Otros dos ejercicios del Cobach

1. Se va a construir una caja rectangular abierta con base cuadrada y un volumen de 32000 $cm^3$. Encuentra las dimensiones que requieran la menor cantidad de material.

Conocemos el dato del volumen y las dimensiones que lo componen, es decir $V=x^2y=32000$. También sabemos cómo calcular la superficie de la caja que se compone de una base cuadrada de área $x^2$ y cuatro caras rectangulares de área $xy$ dando una superficie total de $x^2+4xy$. Esta es una función porque su valor cambia cuando cambiamos las medidas de las variables, es decir, el ancho y el alto de la caja.

De la fórmula del volumen se puede despejar la $y$ y sustituirla en la función para que dependa solo de una variable: $y=\frac{32000}{x^2}$.

$$s(x)=x^2+\frac{128000}{x}$$ ahora se puede derivar, igualar a cero y calcular las soluciones

$$s'(x)=2x-\frac{128000}{x^2}=0$$ $$2x=\frac{128000}{x^2} \Rightarrow x^3=64000$$ Por lo tanto $x=40$ y $y=20$. Puede verificarse que cuando se toma un valor un poco más grande o un poco más chico para $x$ la superficie de la caja mide más. Pero eso les toca a ustedes.

2. Un ranchero tiene 3000 pies de cerca. Determina las dimensiones de un corral rectangular que abarque la mayor área.

En este ejercicio tenemos el dato del perímetro que se quiere, $P=2x+2y=3000$; el área será $A=xy$ pero se despeja una variable del perímetro y se sustituye en la función del área. $y=1500-x$...(*) por lo que

$$A=1500x-x^2$$ ahora se deriva, se iguala a cero y se buscan soluciones $$A'(x)=1500-2x=0 \Rightarrow 1500=2x$$ por lo que $x=750$ y despejando de (*) se tiene que $y=750$. Como en el ejemplo anterior puede verificarse que el área sea la mayor modificando el valor de $x$ para calcularla.

Y para terminar les dejo un texto con algunos problemas resueltos a partir de la página 166 como los que les puso el maestro de tarea. Encontré el del cilindro, el del rancho, el de la cajita y el de la ventana. Solo tendrán que cambiar las medidas pero todo lo demás es igual. Agradezco a Luis Castro Pérez de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo por el documento. Suerte.

gracias a quien me mandó la foto del encabezado.

ejercicios de matemáticas para sexto de primaria.

Como les platiqué en la mañana, hay un sitio de internet que tiene ejercicios de matemáticas para todos los grados de primaria, secundaria y preparatoria.

Para que estudien en su tiempo libre les dejo el enlace.

Aprende.org.

Otro sitio de internet que tiene ejercicios de matemáticas para sexto es Matemáticas Mamut, del que les dejo un ejercicio de ejemplo.

Foto de los traviesos de los sábados.

Máximos y mínimos. 28 de enero 2017.

Encuentra y clasifica los puntos críticos de las siguientes funciones:

1.

$$f(x)=x^3-3x^2-24x+2$$
Para encontrar los puntos críticos se procede como sigue:

• calculamos la primer derivada,
• igualamos la primer derivada a cero y buscamos la solución, es decir, para qué valores de $x$ la primer derivada vale cero. Esos son los puntos críticos.
• calculamos la segunda derivada y evaluamos los puntos críticos en ella. Si resulta un número positivo es un mínimo y si resulta un número negativo es un máximo.
• evaluamos los puntos críticos en la función original para encontrar el otro valor del par ordenado.

Entonces la primer derivada de $f(x)$ es $f'(x)=3x^2-6x-24$ y al simplificar e igualar a cero
$$x^2-2x-8=0$$ ahora debemos encontrar la solución, es decir los números que hacen que lo anterior se cumpla y para ello se puede descomponer en el producto de dos binomios si encontramos dos números que sumados den -2 y multiplicados den -8 y tendremos $(x+2)(x-4)=0$ por lo que una solución es $x=-2$ y $x=4$. Ahora sabemos que tenemos dos puntos críticos pero no sabemos sin son mínimos o máximos por lo que nos vamos a la segunda derivada.
$$f''(x)=6x-6$$ y se procede a evaluar los puntos críticos en esta segunda derivada.

$$f''(-2)=-12-6=-18$$ $$f''(4)=24-6=18$$ por lo que el primero es un máximo y el segundo un mínimo.

