Estadística para optometristas: Cómo detectar errores en la literatura médica.

Este es un resumen del artículo Biostatistics: How to Detect, Correct and Prevent Errors in the Medical Literature escrito por Stanton A. Glantz, PH.D.

Aproximadamente la mitad de los artículos publicados en las revistas médicas que usan métodos estadísticos los usan incorrectamente. Estos errores son tan comunes que el presente sistema de revisión por pares no ha sido capaz de controlarlos. Este artículo intenta ayudar a identificar análisis estadísticos cuestionables.

Los errores en el diseño experimental y el uso incorrecto de las técnicas estadísticas elementales, es especialmente importante en estudios clínicos. Estos errores pueden llevar a los investigadores a reportar un tratamiento o una prueba diagnóstica como de valor estadísticamente demostrado cuando, de hecho, los datos no apoyan esa conclusión.

Los médicos que creen que un tratamiento ha probado ser efectivo, en base a la publicación en una revista acreditada, pueden usarlo para sus pacientes.

Los estudios científicos deben ser diseñados e interpretados correctamente para evitar los costos asociados con los errores: se gasta dinero, se sacrifican animales, y los humanos son puestos en riesgo para recabar datos que no son correctamente interpretados.

La mejor solución a este problema es mejorar la calidad del análisis estadístico en la investigación biomédica. Por mientras, hay algunas reglas de oro que el lector puede usar para detectar errores potenciales y estimar lo que el autor hubiera concluído si las técnicas estadísticas hubieran sido aplicadas a los datos correctamente. Estas son: 1) la diferencia entre la desviación estandar y el error estandar de la media; 2) el significado de p; y 3) errores comunes en el uso de la prueba t y cómo compensarlos.

La diferencia entre la desviación estandar y el error estandar de la media.

Los datos experimentales con frecuencia están resumidos como $media$, $\pm SD$, $SE$ o $SEM$. $SD$ se refiere a desviación estandar y $SE$ y $SEM$ a error estandar de la media. Estas dos cantidades no son equivalentes; cuantifican diferentes cosas.

Cuando la variable observada se comporta de manera tal que cualquier observación tiene la misma probabilidad de estar por arriba o por debajo de la media, y más probable de estar cerca de la media que lejos de ella, tiene sentido cuantificar la dispersión de los valores usando la desviación estandar. Bajo estas condiciones, la desviación estandar tiene la propiedad útil de que aproximadamente el 68% de las observaciones estarán dentro de una desviación estandar de la media y aproximadamente el 95% de las observaciones estarán dentro de 2 desviaciones estandar de la media. Esta propiedad hace que la desviación estandar sea una buena manera de resumir la variabilidad en los datos con un solo número.

Por ejemplo, un artículo reportando que la presión sanguínea diastólica (PSD) en adultos saludables es $78 \pm 6 mmHg (mean ± SD)$, implica que aproximadamente el 95% de todos los adultos saludables tienen una presión sanguínea diastólica en un intervalo de $2 \times 6 mmHg=12 mmHg$ alrededor de 78 mmHg, es decir, 66-90 mmHg.

La “regla de las 2 SD” es una buena regla de oro. Cuando es igualmente probable para las observaciones, estar por arriba o por debajo de la media y más probable estar cerca que lejos de la media, alrededor del 95% de ellas estará dentro de 2 desviaciones estandar a cada lado de la media.

Si un autor reporta el error estandar de la media y el tamaño de muestra, un lector puede calcular la SD usando la fórmula $$SD = SEM \times \sqrt{tamaño - muestra}$$

La confusión entre el error estándar de la media con la desviación estándar puede ser engañosa. Por ejemplo, si un artículo reporta que la PSD en 9 adultos saludables fué 78 ± 2 mmHg (mean ± SEM). ¿Cuál es el rango de presión diastólica que debería incluir aproximadamente el 95% de las observaciones? El error estandar de la media es 2 y el tamaño de muestra es 9, así que la $SD=2\times 3mmHg=6 mmHg$. La respuesta es 66-90 mmHg, como antes. Pero aplicar la “regla de las 2SD” con el error estandar de la media estimaría este rango en 74-82 mmHg, que es 16mmHg más angosto.

