Ejercicios Cobach Norte 8 de octubre de 2016.

Ahora tocó un tema de derivadas.

La derivada de una función mide la rapidez con la que cambia la función $f(x)$ en la medida que cambia la variable independiente $x$.

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

El ejercicio pide encontrar la ecuación de la línea tangente a la curva en un punto:

1. $f(x)=x^2+1$ y el punto es $x=3$.
   Primero me gustaría saber cómo es la función, y dónde queda la tangente que me piden:
   
   
   

   En esta gráfica sacada del fooplot aparece la función cuadrática que tiene forma de parábola, y el punto rojo donde se conectan la parábola y la recta tangente.

   Vamos a llamar $m$ a la pendiente de la recta tangente, y además sabemos que el punto rojo, cuya primer coordenada es 3, pertenece a la parábola y también a la recta.

   Como se definió antes la derivada es la pendiente de la tangente a la curva en el punto pedido, entonces vamos a calcular la derivada mediante el límite.

   $$m=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$$ entonces ponemos la función $f$ como se definió antes
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{((x+h)^2+1-(x^2+1)}{h}=$$ y desarrollamos
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2+2xh+h^2+1-x^2-1}{h}=$$ simplificamos eliminando la $x^2$ y el 1
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh+h^2}{h}=$$ y seguimos simplificando eliminando algunas $h$s
   $$\lim_{h\rightarrow 0}2x+h= 2x$$
   cuando se evalúa en $x=3$ el resultado es 6. Entonces la pendiente de la tangente en $x=3$ es 6. Y en $x=3$ se tiene $f(3)=3^2+1=10$. Si a este punto le llamamos $p_0=(3,10)$ ahora tenemos un punto y la pendiente con lo que podemos calcular la ecuación de la recta tangente que nos pidieron. Para ello usaremos la fórmula
   $$(y-y_0)=m(x-x_0)$$ y sabemos que $y_0=10$ y $x_0=3$ porque son las coordenadas del punto $p_0$. Entonces
   $$(y-10)=6(x-3)$$ y se quiere despejar la $y$
   $$y=6x-18+10= 6x-8$$ y tenemos que la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x)$ es $y=6x-8$.

2. 
   

   $g(x)=3x^2-6x$ en el punto $x=\frac{1}{2}$. Empezamos por calcular la derivada, es decir, la pendiente de la recta tangente a la curva
   $$m=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x+h)^2-6(x+h)-(3x^2-6x)}{h}=$$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x^2+2xh+h^2)-6x-6h-3x^2+6x)}{h}=$$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^2+6xh+3h^2-6x-6h-3x^2+6x}{h}=$$ pueden eliminarse las $3x^2$, $6x$ y algunas $h$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}6x+3h-6=6x-6$$ que al evaluar en $x=\frac{1}{2}$ resulta $m=6(\frac{1}{2})-6=3-6=-3$.

   Ya tenemos la pendiente y ahora calculamos el punto que es común a la curva y a la recta, según vemos en la gráfica
   

   
   $$3\left(\frac{1}{2}\right)^2-6\left(\frac{1}{2}\right)= \frac{3}{4}-\frac{6}{2}=-\frac{9}{4}$$ luego el punto $p_0=(\frac{1}{2},-\frac{9}{4})$ y la pendiente $m=-3$ son los datos que se usarán para calcular la ecuación de la recta tangente $$y+\frac{9}{4}=-3(x-\frac{1}{2})$$ entonces $y= -3x-\frac{3}{4}$

3. 
   $f(x)=\sqrt{x-1}$ y el punto es $x=5$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+h-1}-\sqrt{x-1}}{h}$$ aquí vamos a hacer un movimiento mágico con el álgebra para desaparecer los radicales, para lo que usaremos la propiedad del producto de binomios conjugados según la cual $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
   