Finalmente evaluamos los puntos críticos en $f(x)$ para completar el par ordenado.
$$f(-2)=(-2)^3-3(-2)^-24(-2)+2=30$$ $$f(4)=(4)^3-3(4)^-24(4)+2=-78$$ con lo que tenemos los pares ordenados o puntos $(-2,30)$ y $(4,-78)$.

2.

$$h(x)=2x^3-15x^2-36x$$
la primer derivada
$$h'(x)=6x^2-30x-36$$ se puede simplificar dividiendo entre 6 y se iguala a cero.
$$x^2-5x-6=0$$ ahora se buscan las soluciones $(x-6)(x+1)=0$ entonces $x=6$ y $x=-1$
y se calcula la segunda derivada
$$h''(x)=12x-30$$ y se calcula
$$h''(6)=12(6)-30=42$$ $$h''(-1)=12(-1)-30=-42$$ por lo que se ve que el primero es un mínimo y el segundo un máximo.
Y para conocer el otro valor de cada punto se calcula $h(6)$ y $h(-1)$.



3. $$m(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-15x^2-5$$
primer derivada
$$m'(x)=x^3+x^2-30x$$
que se puede descomponer en:
$$x(x^2+x-30)$$
que tendrá que igualarse a 0 para encontrar los puntos críticos. Para que la ecuación de arriba sea igual a 0 es necesario que $x=0$ o que $x^2+x-30=0$. Y entonces tendremos 3 valores críticos:
$x=0$, $x=-6$, $x=5$, y cómo supe lo anterior? con la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado: $$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Ahora que tengo los valores críticos calculo la segunda derivada

$$m''(x)=3x^2+2x-30$$
$$m''(0)=3*0^2+2*0-30=-30$$ entonces es un máximo
$$m''(-6)=3*(-6)^2+2*(-6)-30=66$$ entonces es un mínimo
$$m''(5)=3*5^2+2*5-30 =55$$ entonces es un mínimo.

Ahora queremos conocer el valor de $y$ para cada uno de los anteriores valores de $x$ y con eso tendremos la ubicación de los puntos críticos.
$$m(0)=-5$$
$$m(-6)=-293$$
$$m(5)=182$$
Lo anterior nos dice que en el punto $(0,-5)$ hay un máximo; en el punto $(-6,-293)$ hay un mínimo y en el punto $(5,-182)$ hay un mínimo.

4. Para resolver el ejercicio 4 empezamos igual que siempre, calculando la primer derivada.
$$H(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+5x+1$$
$$H'(x)=x^3-5x^2-x+5$$
Luego como no podemos usar el mismo recurso que en el caso anterior, la grafico en el FooPlot para ver por dónde andan los puntos críticos.

El mismo programa nos indica que los puntos críticos están en $x=1$, $x=-1$ y $x=5$, lo que se comprueba fácilmente cuando calculamos:
$H'(1)=0$, $H'(-1)=0$ y $H'(5)=0$.
Ahora se calcula la segunda derivada y se evalúan los puntos críticos en ella:

$$H''(x)=3x^2-10x-1$$
$$H''(1)=-8$$
es un máximo
$$H''(-1)=12$$
es un mínimo
$$H''(5)=24$$
es un mínimo

Y para conocer la ubicación exacta del punto es necesario calcular el valor de $y$.

$$H(1)=4.083$$ $$H(-1)=-2.58$$ $$H(5)=-38.58$$

Para el ejercicio 4 era necesario saber resolver ecuaciones de tercer grado. Para resolverlas existen algunos métodos que pueden aprenderse con instrucciones que están en la red. Pero no sé cuál hubiera sido el preferido del maestro.