En un experimento un investigador raramente estudia todos los posibles miembros de una población, sino solo una pequeña muestra representativa. El valor medio calculado a partir de esa muestra es un estimado del valor medio real que sería calculado si fuera posible observar a todos los miembros de la población.

Debido a que la muestra usada para calcular la media consiste en individuos extraídos al azar de la población estudiada, no hay nada especial acerca de esta muestra o su media. En particular, habiendo podido tomar una muestra diferente se pudo obtener otra media. En cada caso se tiene una media y cada una de estas medias muestrales es un estimado de la verdadera media poblacional.

En teoría, uno podría calcular las medias de todas las posibles muestras conteniendo el número de observaciones que el investigador decida examinar. En general, cada una de estas medias muestrales será diferente de las otras, pero todas se agruparán alrededor del valor medio verdadero que sería calculado si fuera posible observar a todos los miembros de la población. La desviación estandar de todas las posibles medias muestrales es el error estandar de la media.

Así que el error estandar de la media no cuantifica la variabilidad de las observaciones, como lo hace la SD, sino la precisión con la cual una media muestral estima la media poblacional. Debido a que el error estandar de la media es la desviación estandar del conjunto de todas las posibles medias muestrales, podemos aplicar la “regla de las 2SD” para poder afirmar: hay aproximadamente un 95% de probabilidad de que la verdadera media de la problación de la cual se extrajo la muestra esté dentro de dos errores estandar del promedio de las medias muestrales. Esto es, el error estandar de la media cuantifica la certeza con la cual uno puede estimar la verdadera media poblacional a partir de una muestra.

Regresando al ejemplo de la PSD, la muestra de nueve adultos saludables le permite al lector tener un 95% de confianza de que la media de la PSD de todos los adultos saludables está en 74-82 mmHg. Mientras que este hecho es con frecuencia de interés, nada dice acerca de la variabilidad de los datos. La SD contiene esta información. Así, la desviación estandar y no el error estandar de la media, debería ser usado para resumir los datos.

El significado de p.

Además de resumir los datos, las técnicas estadísticas permiten a los investigadores probar si sus observaciones son consistentes con sus hipótesis. El resultado de tales procedimientos es llamado nivel de significancia o p-valor.

Para entender lo que significa p se requiere entender la lógica de la prueba de hipótesis estadística.

Por ejemplo, supongamos que un investigador quiere probar si un medicamento altera la agudeza visual. El experimento obvio es seleccionar dos grupos de personas similares, administrar un placebo a un grupo y el medicamento al otro, medir la agudeza visual en ambos grupos, entonces calcular la media y la desviación estandar de las agudezas visuales medidas en cada grupo. La respuesta media de los dos grupos probablemente será diferente, independientemente si el fármaco tiene un efecto, por la misma razón que diferentes muestras aleatorias tomadas de la misma población producen diferentes estimados de la media. Por lo tanto, la cuestión se vuelve: ¿la diferencia en la agueza visual media en los dos grupos se debe a una variación aleatoria o se debe al fármaco?

Para contestar, los estadísticos primero cuantifican la diferencia observada entre las dos muestras con un simple número llamado estadístico de prueba, tal como t. Mientras más grande la diferencia entre las muestras, más grande el valor del estadístico de prueba. Si la droga no tiene efecto, el estadístico de prueba será un número pequeño. Pero ¿qué es “pequeño”?