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+h-1}-\sqrt{x-1}}{h} \left[\frac{\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1}}\right] =$$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x+h-1-x+1}{h\left(\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1}\right)}$$
   el número que está entre corchetes es 1 porque es un número entre él mismo. Eso quiere decir que no alteramos la función límite porque la estamos multiplicando por 1. Luego, al multiplicar la diferencia de raíces por la suma de las mismas raíces se cumple que es un producto de binomios conjugados por lo que el resultado es una diferencia de cuadrados. Al elevar al cuadrado cada raíz, se elimina. Y ya se pueden eliminar algunos términos como x, 1 y h
   $$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1}}$$
   $$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$$
   entonces se tiene que $m=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$ y al evaluar en $x=5$ resulta $m=\frac{1}{2\sqrt{5-1}}=\frac{1}{4}$ y se buscará el punto $p_0=(x_0,y_0)$ que es común a la curva y a la recta tangente cuya gráfica aparece enseguida y que se toma del Wolfram
   
   
   
   
   $$f(5)=\sqrt{5-1}=2$$ entonces $p_0=(5,2)$
   luego usando la fórmula para calcular la ecuación de la recta
   $$y-2 =\frac{1}{4}(x-5)=\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}+2$$
   y la ecuación de la recta tangente es $y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}$
   
   
4. 
   $f(x)=x^2-4x+3$ en el punto $x=3$.
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2-4(x+h)+3-(x^2-4x+3)}{h}$$
   $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2+2xh+h^2-4x-4h+3-x^2+4x-3}{h}$$ eliminamos algunos elementos como se hizo antes
   $$\lim_{h\rightarrow 0}2x+h-4=2x-4$$ evaluando en $x=3$ se tiene $m=2(3)-2x=2$ ahora vamos a buscar el valor de $f(3)=(3)^2-4(3)+3=0$ y el punto común es $p_0=(3,0)$
   $$(y-0)=2(x-3)$$ entonces $y=2x-6$
   
   
   
   

Foto de Koan

Ejercicios Cobach Norte 1 de octubre de 2016.

El primer ejercicio era sobre polinomios y preferí empezar con algo de teoría:

Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan variables de un solo término. Si hubiera una suma o una resta sería un binomio. Y asi la suma de 3 monomios es un trinomio y de 4 monomios es un cuatrinomio.

Un polinomio (del griego polys “muchos” y nomos “regla”) es una expresión matemática compuesta de variables y constantes, utilizando únicamente las operaciones de suma, resta, multiplicación y exponentes enteros positivos. Es una sucesión de sumas y restas de monomios de potencias enteras de una o varias variables.

El grado de un monomio es el exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

