que sea miembro de la distribución \(t\). Ahora es necesario analizar la probabilidad de obtener un valor de \(t\) de esta magnitud, que pudiera ocurrir por casualidad, digamos mediante muestras aleatorias, de dos grupos de muestras cuando cada una incluye tres observaciones.

Referencia

• Optometry Today

Foto de Peter Heeling

El plano cartesiano.

Uno de los ejercicios que practicamos hoy fué el de dibujar mediante cuadrícula.
No era una clase de dibujo, sino una práctica para aprender a usar el plano cartesiano.

Unos dibujos salieron mas derechos que otros, pero en general estuvieron bien.

También vimos un video sobre expresiones algebraicas, explicado por Troncho y Poncho. Pueden buscar más videos de matemáticas con estos excelentes maestros en su canal de Youtube.

Matemáticas para sexto.

Hoy repasamos varios temas: conjuntos, el Teorema de Pitágoras, obtener una gráfica de una tabla y dos propiedades de la suma.

1. Un conjunto es una colección de elementos. Vimos, con unos ejemplos, que un conjunto puede anotarse de la suguiente manera, y pedimos que fueran conjuntos de 8 elementos.

   A={animales de la granja}
   M={mamiferos}
   F={frutas}
   U={conjunto que contiene a todos los anteriores}

   Formamos el conjunto A con 8 animales de la granja, el M con 8 mamíferos, el F con 8 frutas y el conjunto universo U que contiene a todos los demás. Luego dibujamos figuras que representaran a los conjuntos que formamos y nos dimos cuenta de que algunos conjuntos se intersectaban cuando escogimos animales de la granja que tambien resultadon ser mamíferos y estaban en el conjunto A y en el conjunto M al mismo tiempo.

   También conocimos el conjunto vacío que es el que no tiene elementos.

   
2. Hicimos la demostración del Teorema de Pitágoras con una actividad en la que dibujamos un triángulo rectángulo, recortamos el cuadrado de cada uno de los catetos y con esos dos cuadrados formamos el cuadrado de la hipotenusa. Esa tarea fué muy divertida.
3. También hicimos una tabla donde anotamos cuántas patas tenemos por cada gato en nuestra casa, y con esa tabla hicimos una gráfica.
   
   

   \(gato\)	\(patas\)
   1	4
   2	8
   3	12
   g	4g

   
   
   
4. Finalmente vimos dos propiedades de la suma: la asociativa, que nos permite agrupar de diferentes maneras los sumandos sin que la suma cambie; y la conmutativa, que nos permite cambiar de lugar los sumandos sin alterar el resultado.
   
   
   
   a+b+c=a+(b+c) \(\hspace{8mm}\) propiedad asociativa
   a+b+c=b+c+a \(\hspace{8mm}\) propiedad conmutativa

Imagen de Mr.Insect

Otros dos ejercicios del Cobach

1. Se va a construir una caja rectangular abierta con base cuadrada y un volumen de 32000 \(cm^3\). Encuentra las dimensiones que requieran la menor cantidad de material.

Conocemos el dato del volumen y las dimensiones que lo componen, es decir \(V=x^2y=32000\). También sabemos cómo calcular la superficie de la caja que se compone de una base cuadrada de área \(x^2\) y cuatro caras rectangulares de área \(xy\) dando una superficie total de \(x^2+4xy\). Esta es una función porque su valor cambia cuando cambiamos las medidas de las variables, es decir, el ancho y el alto de la caja.

De la fórmula del volumen se puede despejar la \(y\) y sustituirla en la función para que dependa solo de una variable: \(y=\frac{32000}{x^2}\).

$$ s(x)=x^2+\frac{128000}{x} $$ ahora se puede derivar, igualar a cero y calcular las soluciones

$$ s'(x)=2x-\frac{128000}{x^2}=0 $$ $$ 2x=\frac{128000}{x^2} \Rightarrow x^3=64000 $$ Por lo tanto \( x=40\) y \( y=20\). Puede verificarse que cuando se toma un valor un poco más grande o un poco más chico para \( x\) la superficie de la caja mide más. Pero eso les toca a ustedes.