Para encontrar la frontera entre valor “pequeño” y “grande” del mejor estadístico, los estadísticos asumen que el fármaco no afecta la agudeza visual. Si esta suposición es correcta, los dos grupos de personas son simples muestras aleatorias de una sola población, donde todos reciben un placebo (porque el fármaco es en efecto un placebo). En teoría, el estadístico repite el experimento, usando todas las posibles muestras de personas, y calcula el estadístico de prueba para cada experimento hipotético. Así como la variación aleatoria produce diferentes valores de las medias de diferentes muestras, este procedimiento dará lugar a una gama de valores del estadístico de prueba. La mayoría de esos valores será relativamente pequeño, pero la pura mala suerte requiere que existan algunas muestras que no son representativas de la población. Estas muestras producirán valores relativamente grandes del estadístico de prueba, aún si el fármaco no tiene efecto. Este ejercicio produce solo algunos valores del estadístico de prueba, por decir 5% de ellos, arriba del punto de corte.

El estadístico de prueba es “grande” si es más grande que este punto de corte. Hay tablas que contienen los valores de estos puntos de corte en la mayoría de los libros de estadística. Habiendo determinado este punto de corte, realizamos un experimento en un fármaco con propiedades desconocidas y calculamos el estadístico de prueba. Es “grande”. Por lo tanto concluímos que hay menos del 5% de probabilidad de observar los datos que lleven a calcular el valor del estadístico de prueba si la suposición de que el fármaco no tiene efecto fuera verdadera.

Tradicionalmente, cuando las probabilidades de observar el estadístico de prueba calculado si la intervención no tiene efecto son de menos de 5%, uno rechaza la hipótesis de trabajo de que el fármaco no tiene efecto y afirma que el fármaco tiene un efecto. Existe, por supuesto, alrededor del 5% de probabilidad de que esta afirmación esté equivocada. Este 5% es el “p-valor” o “nivel de significancia”.

Precisamente el p-valor es la probabilidad de obtener un valor del estadístico de prueba tan grande o más grande que el calculado de los datos cuando en realidad no hay diferencias entre los diferentes tratamientos. En otras palabras, el p-valor es la probabilidad de estar equivocado cuando se asegura que existe una diferencia verdadera. Si uno asegura que hay diferencia cuando p< 0.05, uno acepta el hecho de que, a largo plazo, afirmar que hay una diferencia, será un error una de cada 20 veces.

Comúnmente se cree que el p-valor es la probabilidad de cometer un error. Obviamente hay dos maneras en que un investigador puede llegar a conclusiones equivocadas en base a los datos: puede reportar que el tratamiento tiene un efecto cuando en realidad no lo tiene, o puede reportar que el tratamiento no tiene un efecto cuando en realidad sí lo tiene. El p-valor solo cuantifica la probabilidad de cometer el error del primer tipo (error tipo I) concluyendo erróneamente que el tratamiento tiene un efecto cuando en realidad no lo tiene. Esto no da información acerca de la probabilidad de cometer el segundo tipo de error (error tipo II) concluyendo que el tratamiento no tiene efecto cuando en realidad sí tiene.

Errores comunes en el uso de la prueba t y cómo compensarlos.

La prueba t es usada para calcular la probabilidad de estar equivocado (el p-valor) cuando se asegura que la media de los valores de dos tratamientos es diferente. Puede probarse la hipótesis de que un fármaco no tiene efectos en la presión intraocular. La prueba t también es amplia pero erróneamente usada para probar diferencias entre más de dos grupos comparando todos los posibles pares de medias con pruebas t.

Por ejemplo, supongamos que un investigador mide la presión intraocular bajo una condición de control, en presencia del fármaco A y en presencia del fármaco B. Es común realizar 3 pruebas t en estos datos: una para comparar controles vs fármaco A, una para comparar controles vs fármaco B, y otra para comparar fármaco A vs fármaco B.

Esta práctica es incorrecta porque la verdadera probabilidad de concluir erróneamente que el fármaco afecta la presión intraocular más allá del nivel normal, digamos 5%, se utiliza cuando se busca el valor de corte "grande" del estadístico t en una tabla.