5. Esta está un poco larga.

$$g(x)=(x-1)^2\sqrt[3]{x+2}$$
Recordemos que la derivada de un producto es el primer factor por la derivada del segundo mas el segundo factor por la derivada del primero. Podemos acomodar ambos en forma de exponentes para que se vea más claro.
$$g(x)=(x-1)^2 (x+2)^{\frac{1}{3}}$$
y la derivada
$$g'(x)=\frac{(x-1)^2}{3(x+2)^{\frac{2}{3}}}+2(x+2)^{\frac{1}{3}}(x-1)=$$
y sacamos la suma
$$\frac{(x-1)^2+6(x+2)^{\frac{2}{3}}(x+2)^{\frac{1}{3}}(x-1)}{3(x+2)^{\frac{2}{3}}}=$$
primero te fijas que si multiplicamos $(x+2)^{\frac{2}{3}}$ por $(x+2)^{\frac{1}{3}}$ el resultado es $(x+2)$. Y en segundo lugar sacamos $(x-1)$ como factor común
$$\frac{(x-1)[x-1+6(x+2)]}{3(x+2)^{\frac{2}{3}}}=$$
resolvemos lo que está dentro del corchete
$$\frac{(x-1)[7x+11]}{3(x+2)^{\frac{2}{3}}}$$
aquí puede verse claramente que la derivada será 0 cuando $x=1$ o cuando $x=\frac{-11}{7}=-1.57$. Lo que sigue es calcular la segunda derivada y evaluar esos dos puntos para saber si son mínimos o máximos pero podemos conocer el resultado cuando los graficamos.

Aquí ya sabemos que para conocer el valor de $y$ se debe calcular el valor en la función: $g(1)$ y $g(-1.57)$.



6. Considera la función $L(x)=x+\frac{1}{x}$ y demuestra que el mínimo local es mayor que el máximo local.

Calculamos la primer derivada, igualamos a cero y encontramos las soluciones.

$$L'(x)=1-\frac{1}{x^2} =0$$ $$1=\frac{1}{x^2}$$ $$x^2=1$$ entonces $x=\pm 1$.
Evaluamos en la segunda derivada los puntos encontrados
$$L''(x)=\frac{2}{x^3}$$ $$L''(1)=2$$ $$L''(-1)=-2$$ y ahora se sabe que en $x=1$ hay un mínimo y en $x=-1$ hay un máximo. Enseguida se busca la ubicación: $L(1)=2$ y $L(-1)=-2$.

Y vemos la gráfica.

7. Encuentra dos números no negativos cuyo producto sea 50 y cuya suma sea mínima. Tenemos un requisito que deben cumplir los números que llamaremos $x$ y $y$, ya que nos dicen que $x*y=50$ y tenemos una función $S(x,y)=x+y$ que depende de dos variables pero podemos convertir en una función de una sola variable si hacemos que $y$ dependa de $x$, despejando del dato que conocemos: $x*y=50 \Rightarrow y=\frac{50}{x}$ y se sustituye en $S$ para obtener
$$S(x)=x+\frac{50}{x}$$ Ahora tenemos una función de una variable que podemos derivar, igualar a 0 y graficar.
$$S'(x)=1-\frac{50}{x^2}=0\Rightarrow 1=\frac{50}{x^2} \Rightarrow x^2=50 \Rightarrow x=\sqrt{50}=\pm 7.07$$ pero solo tomamos el valor que no es negativo porque lo pide el problema. Entonces para $x=7.07$ se tiene que $y=\frac{50}{7.07}=7.07$ y vemos que al graficar se cumple que sea un mínimo

8. $$G(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-8x+1$$ $$G'(x)=x^2-2x-8=0$$ $$(x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x=4, \hspace{5mm} x=-2$$

$$G''(x)=2x-2$$ $$G''(4)=2(4)-2=6 \hspace{5mm} mínimo$$ $$G''(-2)=2(-2)-2=-6 \hspace{5mm} máximo$$

Solo falta calcular $G(4)$ y $G(-2)$



9.Determina un número que exceda a su cuadrado en la mayor cantidad.

Entonces se tiene la diferencia $x-x^2$ y se quiere que sea máxima. Con ese dato se puede componer la función $r(x)=x-x^2$ que se usará para derivar, igualar a cero y encontrar el valor indicado. $$r'(x)=1-2x=0 \Rightarrow 1=2x \Rightarrow x=\frac{1}{2} \Rightarrow r(1/2)=1/4$$ como se ve en la gráfica de abajo.

La foto del encabezado la publicó alguno de mis contactos del watsap. Gracias.