2. Un ranchero tiene 3000 pies de cerca. Determina las dimensiones de un corral rectangular que abarque la mayor área.

En este ejercicio tenemos el dato del perímetro que se quiere, \( P=2x+2y=3000\); el área será \( A=xy\) pero se despeja una variable del perímetro y se sustituye en la función del área. \( y=1500-x\)...(*) por lo que $$ A=1500x-x^2 $$ ahora se deriva, se iguala a cero y se buscan soluciones $$ A'(x)=1500-2x=0 \Rightarrow 1500=2x $$ por lo que \( x=750\) y despejando de (*) se tiene que \( y=750\). Como en el ejemplo anterior puede verificarse que el área sea la mayor modificando el valor de \( x\) para calcularla.

Y para terminar les dejo un texto con algunos problemas resueltos a partir de la página 166 como los que les puso el maestro de tarea. Encontré el del cilindro, el del rancho, el de la cajita y el de la ventana. Solo tendrán que cambiar las medidas pero todo lo demás es igual. Agradezco a Luis Castro Pérez de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo por el documento. Suerte.

gracias a quien me mandó la foto del encabezado.

ejercicios de matemáticas para sexto de primaria.

Como les platiqué en la mañana, hay un sitio de internet que tiene ejercicios de matemáticas para todos los grados de primaria, secundaria y preparatoria.

Para que estudien en su tiempo libre les dejo el enlace.

Aprende.org.

Otro sitio de internet que tiene ejercicios de matemáticas para sexto es Matemáticas Mamut, del que les dejo un ejercicio de ejemplo.

Foto de los traviesos de los sábados.

Máximos y mínimos. 28 de enero 2017.

Encuentra y clasifica los puntos críticos de las siguientes funciones:

1. $$ f(x)=x^3-3x^2-24x+2 $$
Para encontrar los puntos críticos se procede como sigue:

• calculamos la primer derivada,
• igualamos la primer derivada a cero y buscamos la solución, es decir, para qué valores de \( x \) la primer derivada vale cero. Esos son los puntos críticos.
• calculamos la segunda derivada y evaluamos los puntos críticos en ella. Si resulta un número positivo es un mínimo y si resulta un número negativo es un máximo.
• evaluamos los puntos críticos en la función original para encontrar el otro valor del par ordenado.

Entonces la primer derivada de \( f(x) \) es \( f'(x)=3x^2-6x-24 \) y al simplificar e igualar a cero
$$ x^2-2x-8=0 $$ ahora debemos encontrar la solución, es decir los números que hacen que lo anterior se cumpla y para ello se puede descomponer en el producto de dos binomios si encontramos dos números que sumados den -2 y multiplicados den -8 y tendremos \((x+2)(x-4)=0 \) por lo que una solución es \( x=-2 \) y \( x=4 \). Ahora sabemos que tenemos dos puntos críticos pero no sabemos sin son mínimos o máximos por lo que nos vamos a la segunda derivada.
$$ f''(x)=6x-6 $$ y se procede a evaluar los puntos críticos en esta segunda derivada.

$$f''(-2)=-12-6=-18 $$ $$f''(4)=24-6=18 $$ por lo que el primero es un máximo y el segundo un mínimo.

Finalmente evaluamos los puntos críticos en \( f(x) \) para completar el par ordenado.
$$ f(-2)=(-2)^3-3(-2)^-24(-2)+2=30 $$ $$ f(4)=(4)^3-3(4)^-24(4)+2=-78 $$ con lo que tenemos los pares ordenados o puntos \((-2,30)\) y \((4,-78) \).