Para entender esto, reconsideremos el experimento descrito en el último párrafo. Si el valor del estadístico t calculado en una de las tres comparaciones descritas está en el 5% de los valores más extremos que ocurrirían si el fármaco realmente no tuviera efecto, rechazaremos la suposición y aseguraremos que el fármaco cambió la presión intraocular. Estaremos satisfechos si p<0.05, y estamos dispuestos a aceptar el hecho de que una declaración en 20 estará equivocada.

Por lo tanto cuando probamos control vs fármaco A, podemos afirmar erróneamente que existe una diferencia el 5% de las veces. Similarmente, cuando probamos control vs fármaco B, podemos erróneamente afirmar que tenemos una diferencia 5% de las veces, y cuando probamos fármaco A vs fármaco B, podemos erróneamente afirmar que hay una diferencia el 5% de las veces. Por lo tanto, cuando se consideran las tres pruebas como un grupo, esperamos concluir que al menos un par de los grupos difiere alrededor de 5%+5%+5%=15% de las veces, incluso si los fármacos no afectan la presión intraocular.

En general, simplemente sumando los p valores obtenidos en múltiples pruebas se produce un estimado realista y conservador del verdadero p-valor para el conjunto de comparaciones.

Terminamos la discusión de la prueba t con tres reglas de oro:

1. La prueba t debería ser usada para probar la hipótesis de que las medias de dos grupos no son diferentes.
2. Cuando el diseño experimental incluye múltiples grupos, deberían ser usadas otras pruebas, como el análisis de varianza o la generalización multigrupo de la prueba t.
3. Cuando la prueba t es usada para probar diferencias entre múltiples grupos, el lector puede estimar el verdadero p-valor multiplicando el p-valor reportado por el número de posibles pruebas t.

En el ejemplo anterior hubo tres pruebas t, así que un p-valor efectivo era alrededor de 3X0.05=0.15, o 15%. Cuando comparamos cuatro grupos hay seis posibles pruebas t (1vs2, 1vs3, 1vs4, 2vs3, 2vs4, 3vs4); así, si el autor concluye que hay una diferencia y reporta p < 0.05, el p-valor efectivo es alrededor de 6X0.05=0.30; hay alrededor de 30% de probabilidad de hacer al menos una afirmación incorrecta si se concluye que el tratamiento tiene un efecto.

Estas reglas de oro pueden ayudar a los lectores a detectar y corregir el uso equivocado de la estadística. Obviamente sería mejor mantener esos errores fuera de las publicaciones o, aún mejor, corregirlos durante la investigación.

¿Cómo pueden prevenirse estos errores?

Primero, los editores de las revistas deberían insistir en que se usen correctamente los métodos estadísticos. Segundo, los comités de investigación no deberían aprobar experimentos si el estudio propuesto está diseñado pobremente o los datos resultantes no serán analizados correctamente. Estas dos acciones obligarán a los investigadores médicos a aprender la suficiente estadística elemental para diseñar sus experimentos y analizar sus datos correctamente, y reconocer casos que requieran ayuda de un estadístico profesional.

Esto no es un llamado a que los clínicos se vuelvan estadísticos. Prácticamente todos los errores en cuestión tienen que ver con el mal uso del material discutido en la mayoría de los libros de texto introductorios de estadística. El rechazo de un artículo debería motivar a los investigadores a aprender estadística elemental.

Referencia

• Circulation

Foto de SuriSul

Ejercicios Cobach Norte 24 septiembre 2016.

Ejercicios de repaso.