Referencia

• Khan Academy

I. Simplifica las siguientes expresiones:

1. $$2x+3y-5z-z+y-x+4x-5y-y+9z=$$
Como hicimos la semana pasada, podemos usar la propiedad conmutativa y la asociativa de la suma. Primero acomodamos los términos y después los agrupamos entre paréntesis para poder sumarlos más fácilmente. $$(2x-x+4x)+(3y+y-5y-y)+(-5z-z+9z)=$$ luego hacemos las operaciones dentro de los paréntesis $$(5x)+(-2y)+(3z) =$$ finalmente se pueden quitar los paréntesis siempre que se tenga cuidado con los signos y en este caso para quitar el paréntesis de enmedio primero multiplicamos (mas por menos = menos) $$5x-2y+3z$$
2. $$\frac{1}{2}-\frac{3}{4}xy+\frac{5}{2}-xy^2+x^2y-\frac{7}{2}+\frac{1}{3}x^2y-\frac{1}{6}xy^2 =$$
Otra vez se pueden acomodar y luego agrupar los términos $$\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-\frac{7}{2}\right)+\left(-\frac{3}{4}xy\right)+\left(-xy^2-\frac{1}{6}xy^2\right)+\left(x^2y+\frac{1}{3}x^2y\right)$$ en los dos primeros paréntesis no tenemos duda porque el primero es una suma de quebrados y el segundo es un término único que vamos a dejar igual. Pero en los dos últimos paréntesis que parecen complicados se puede hacer uso de la propiedad distributiva que dice: $x(a+b)=xa+xb$ y aplicado a los últimos dos paréntesis nos permite sacar las variables como factores comunes $$\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-\frac{7}{2}\right)+\left(-\frac{3}{4}xy\right)+\left(\left[-1-\frac{1}{6}\right]xy^2\right)+\left(\left[1+\frac{1}{3}\right]x^2y\right)$$ ahora se resuelven las operaciones dentro de cada paréntesis y corchete. $$\left(\frac{-1}{2}\right)+\left(-\frac{3}{4}xy\right)+\left(\left[\frac{-7}{6}\right]xy^2\right)+\left(\left[\frac{4}{3}\right]x^2y\right)$$ y se quitan los paréntesis y corchetes sin olvidar que sumar un número negativo es lo mismo que restar ese mismo número pero positivo: c+(-d)=c-d $$\frac{-1}{2}-\frac{3}{4}xy-\frac{7}{6}xy^2+\frac{4}{3}x^2y$$
3. $$5\sqrt{2}-2\sqrt{5}-7\sqrt{5}+9\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{2} =$$
se acomodan y agrupan los términos $$(5\sqrt{2}+9\sqrt{2}-\sqrt{2})+(-2\sqrt{5}-7\sqrt{5}+\sqrt{5}) =$$ aquí también puede aplicarse la propiedad distributiva sacando el factor común en los dos paréntesis: $$(\left[ 5+9-1\right]\sqrt{2})+(\left[-2-7+1\right]\sqrt{5}) =$$ se resuelven las operaciones dentro de los corchetes y se eliminan los corchetes $$(13\sqrt{2}) +(-8\sqrt{5})$$ y se quitan los paréntesis $$13\sqrt{2}-8\sqrt{5}$$
4. $$2(x-1)^3-3 (x-1)^3+\frac{2}{3}(x-1)^3+\frac{5}{2}(x-1)^3-(x-1)^3=$$
aquí no necesitamos acomodar ni agrupar porque todos los términos son de la misma clase, es decir, que tienen el factor común $(x-1)^3$. Esto quiere decir que podemos hacer el siguiente arreglo: $$\left[ 2-3+\frac{2}{3}+\frac{5}{2}-1 \right](x-1)^3 =$$ se resuelve lo que está dentro de los corchetes para lo que primero sumamos los enteros (2-3-1=-2), luego resolvemos el quebrado ($\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{4+15}{6}=\frac{19}{6}$ ) y finalmente convertimos los enteros a fracciones ($-2=\frac{-12}{6}$ ) para poder sumarlos con la fracción que queda: $$\left[ -2+\frac{2}{3}+\frac{5}{2} \right](x-1)^3 =$$ $$\left[ -2+\frac{19}{6}\right](x-1)^3 =$$ $$\left[ \frac{-12}{6}+\frac{19}{6}\right](x-1)^3 =\left[ \frac{7}{6}\right](x-1)^3=$$ y ya podemos eliminar los corchetes $$\frac{7}{6}(x-1)^3$$
5. $$cos (x)- sen (y) +cos (y)- sen (x)+\frac{1}{5} cos(x) -\frac{5}{4}sen(x) +\frac{7}{3}sen (y) -\frac{5}{6}cos (y)=$$ lo mismo que en los anteriores, acomodamos los elementos de manera que puedan sumarse los que son de la misma clase, se saca el denominador común, se resuelven las operaciones dentro de los paréntesis y finalmente pueden eliminarse los paréntesis, siempre cuidando no cometer errores con los signos $$\left(cos(x)+\frac{1}{5} cos(x)\right)+\left(- sen(y)+\frac{7}{3}sen(y)\right)+\left(cos(y)-\frac{5}{6}cos(y)\right)+\left(- sen(x)-\frac{5}{4}sen(x) \right)=$$ $$\left(\left[1+\frac{1}{5}\right] cos(x)\right)+\left(\left[-1 +\frac{7}{3}\right]sen(y)\right)+\left(\left[1 -\frac{5}{6}\right]cos(y)\right)+\left(\left[-1 -\frac{5}{4}\right]sen(x)\right)=$$ $$\left(\frac{6}{5} cos (x)\right)+\left(\frac{4}{3}sen(y) \right)+\left(\frac{1}{6}cos (y)\right)+\left(-\frac{9}{4}sen (x)\right)=$$ $$\frac{6}{5} cos (x)+\frac{4}{3}sen (y) +\frac{1}{6}cos (y)-\frac{9}{4}sen (x)$$