2. $$ h(x)=2x^3-15x^2-36x $$
la primer derivada
$$ h'(x)=6x^2-30x-36 $$ se puede simplificar dividiendo entre 6 y se iguala a cero.
$$ x^2-5x-6=0 $$ ahora se buscan las soluciones \((x-6)(x+1)=0\) entonces \(x=6\) y \(x=-1\)
y se calcula la segunda derivada
$$ h''(x)=12x-30 $$ y se calcula
$$ h''(6)=12(6)-30=42 $$ $$ h''(-1)=12(-1)-30=-42 $$ por lo que se ve que el primero es un mínimo y el segundo un máximo.
Y para conocer el otro valor de cada punto se calcula \(h(6)\) y \(h(-1)\).



3. $$m(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-15x^2-5 $$
primer derivada
$$m'(x)=x^3+x^2-30x $$
que se puede descomponer en:
$$x(x^2+x-30) $$
que tendrá que igualarse a 0 para encontrar los puntos críticos. Para que la ecuación de arriba sea igual a 0 es necesario que \(x=0\) o que \(x^2+x-30=0\). Y entonces tendremos 3 valores críticos:
\(x=0\), \(x=-6\), \(x=5\), y cómo supe lo anterior? con la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado: $$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
Ahora que tengo los valores críticos calculo la segunda derivada

$$m''(x)=3x^2+2x-30 $$
$$m''(0)=3*0^2+2*0-30=-30 $$ entonces es un máximo
$$m''(-6)=3*(-6)^2+2*(-6)-30=66 $$ entonces es un mínimo
$$m''(5)=3*5^2+2*5-30 =55 $$ entonces es un mínimo.

Ahora queremos conocer el valor de \(y \) para cada uno de los anteriores valores de \( x \) y con eso tendremos la ubicación de los puntos críticos.
$$m(0)=-5 $$
$$m(-6)=-293 $$
$$m(5)=182 $$
Lo anterior nos dice que en el punto \((0,-5)\) hay un máximo; en el punto \((-6,-293)\) hay un mínimo y en el punto \((5,-182)\) hay un mínimo.

4. Para resolver el ejercicio 4 empezamos igual que siempre, calculando la primer derivada.
$$ H(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+5x+1 $$
$$ H'(x)=x^3-5x^2-x+5 $$
Luego como no podemos usar el mismo recurso que en el caso anterior, la grafico en el FooPlot para ver por dónde andan los puntos críticos.

El mismo programa nos indica que los puntos críticos están en \( x=1 \), \( x=-1 \) y \( x=5 \), lo que se comprueba fácilmente cuando calculamos:
\(H'(1)=0\), \( H'(-1)=0 \) y \( H'(5)=0 \).
Ahora se calcula la segunda derivada y se evalúan los puntos críticos en ella:

$$ H''(x)=3x^2-10x-1 $$
$$ H''(1)=-8 $$
es un máximo
$$ H''(-1)=12 $$
es un mínimo
$$ H''(5)=24 $$
es un mínimo

Y para conocer la ubicación exacta del punto es necesario calcular el valor de \( y \).

$$ H(1)=4.083 $$ $$ H(-1)=-2.58 $$ $$ H(5)=-38.58 $$

Para el ejercicio 4 era necesario saber resolver ecuaciones de tercer grado. Para resolverlas existen algunos métodos que pueden aprenderse con instrucciones que están en la red. Pero no sé cuál hubiera sido el preferido del maestro.