1. Resolver $$\lbrace 31-\left[ 17 \times (23-20)-150\div 6 \right]+9 \times2\rbrace \div 23 \cdots (1)$$ para resolver este ejercicio empezamos haciendo un plan para que el ejercicio se vaya simplificando. Entonces podemos empezar por resolver el paréntesis que está en el centro: $\left(23-20\right)=3$ con lo que la operaci[on (1) se reescribe como $$\lbrace 31-\left[ 17 \times (3)-150\div 6 \right]+9 \times2\rbrace \div 23$$ luego podemos resolver el corchete $$\left[ 17 \times (3)-150\div 6 \right]$$ para lo cual empezamos por resolver las multiplicaciones y divisiones dentro del corchete y finalmente las sumas y restas dentro del corchete. Vamos a poner entre paréntesis las operaciones a realizar, luego vamos a resolver los paréntesis, y finalmente la resta de los paréntesis. $$\left[ ( 17 \times 3)- (150\div 6) \right]=\left[ ( 51)- (25) \right]=\left[ 26 \right]$$ Ahora nos regresamos a la operación (1) y en lugar del corchete ponemos nuestro resultado $$\lbrace 31-\left[ 26 \right]+9 \times2\rbrace \div 23$$ ahora vamos a resolver lo que está dentro de la llave y vemos que queda una suma, una resta y una multiplicación. Resolvemos, como se dijo antes, primero la multiplicación. Podemos ponerla entre paréntesis. Después de resolver la multiplicación solo quedará una suma que se resuelve como ya sabemos $$\lbrace 31-\left[ 26 \right]+(9 \times2)\rbrace =\lbrace 31-\left[ 26 \right]+(18)\rbrace = \lbrace 31- 26+18\rbrace =\lbrace 23 \rbrace$$ nos regresamos nuevamente a la operación (1) y en lugar de la llave ponemos el resultado y hacemos la operación $$\lbrace 23 \rbrace \div 23 = 23 \div 23= 1$$
2. Hallar la respuesta de la siguiente suma de fracciones $$\frac{-19}{5}+\frac{19}{9}-\frac{17}{3}+\frac{23}{15}-\frac{2}{45} \hspace{3cm}\cdots (2)$$ recordemos que para sumar o restar fracciones primero debemos hacer que las fracciones tengan el mismo denominador (común denominador). La palabra denominador viene de "dar nombre". Vamos a sumar — o restar — cosas que tienen el mismo nombre: medios, cuartos quinceavos, octavos, etc. Como nos decía la maestra en la primaria, "no podemos sumar peras con manzanas". Esta es la razón por la que queremos un común denominador que nos permita sumar cosas que se llamen igual. Para encontrar un común denominador necesitamos encontrar un número que se pueda dividir entre todos los denominadores que tenemos, es decir, que sea un múltiplo común de nuestros denominadores. Pero también queremos que sea el más chico de los múltiplos comunes, es decir que sea el mínimo común múltiplo.

   Si analizamos los denominadores que tenemos en esta operación, $5,9,3,15,45$ y escogemos el mayor para ver si puede dividirse exactamente entre el resto vemos que sí. Eso hace que podamos elegir el 45 como el mínimo común múltiplo que necesitamos.

   Lo anterior quiere decir que decidimos hacer una suma de 45avos para lo que necesitamos convertir cada una de nuestras fracciones a 45avos. ¿y cómo se hace eso?

   Recordemos que una propiedad de los enteros es que cualquier número $a$ multiplicado por 1 es igual al mismo número $a$, es decir $1 \times a = a$. Pero también tienen la propiedad de que $a \div a =1$.

   Ahora ya sabemos qué se puede hacer para convertir cada una de las fracciones. Tomo la primera fracción $\frac{-19}{5}$ y para convertir los quintos en 45avos debería multiplicar $5 \times 9$, pero también necesito que la fracción siga siendo la misma y no otra. Entonces solo puedo multiplicarla por $1=\frac{9}{9}$ para lo que hago lo siguiente: $$\frac{-19}{5}\times \frac{9}{9}=\frac{-171}{45}$$ y así tenemos la primer fracción convertida en 45avos.

   Si seguimos haciendo la misma operación con las otras cuatro fracciones tendremos el siguiente resultado: $$\frac{19}{9}\times \frac{5}{5}=\frac{95}{45}$$ $$\frac{-17}{3}\times \frac{15}{15}=\frac{-255}{45}$$ $$\frac{23}{15}\times \frac{3}{3}=\frac{69}{45}$$ y la última fracción la dejamos igual porque ya está convertida a 45avos.