II. Escribe en lenguaje algebraico

1. La suma de los cubos de dos números.
Aquí nos piden una suma $()+()$ de los cubos de dos números.... aquí tenemos el cubo de un número: $a^3$ ... luego tenemos el cubo de otro número $b^3$ ... y los ponemos en la suma.... $$a^3+b^3$$ En el salón nos confundimos y algunos contestamos así: $(a+b)^3$ .... que es el cubo de la suma de dos números. ¿Se ve la diferencia?
2. El cuadrado de la diferencia de dos números
El cuadrado .... $()^2$ ¿de qué? .... de la diferencia de dos números .... $(a-b)$ .... que luego acomodamos ... $$(a-b)^2$$ También aquí nos confundimos un poco y algunos escribimos.... $a^2-b^2$ ... que es la diferencia del cuadrado de dos números.... ¿Se ve la diferencia?
3. El cociente de un número aumentado en cinco y el mismo número disminuído en dos.
Primero tenemos un cociente ... $\frac{()}{()}$ ... luego tenemos un número aumentado en cinco (y+5) y el otro término del cociente es el mismo número disminuído en dos (y-2) , que se acomodan en el cociente. $$\frac{y+5}{y-2}$$
4. El producto de tres números enteros consecutivos
Primero el producto de tres números ... $()()()$... luego que sean consecutivos....x, x+1, x+2 .... que acomodamos en el producto... $$(x)(x+1)(x+2)$$

También aquí tuvimos una respuesta equivocada $(x)+(x+1)+(x+2)$ que es la suma de tres números consecutivos. ¿cuál es la diferencia? Los términos están separados por signos de +.

5. La raíz cuadrada de la diferencia de los cuadrados de dos números.

Primero una raíz cuadrada ... $\sqrt{()}$ .... luego una diferencia ... ()-().... y luego los cuadrados de dos números .... $c^2,d^2$ .... y ahora que tenemos las cosas claras los acomodamos....

$$\sqrt{c^2-d^2 }$$ Esta es una diferencia de cuadrados: $c^2-d^2$ y este es el cuadrado de una diferencia: $(c-d)^2$. ¿Se nota que no es lo mismo?

III. Escribe en lenguaje común.

1. $$(x)+(x+1)+(x+2)$$ Esto en primer lugar es una suma, y en segundo lugar los números son consecutivos, por lo tanto es la suma de tres números consecutivos.
2. $$a^2+b^2+c^2$$ Esto en primer lugar es una suma y en segundo lugar los números (o las variables) están elevados al cuadrado, por lo tanto es la suma de los cuadrados de 3 números.
3. $$2x-3y$$ Aquí tenemos una diferencia, y los números son el doble de uno y el triple de otro. Entonces es una diferencia del doble de un número y el triple de otro número.
4. $$(x)(x-5)$$ Primero es un producto, y el primer factor es un número x y el segundo factor es el mismo número x pero disminuído en 5. Entonces es el producto de un número por ese mismo número disminuído en cinco.
5. $$4x+7$$ Aquí se puede decir que se tiene el cuádruple de un número y aumentado en siete. O cuatro veces el número x y a esto le sumamos 7 unidades más. Pero cuidado con decir que tenemos el cuádruple de x mas siete porque puede interpretarse como 4(x+7) que no es lo mismo.

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