5. Esta está un poco larga.

$$ g(x)=(x-1)^2\sqrt[3]{x+2} $$
Recordemos que la derivada de un producto es el primer factor por la derivada del segundo mas el segundo factor por la derivada del primero. Podemos acomodar ambos en forma de exponentes para que se vea más claro.
$$ g(x)=(x-1)^2 (x+2)^{\frac{1}{3}} $$
y la derivada
$$ g'(x)=\frac{(x-1)^2}{3(x+2)^{\frac{2}{3}}}+2(x+2)^{\frac{1}{3}}(x-1)=$$
y sacamos la suma
$$ \frac{(x-1)^2+6(x+2)^{\frac{2}{3}}(x+2)^{\frac{1}{3}}(x-1)}{3(x+2)^{\frac{2}{3}}}= $$
primero te fijas que si multiplicamos \((x+2)^{\frac{2}{3}} \) por \((x+2)^{\frac{1}{3}} \) el resultado es \( (x+2) \). Y en segundo lugar sacamos \( (x-1) \) como factor común
$$ \frac{(x-1)[x-1+6(x+2)]}{3(x+2)^{\frac{2}{3}}}= $$
resolvemos lo que está dentro del corchete
$$ \frac{(x-1)[7x+11]}{3(x+2)^{\frac{2}{3}}} $$
aquí puede verse claramente que la derivada será 0 cuando \( x=1 \) o cuando \( x=\frac{-11}{7}=-1.57 \). Lo que sigue es calcular la segunda derivada y evaluar esos dos puntos para saber si son mínimos o máximos pero podemos conocer el resultado cuando los graficamos.

Aquí ya sabemos que para conocer el valor de \( y \) se debe calcular el valor en la función: \( g(1) \) y \( g(-1.57) \).



6. Considera la función \( L(x)=x+\frac{1}{x} \) y demuestra que el mínimo local es mayor que el máximo local.

Calculamos la primer derivada, igualamos a cero y encontramos las soluciones.

$$L'(x)=1-\frac{1}{x^2} =0 $$ $$ 1=\frac{1}{x^2} $$ $$ x^2=1 $$ entonces \(x=\pm 1\).
Evaluamos en la segunda derivada los puntos encontrados
$$ L''(x)=\frac{2}{x^3} $$ $$ L''(1)=2 $$ $$ L''(-1)=-2 $$ y ahora se sabe que en \(x=1\) hay un mínimo y en \(x=-1\) hay un máximo. Enseguida se busca la ubicación: \(L(1)=2\) y \(L(-1)=-2\).

Y vemos la gráfica.

7. Encuentra dos números no negativos cuyo producto sea 50 y cuya suma sea mínima. Tenemos un requisito que deben cumplir los números que llamaremos \(x\) y \(y\), ya que nos dicen que \(x*y=50\) y tenemos una función \(S(x,y)=x+y\) que depende de dos variables pero podemos convertir en una función de una sola variable si hacemos que \(y\) dependa de \(x\), despejando del dato que conocemos: \(x*y=50 \Rightarrow y=\frac{50}{x}\) y se sustituye en \(S\) para obtener
$$ S(x)=x+\frac{50}{x} $$ Ahora tenemos una función de una variable que podemos derivar, igualar a 0 y graficar.
$$ S'(x)=1-\frac{50}{x^2}=0\Rightarrow 1=\frac{50}{x^2} \Rightarrow x^2=50 \Rightarrow x=\sqrt{50}=\pm 7.07 $$ pero solo tomamos el valor que no es negativo porque lo pide el problema. Entonces para \(x=7.07\) se tiene que \(y=\frac{50}{7.07}=7.07\) y vemos que al graficar se cumple que sea un mínimo

8. $$G(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-8x+1 $$ $$ G'(x)=x^2-2x-8=0 $$ $$(x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x=4, \hspace{5mm} x=-2 $$

$$ G''(x)=2x-2 $$ $$ G''(4)=2(4)-2=6 \hspace{5mm} mínimo$$ $$ G''(-2)=2(-2)-2=-6 \hspace{5mm} máximo$$

Solo falta calcular \(G(4)\) y \(G(-2)\)



9.Determina un número que exceda a su cuadrado en la mayor cantidad.

Entonces se tiene la diferencia \(x-x^2\) y se quiere que sea máxima. Con ese dato se puede componer la función \(r(x)=x-x^2\) que se usará para derivar, igualar a cero y encontrar el valor indicado. $$ r'(x)=1-2x=0 \Rightarrow 1=2x \Rightarrow x=\frac{1}{2} \Rightarrow r(1/2)=1/4 $$ como se ve en la gráfica de abajo.

La foto del encabezado la publicó alguno de mis contactos del watsap. Gracias.