   Si nos regresamos a la operación (2) y en lugar de las fracciones iniciales ponemos sus equivalentes convertidos a 45avos tendremos: $$\frac{-171}{45}+\frac{95}{45}-\frac{255}{45}+\frac{69}{45}-\frac{2}{45}$$ ahora que todas las fracciones tienen el mismo denominador, es decir, que se llaman igual, podemos sumarlas; y como tienen el mismo denominador podemos escribirlas así $$\frac{-171+95-255+69-2}{45}=\frac{-264}{45}$$

3. La familia Restrepo consumió el domingo $\frac{1}{2}$ de una pizza y el lunes consumió $\frac{2}{7}$ del resto de la pizza. ¿cuánta cantidad de pizza les falta por consumir?

   Aquí el secreto está en poner atención a la información que nos dan: el lunes consumió $\frac{2}{7}$ del resto de la pizza. Porque el resto de la pizza era $\frac{1}{2}$ que había quedado después de que el domingo se comieron $\frac{1}{2}$. Por lo tanto tenemos que calcular $\frac{2}{7}$ de $\frac{1}{2}$ $$\frac{2}{7}\times \frac{1}{2}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$$ entonces el lunes consumieron $\frac{1}{7}$ y el domingo consumieron $\frac{1}{2}$. Si sumamos los dos consumos tenemos $$\frac{1}{7}+\frac{1}{2}=\frac{2+7}{14}=\frac{9}{14}$$ y como la pizza entera tiene $\frac{14}{14}$ concluímos que les quedan $\frac{5}{14}$ por consumir.

4. Realiza las siguientes operaciones, simplifica el resultado.
   • a) $$4+8+3+12+2+3=$$ este ejercicio podemos resolverlo de la manera usual, o podemos usar las propiedades de la suma, por ejemplo, primero cambiando los sumandos de lugar, luego agrupando con paréntesis y finalmente resolviendo $$(4+3+3)+(8+2)+12=(10)+(10)+12=32$$
   • b) $$-6+2+23-18-42+7=$$ $$(-6-18-42)+(2+23+7)=(-66)+(32)=-34$$
   • c) $$-\frac{3}{4}+\frac{5}{2}-\frac{1}{6}=$$

     como explicamos antes, necesitamos encontrar un denominador común que sea el mínimo común múltiplo. Si multiplicamos $6 \times 4=24$ tenemos un común múltiplo, pero no es el mínimo. En cambio si multiplicamos $6 \times 2=12$ ahora sí tenemos el mínimo común múltiplo, porque no podremos encontrar otro menor que éste.

     Luego resolvemos como se hizo anteriormente y tendremos $$\frac{-9+30-2}{12}=\frac{19}{12}$$

   • d) $$-\frac{5}{6}+\frac{3}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{8}=$$ aquí nuevamente buscamos el mínimo común múltiplo que será el 24 y resolvemos $$\frac{-20+36-16+3}{24}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}$$

5. En una paletería se utilizan 6 litros de nieve para hacer 100 conos. ¿cuántos litros de nieve se requieren para hacer 325 conos?

   La primera opción que se nos ocurre usar es la regla de 3. $$\frac{6 litros}{ 100 conos }\propto \frac{ X litros }{ 325 conos}$$ y se resuelve multiplicando los extremos diagonales conocidos y dividiendo entre el término de la diagonal donde tenemos la incógnita. En este caso sería $\frac{6 \times 325}{100}=19.5$.

   También, como alguien sugirió en clase, podemos tomar dos razones quivalentes con una incógnita $$\frac{6}{100}=\frac{X}{325}$$ despejamos la incógnita $$X=\frac{6\times 325}{100}=19.5$$

   O, según otra sugerencia, podemos hacer una tabla: si con 6 litros hacemos 100 conos, entonces necesitamos 18 litros para hacer 300 conos, y la cuarta parte de 100 conos, es decir 25 conos podremos hacerlos con la cuarta parte de 6 litros, es decir $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ que es un litro y medio que sumados a los 18 nos dan 19.5 litros con los que hacemos 325 conos.

6. Un automóvil tiene un rendimiento de 19 km por litro de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina necesita para recorrer 220 km?

   Igual que en el anterior problema podemos usar la regla de 3. $$\frac{19 km}{ 1 L }\propto \frac{ 220 km}{ X L}$$ que se resuelve $$\frac{220 \times 1}{19}=11.57$$

7. Realiza las siguientes operaciones eliminando los símbolos de agrupación

   • $$(-7)- \lbrace 9-\left[ (-7)+(-13)-(-5) \right]+\left[23-(18)+(-6) \right]\rbrace=\cdots (a)$$ si resolvemos el primer corchete $$\left[(-7)+(-13)-(-5)\right] = \left[-7-13+5\right]=\left[-15\right]$$ en el paso anterior primero eliminamos los paréntesis poniendo atención a los signos, y luego resolvemos. Regresando a la operación (a) se puede resolver el segundo corchete $$\left[23-(18)+(-6) \right]=\left[23-18-6 \right] =-1$$ y ya se pueden sustituir, en la operación (a), los corchetes por los resultados que se obtuvieron $$(-7)- \lbrace 9-\left[ -15\right]+\left[ -1 \right]\rbrace=$$ ahora puede resolverse la suma que está dentro de las llaves y después de eso lo que queda fuera de las llaves $$(-7)- \lbrace 9+15 -1 \rbrace= -7-\lbrace 23 \rbrace =-7-23=-30$$
   • $$\left[2+(-3)\right]+(-5)=$$ primero quitamos el paréntesis que está dentro del corchete; segundo resolvemos el corchete; tercero quitamos el paréntesis que está fuera del corchete y finalmente resolvemos la operación. $$\left[2-3\right]+(-5)=\left[ -1\right]+(-5)=\left[ -1\right]-5=-6$$ siempre poniendo atención a los signos.

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• Ciencia para niños.

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Cuentos

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• Ciudad Seva

Ejercicios Cobach Norte 10 de septiembre 2016.

1.
Ejercicios de Repaso

• Enteros. El conjunto de los enteros es denotado por $Z$. Un entero puede ser negativo (n en $Z^-$), no negativo (n en $Z^*$), cero (n=0), o positivo (n en $Z^+=N$). Los números enteros son un conjunto bastante amplio. Incluyen a los números naturales que sirven para contar; también incluyen al cero, que expresa la ausencia de cantidad; y dentro de los números enteros también se pueden encontrar a los números opuestos de los números naturales. Es decir que, los números enteros sirven para expresar una cantidad contable, la ausencia de cantidad y una cantidad negativa. Además, los números enteros no incluyen a los números racionales.

  El conjunto de números enteros, por lo tanto, se usa para contar o representar elementos que no pueden ser divididos. Entonces al momento de operar con números enteros, se puede sumar, restar, multiplicar y usar potencias entre estos números, pero si se quiere dividir, solo se lo puede hacer cuando el cociente también es un número entero.

• Naturales. El término "número natural" se refiere a un miembro del conjunto de los enteros positivos 1, 2, 3, ... o al conjunto de los enteros no negativos 0, 1, 2, 3, ... Lamentablemente no hay un acuerdo general acerca de si incluir al cero en el conjunto de números naturales. El conjunto de los números naturales se denota por $N$.
• Racionales. Un número racional es un número que puede ser expresado como el cociente de dos enteros $\frac{p}{q}$ donde $q \neq 0$. El conjunto de los racionales se denota por $Q$.
• Irracionales. Un número irracional es el que no puede ser expresado como una fracción $p/q$ para ningún entero $p$ y $q$. Los números irracionales tienen expansiones decimales que nunca terminan y no se vuelven periódicas. No hay una notación estandar para el conjunto de los números irracionales, pero la notación $\bar{Q}$ o $R-Q$, donde la barra o el signo menos indican el complemento del conjunto de los racionales $Q$ sobre los números reales $R$.

Referencia

• Wolfram
• Números Enteros

2.
Convertir a fracción los decimales:

• $3.19=319/100$
• $0.232323...$ en el ejericio anterior la respuesta es muy sencilla, pero en este ejercicio debemos hacer varios pasos. Primero tomamos $n=0.232323...$, luego tomamos $100n=23.232323...$, y enseguida restamos $$100n-n=99n=23.232323...-0.232323...=23$$ y finalmente despejamos $$99n=23 \Rightarrow n=23/99$$ En este caso se decide multiplicar por 100 para que la cifra después del punto decimal sea la misma en las dos cantidades, $n$ y $100n$
• $5.7777...$ igual que en el ejercicio anterior primero tomamos $n=5.7777...$, luego tomamos $10n=57.7777...$, y enseguida restamos $$10n-n=9n=57.7777...-5.7777...=52$$ y finalmente despejamos $$9n=52 \Rightarrow n=52/9$$ en este caso al multiplicar por diez se logra que las cifras después del punto decimal sean iguales en $n$ y en $10n$.
• $2.25555...$ empezamos por tomar $n=2.25555...$ luego tomamos $10n=22.55555...$ y también $100n=225.5555...$ enseguida restamos $$100n-10n=90n=225.5555...-22.55555...=203$$ y finalmente despejamos $$90n=203 \Rightarrow n=203/90$$ en este caso se tuvo que tomar $100n$ y $10n$ para lograr que la cifra después del punto decimal fuera igual en ambos números. Es decir, multiplicamos $n$ por 10, por 100 o por 1000 para lograr el objetivo.
• $5.15757575...$ primero tomamos $n=5.1575757...$ pero queremos que la cifra después del punto empiece en 5 por lo que multiplicamos por 10 para tener $10n=51.575757...$ y para que la otra cifra empiece en 5 tomamos $1000n=5157.575757...$ y restamos $$1000n-10n=990n=5157.575757...-51.575757...=5106$$ finalmente despejamos $$990n=5106 \Rightarrow n=5106/990$$

3.

Resolver

• $$\frac{\frac{3}{4}-\frac{1}{8}}{\frac{7}{8}-\frac{3}{2}}$$ para resolver este ejercicio empezamos por lo más sencillo que es resolver cada una de las restas de fracciones. La diferencia de fracciones del numerador se resuelve quedando como $\frac{5}{8}$ y la diferencia del denominador se resuelve quedando como $\frac{-5}{8}$ por lo que finalmente el cociente de fracciones queda expresado como $$\frac{\frac{5}{8}}{\frac{-5}{8}}=-1$$  

$$\frac{1+\frac{2}{3}}{5-\frac{1}{4}}$$

Al resolver la suma del numerador tenemos el siguiente resultado $$1+\frac{2}{3}=\frac{3}{3}+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$$ y al resolver la resta del denominador tenemos $$5-\frac{1}{4}=\frac{20}{4}-\frac{1}{4}=\frac{19}{4}$$ entonces la división de fracciones original queda como $$\frac{\frac{5}{3}}{\frac{19}{4}}$$ y se resuelve multiplicando los extremos, poniendo el resultado en el numerador; y multiplicando los términos de enmedio y poniendo el resultado en el denominador $$\frac{5\times 4}{3\times 19}=\frac{20}{57}$$

Foto de Gundina

Mar de Historias

El periódico La Jornada publica relatos de Cristina Pacheco escritos con un lenguaje accesible, con historias de fácil comprensión para niños de 5to y 6to de primaria, pero muy divertidos para los mayores.

• desempleados
• el robo del tiempo
• Panamá
• A la baja
• Primavera en otoño
• Rumores, sombras, nombres
• Supervivencia

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